Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 6 - Đề 3 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 6 - Đề 3 (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 3 Bài 1 (5 điểm) 1): Rút gọn các biểu thức sau: M = 3 – 32 + 33 – 34 + + 32015 – 32016. 2) Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 1 3 a) 22 32 42 992 1002 4 Bài 2 (3 điểm): Tìm số tự nhiên x biết: a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + (2x – 1 ) = 225 b) 2x . 2x + 1. 2x + 2 = 1000 0 : 518 18 chữ số 0 Bài 3: (5 điểm) a) Cho 3a + 2b 17 (a , b N). Chứng minh 10a + b 17 b) Tìm số x,y nguyên biết xy + x – y = 4 Bài 4: (4 điểm) Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường thẳng . Bài 5 (3 điểm) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3. = Hết = PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 3 Bài Nội dung Điểm Bài 1 (5 điểm) 1.1.a) M = 3 – 32 + 33 – 34 + + 32015 – 32016 0,5
2. Ta có :3M = 32 – 33 + 34 – 35 + + 32016 – 32017 (2,0 đ) 3M + M = 3 + (32 – 32) + (33 – 33)+ + (32016 – 32016) – 32017 0,5 4M = 3 + 0 + 0 + . . . + 0 – 32017 0,5 4M = 3 – 32017 M = (3 – 32017) : 4 0,5 1.2. Ta có: 1 1 32 2.3 (3,0 đ) 1 1 42 3.4 1 1 52 4.5 . . . . . . . 1 1 992 98.99 1 1 1002 99.100 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 32 42 992 1002 4 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100 0,5 1 1 1 1 1 1 Mà 4 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 4 2 3 3 4 4 5 98 99 99 100 0,5 1 1 1 = 4 2 100 0,5 3 1 3 = 4 100 4 0,5 1 1 1 1 1 3 22 32 42 992 1002 4 0,5 Bài 2 (3 điểm) 2.a) Với mọi x N ta có 2x – 1 là số lẻ 0,25 Đặt A = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + + (2x – 1) (1,5) A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x – 1 0,25 Số số hạng của A là: (2x – 1 – 1) : 2 + 1 = x (Số hạng) 0,25 A = [(2x – 1) + 1] . x : 2 = x2 0,25 Mà A = 225 x2 = 225 = 152 0,25
3. x = 15 Vậy x = 15 0,25 2.b) 2x . 2x + 1. 2x + 2 = 1000 0 : 518 18 chữ số 0 (1,5 đ) 2x + x + 1+ x + 2 = 10 . 10 . 10 . . 10 : 5 . 5 . 5 . . 5 18 thừa số 10 18 thừa số 5 0,25 23x + 3 = (10 : 5 ).(10 : 5). (10 : 5) . .(10 : 5) 18 thừa số (10 : 5) 0,25 23x + 3 = 2 . 2 . 2 . . 2 18 thừa số 2 0,25 23x + 3 = 218 0,25 3x + 3 = 18 3x = 18 – 3 3x = 15 x = 15 : 3 x = 5 0,25 Vậy x = 5 0,25 Bài 3: (5 điểm) 3.a) Vì 3a + 2b 17 10(3a + 2b) 17 0,5 (30a + 20b) 17 0,25 (2,0đ) (30a + 3b + 17b) 17 0,25 [3(10a + b) + 17b] 17 0,25 Vì 17b 17 0,25 3(10a + b) 17 0,25 10a + b 17 (vì 3 và 17 nguyên tố cùng nhau) 0,25 3.b) xy + x – y = 4 x(y + 1) – y = 4 0,25 (3,0đ) x(y + 1) – y – 1 + 1 = 4 0,5 x(y + 1) - ( y + 1 ) + 1= 4 0,25 ( y + 1 )( x – 1) + 1 = 4 0,25 ( y + 1)( x – 1)= 3 0,25 Vì x, y là số nguyên nên y + 1,x – 1 là ước của 3. 0,25 Nếu x -1 = 1 và y + 1 = 3 thì x = 2 và y = 2 0,25 Nếu x -1 = -1 và y + 1 = -3 thì x = 0 và y = -4 0,25
4. Nếu x -1 = 3 và y + 1 = 1 thì x = 4 và y = 0 0,25 Nếu x -1 = -3 và y + 1 = -1 thì x = -2 và y = -2 0,25 Vậy x = 2 và y = 2 hoặc x = 0 và y = -4 hoặc x = 4 và y = 0 hoặc x = -2 và y = -2 0,25 Bài 4( 4điểm) 4. Giả sử trong 20 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi 20 điểm đó là A1, A2, A3, ,A20. (4 đ) Vì cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng nên 0,25 Qua điểm A1 và từng điểm trong 19 điểm còn lại A2, A3, ,A20 ta vẽ được 19 đường thẳng. 0,5 Qua điểm A2 và từng điểm trong 18 điểm còn lại A3, A4, ,A20 ta vẽ được 18 đường thẳng. 0,5 . Qua điểm A19 và điểm A20 ta vẽ được 1 đường thẳng. 0,5 Do đó số đường thẳng tạo thành là: 1 + 2 + 3 + + 19 + 20 = ( 1+ 20).20 : 2 = 190 ( đường thẳng) 0,5 Với a điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì ta có số đường thẳng tạo thành là 1 + 2 + 3 + +( a – 1) = (a- 1). a: 2 0,5 Với a điểm thẳng hàng thì ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng 0,25 Vậy trong 20 điểm mà có a diểm thẳng hàng thì sổ đưởng thẳng giảm đi là ( a- 1).a: 2 - 1 = 190 – 170 0,5 ( a- 1).a: 2 - 1 = 20 ( a- 1).a: 2 = 21 0,25 ( a- 1).a = 42 ( a- 1).a = 6.7 Mà a-1 và a là 2 số tự nhiên liên tiếp a -1 < a nên a -1 = 6 và a =7 0,25 Vậy a = 7 5. Gọi số phải tìm là a a = 2k + 1 (3,0 đ) a = 3q + 1 a = 5m + 4 a = 7r + 3 (k, q, m, r N) 0,5 a + 11 = 2k + 12 2 a + 11 = 3q + 12 3 a + 11 = 5m + 15 5 1,0
5. a + 11 = 7r + 14 7 a + 11 BC(2; 3; 5; 7) Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất a + 11 = BCNN(2; 3; 5; 7) 0,5 Mà 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau BCNN(2; 3; 5; 7) = 2.3.5.7 = 210 0,25 a + 11 = 210 a = 210 – 11 a = 199 0,5 Vậy a = 199 0,25