Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 1 x2 y2 z2 Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz biết: , và x – y + z = 4 4 9 25 b2 b2 Bài 2: (1 điểm) Biếta2 ab 25 ;c2 9 ; a2 ac c2 16 3 3 2c b c và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chứng minh rằng: . a a c Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x: f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + 7 x2 - 9 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90. Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI. b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 1 Bài 1: (1điểm) x2 y2 z2 x y z 0,5đ và x, y, z N, x ≠ 0 4 9 25 2 3 5 0,25đ x y z x y z 4 0,25đ 1 2 3 5 2 3 5 4 x = 2; y = 3; z = 5. Vậy xyz = 235 Bài 2: (1,5 điểm) b2 b2 0,5đ Ta có: c 2 a2 ac c 2 a2 ab (vì 9 + 16 = 25) 3 3 0,25đ Suy ra: 2c2= a(b – c) 0,25đ 2c b c (vì a ≠ 0; c ≠ 0) 0,5đ a c 2c b c 2c b c b c (vì a ≠ -c nên a + c ≠ 0) a c a c a c
2. Bài 3: (2,5điểm) 0,5đ a/ (1 điểm) f(x) = ( m2- 25)x4 + (20 + 4m)x3 + 7x2 - 9 là đa thức bậc 3 0,25đ biến x khi: m2 - 25 = 0 và 20 + 4m ≠ 0 0,25đ m = 5 và m ≠ -5 Vậy m = 5 thì f(x) là đa thức bậc 3 biến x. b/ (1,5 điểm) g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90 =(4x2 )2 - 2.4 x2.9 + 92 + 9 0,25đ g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 0,25đ Với mọi giá trị của x ta có: = (4x2 – 9)2 ≥ 0 g(x) = (4x2 – 9)2 + 9 ≥ 9. Giá trị nhỏ nhất của g(x) là 9 0,25đ Khi và chỉ khi (4x2 – 9)2 = 0 9 3 0,25đ 4x2 - 9 = 0 4x2 = 9 x2 = x = . 4 2 0,5đ Bài 4: (2 điểm) Gọi số chia là a và số dư là r (a, r N*; a > r) Ta có: * 112 = 5a + r 0,5đ 5a r 5a + r 112 : 6 a ≥ 19 (2) Từ (1) và (2) a = 19; 20; 21; 22 lập bảng số: a 19 20 21 22 0,5đ r = 112 – 5a 17 12 7 2 Bài 5: (3 điểm) a/ (1,5 điểm) - Chứng minh CHO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn) 0,25đ suy ra: CH = CF. Kết luận FCH cân tại C. 0,25đ -Vẽ IG //AC (G FH). Chứng minh FIG cân tại I. 0,25đ - Suy ra: AH = IG, và IGK = AHK. 0,25đ - Chứng minh AHK = IGK (g-c-g). 0,25đ - Suy ra AK = KI 0,25đ b/ (1,5 điểm) Vẽ OE  AB tại E. Tương tự câu a ta có: AEH, BEF thứ tự cân tại A, B. Suy ra: BE = BF và AE = AH. 0,5đ BA = BE + EA = BF + AH = BF + FI = BI. Suy ra: ABI cân tại B. 0,5đ Mà BO là phân giác góc B, và BK là đường trung tuyến của ABI nên: B, O, K là ba điểm thẳng hàng. 0,5đ A E H K OG
3. B F I C PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 2 Câu 1: ( 2 điểm) Thực hiện phép tính : 2 1 1 1 a- 6. 3. 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b- 2 3 2 5 . 5 12 Câu 2: ( 2 điểm) a 2 a 3 a- Tìm số nguyên a để là số nguyên a 1 b- Tìm số nguyên x,y sao cho x - 2xy + y = 0 Câu 3: ( 2 điểm) a c a- Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c (b+d) thì với b,d khác 0 b d b- Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1+2+3+ để được một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4: ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu 5: ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2 - 2y2 =1
4. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 2 CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a a 2 a 3 a(a 1) 3 3 0,25 Ta có : = a a 1 a 1 a 1 a 2 a 3 3 vì a là số nguyên nên là số nguyên khi là số a 1 a 1 nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau : 0,25 a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 0,25 a 2 a 3 Vậy với a 4, 2,0,2 thì là số nguyên a 1 0,25 2.b Từ : x-2xy+y=0 Hay (1-2y)(2x-1) = -1 0,25 Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau : 1 2y 1 x 0 2x 1 1 y 0 0,25 1 2y 1 x 1 Hoặc 0,25 2x 1 1 y 1 Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài 0,25 3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d) 0,5 a c Hay ad=bc Suy ra ( ĐPCM) b d 0,5 3.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khác 0) Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : n(n 1) 111a 3.37.a Hay n(n+1) =2.3.37.a 2 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và
5. Hay 2013 x 2014 Vậy minP = 1 khi và chỉ khi 2013 x 2014 b) Gọi ba chữ số của số phải tìm là a, b,c ta có : a b c 0.5 đ áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được 1 2 3 a b c a b c = (*) 1 2 3 6 Do số phải tìm chia hết cho 36 nên số đó chia hết cho 9 suy ra a+b+c chia hết cho 9 0.5 đ Mà a, b, c là các chữ số có ít nhất một chữ số khác 0 nên a+b +c chỉ có thể nhận một trong ba giá trị : 9; 18;27 a b c a b c Nếu a+b +c = 9 Từ (*) ta có = => a= 9/6 (không thoả mãn vì 1 2 3 6 a là chữ số) Nếu a+b +c = 18 kết hợp (*) ta có a =3 ; b = 6; c = 9 vì số phải tìm chia hết cho 36 0.5 đ nên chữ số hàng đơn vị chẵn ta có số 396; hoặc 936 Nếu a +b + c = 27 từ (*) => a=27/6 (loại) 0.5 đ Thử lại ta thấy cả hai số 396 và 936 đều thoả mãn Vậy số phải tìm là 936 và 396 . Bài 4 A (4 điểm) E D B F C M a) Từ D kẻ DE//BC, trên BC lấy điểm F sao cho BDN = BF (1) Chứng minh được DE = BE (tam giác BED cân) 0.5 đ Do tam giác AED cân nên AD =AE suy ra BE = CD 0.5 đ Vậy DE = CD Tam giác BDF cân có D· BF 200 nên B· FD 800 D· FC 1000 suy ra 0.5 đ D· FC E· AD 1000 Vậy tam giác DFC có F· DC 400 Chứng minh được ADE FCD (g.c.g) AD CF (2) Từ (1) và (2) suy ra đpcm. 0.5 đ b) Dựng tam giác đều AMN sao cho N và C ở cùng một phía so với AB. 0.5 đ Vì AC chung;BC AN( AM ); ·ACB C· AN 400 0.5 đ BAC NCA Suy ra AC = CN = AB vậy MC là trung trực của AN 0.5 đ 1 0.5 đ Nên ·AMC ·AMN 300 2 Bài 5 Do a Z + => 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c (2 điểm) => 5b > 5c => b>c 0.5 đ
6. => 5b  5c => (a3 + 3a2 + 5)  ( a+3) => a2 (a+3) + 5  a + 3 Mà a2 (a+3)  a + 3 [do (a+3)  (a+3)] 0.5 đ => 5  a + 3 => a + 3 Ư (5) => a+ 3 { 1 ; 5 } (1) 0.5 đ Do a Z+ => a + 3 4 (2) Từ (1) và (2) => a + 3 = 5 => a = 5 – 3 =2 => 23 + 3 . 22 + 5 = 55 25 = 5b 52 = 5b b = 2 0.5 đ 2 + 3 = 5c 5 = 5c 5 = 5c c = 1 Vậy : a = 2 b = 2 c = 1 Ghi chú: Đáp án chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hình vẽ sai không chấm điểm. Nếu HS giải cách khác đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 19 Câu 1.(4 điểm) 212.35 46.92 510.73 255.492 a) Thực hiện phép tính: A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Tính S 2100 299 298 22 2 1 2 3 2019 c) Chứng tỏ: 0,75 3 32 33 32019 Câu 2.(4 điểm) a b c b c a c a b a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn : và a+b+c 0 c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức:.B 1 1 1 a c b b)Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5,6,7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. 2017x 2018y 2019z d) Cho ba số x,y, z tỉ lệ với 3,4,5. Tính P 2017x 2018y 2019z Câu 3:(4 điểm)
7. 5z 6y 6x 4z 4y 5x a) Tìm x, y, z biết: và 3x – 2y + 5z = 96. 4 5 6 b) Chứng minh rằng: 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + + 3x+100 chia hết cho 120 (với x N) Câu 4.(6 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P,Q là trung điểm của AD, BC, và I là giao điểm các đường vuông góc với AD và BC tại P và Q. a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC. 1 c) Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE AD . 2 Câu 5.(2 điểm) Cho biết xyz=1 x y z Tính giá trị A = xy x 1 yz y 1 xz z 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 19 Câu Phần Nội dung Điểm a 212.35 46.92 510.73 255.492 2đ A 6 3 Câu 1 22.3 84.35 125.7 59.143 (4 điểm) 10 212.35 212.34 510.73 5 .74 0,5 212.36 212.35 59.73 59.23.73 212.34. 3 1 510.73. 1 7 0,5 212.35. 3 1 59.73. 1 23 1 212.34.2 510.73. 6 1 10 7 212.35.4 59.73.9 6 3 2 b S =(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2015. 0.5 2đ -3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2015] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2016] 0.5 -3S – S = [(-3)1 + (-3)2+ +(-3)2016]-(3)0-(-3)1- -(-3)2015. -4S = (-3)2016 -1. 0.5 ( 3)2016 1 32016 1 1 32016 S = = 0.5 4 4 4 +Vì a+b+c 0 a Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: 2đ a b c b c a c a b a b c b c a c a b = = 1 c a b a b c 0.5
8. a b c b c a c a b Câu 2 mà 1 1 1 = 2 0.5 ( 4 điểm ) c a b a b b c c a => =2 0.5 c a b b a c b a c a b c 0.5 Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =8 a c b a c b b Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) 2đ Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c a b c a b c x 5x 6x x 7 x 1 Ta có: a ;b ; c (1) 5 6 7 18 18 18 18 3 18 Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: a , b, c, a , b, c, x 4x 5x x 6x a , ;b, ;c, (2) 4 5 6 15 15 15 15 3 15 So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c Câu 3 16 25 36 (4 điểm) =>10z = 12y = 15x 0.5 x y z 3x 2y 5z 0.5 => => và 3x – 2y + 5z = 96 0.5 4 5 6 12 10 30 Giải ra ta được x = 12; y = 15; z = 18 b 3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + + 3x+100 2đ = (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)+ + (3x+97 + 3x+98 + 3x+99 + 3x+100) 1 = 3x(3+32+33+34) + 3x+4(3+32+33+34) + +3x+96(3+32+33+34) = 3x.120 + 3x+4.120 + +3x+96.120 0.5 = 120(3x + 3x+4 + +3x+96)120 (đpcm) 0.5 A P B C 0,5 Câu 4 E (6 điểm ) D I
9. a Ta có IB = IC, IA = ID 1 2đ Lại có AB = CD (gt) 0,5 Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) 0,5 b CM:  DAI =  D 0,5 1,5đ ∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra  BAI =  D 0,5 Do đó  DAI =  BAI. 0,5 Vậy AI là tia phân giác của góc BAC c Kẻ IE AB, ta có ∆AIE = ∆AIP 0,5 => AE = AP 0,5 2đ Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD) 0,5 1 0,5 Suy ra AE AD 2 Câu 5 x y z ( 2 điểm ) xy x 1 yz y 1 xz z 1 1 xz xyz z = 1 xyz xz z xyz2 xyz xz xz z 1 x z x y z z x y z x z 1 1 1 x z z z 1 x z x z z 1 x y z x z 1 Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 20 Bài 1. (4,0 điểm) 1 2 3 4 99 100 Cho biểu thức : C 3 32 33 34 399 3100 3 Chứng minh rằng : C < 16 Bài 2. (5,0 điểm) Câu 1: Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z - 38 a 2 + b2 ab Câu 2: Cho tỉ lệ thức = với a, b, c, d ≠ 0 và c ≠ - d c2 + d2 cd a c a d Chứng minh rằng : = hoặc = b d b c Bài 3. (3,0 điểm) Câu 1 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 27 - 2x Câu 2 : Cho Q = . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ? 12 - x
10. Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau 2 2 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24 Bài 5. (5,0 điểm). Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE = AC. 1) Chứng minh rằng BE = CD . 2) Gọi M là trung điểm của DE, tia MA cắt BC tại H.Chứng minh MA  BC 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ? Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 20 1 2 3 4 99 100 Bài 1. (4,0 điểm) Cho biểu thức : C 3 32 33 34 399 3100 3 Chứng minh rằng : C < 16 Đáp án Điểm 1 2 3 4 99 100 2 3 4 99 100 Biến đổi: 3C 3. 2 3 4 99 100 1 2 3 98 99 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0,25 Ta có 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 3C C 1 2 3 98 99 2 3 4 99 100 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 4 99 100 1 2 3 4 99 100 4C 1 3 32 33 398 399 3 32 33 34 399 3100 0,25 2 1 3 2 4 3 100 99 100 0,25 4C 1 2 2 3 3 99 99 100 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 100 0,25 4C 1 3 32 33 399 3100 1 1 1 1 Đặt D 1 3 32 33 399 1 1 1 1 1 1 1 0,25 Ta có: 3D 3. 1 2 3 99 3 1 2 98 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 Khi đó: 3D D 3 1 2 98 1 2 3 99 3 3 3 3 3 3 3
11. 1 1 1 1 1 1 1 4D 3 1 1 3 32 398 3 32 33 399 0,25 1 1 1 1 1 1 1 4D 3 1 1 2 2 98 98 99 3 3 3 3 3 3 3 0,25 1 4D 3 399 0,25 1 1 Suy ra D = . 3 - 99 4 3 0,25 3 1 D = - 4 4.399 0,25 3 1 100 Nên ta có 4C 99 100 4 4.3 3 0,25 3 1 100 4C 4 4.399 3100 0,25 1 3 1 100 C . 99 100 4 4 4.3 3 0,25 3 1 25 C 16 42.399 3100 0,25 3 1 25 C - 2 99 + 100 16 4 .3 3 0,25 1 25 3 1 25 3 3 Ta có > 0 nên < . Vậy C < 2 99 100 2 99 100 0,25 4 .3 3 16 4 .3 3 16 16 Bài 2. (5,0 điểm) Câu 1: (2,5 điểm) Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y và 2x + y = z – 38 Đáp án Điểm Ta có : 2x + y = z – 38 nên 2x + y – z = – 38 0,25 + Vì 3x = 4y = 5z – 3x – 4y nên 3x = 5z – 3x – 3x 0,25 3x = 5z – 6x 9x = 5z x z x z = = (1) 0,25 5 9 20 36 x y x y + Vì 3x = 4y = = (2) 0,25 4 3 20 15 x y z Từ (1) và (2) suy ra = 0,25 20 15 36
12. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : x y z 2x + y - z -38 0,25 = = = - 2 20 15 36 2.20 + 15 - 36 19 x Do đó : = - 2 x = (-2) . 20 = - 40 0,25 20 y = - 2 y = (-2) . 15 = - 30 0,25 15 z = - 2 z = (-2) . 36 = - 72 0,25 36 Vậy x = -40 ; y = -30 ; z = - 72 0,25 Câu 2: (2,5 điểm) a 2 b 2 ab a c a d Cho với a, b, c, d 0; c - d . Chứng minh rằng hoặc c 2 d 2 cd b d b c Đáp án Điểm a 2 + b2 ab a 2 + b2 2ab Ta có: = nên = c2 + d2 cd c2 + d2 2cd Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có 0,25 a 2 + b2 2ab a 2 + b2 + 2ab a 2 + b2 - 2ab = = c2 + d2 2cd c2 + d2 + 2cd c2 + d2 - 2cd a 2 + ab + b2 + ab a 2 - ab + b2 - ab a + b 2 a - b 2 = = 0,25 c2 + cd + d2 + cd c2 - cd + d2 - cd c + d 2 c - d 2 2 2 a + b a - b a + b a - b a + b b - a Suy ra hoặc 0,25 c + d c - d c + d c - d c + d c - d a + b a - b + Với thì a + b . c - d = a - b . c + d 0,25 c + d c - d ac - ad +bc – bd = ac + ad –bc - bd 0,25 a c ad = bc = 0,25 b d a + b b - a + Với thì a + b . c - d = b - a . c + d 0,25 c + d c - d ac - ad +bc – bd = bc + bd –ac - ad 0,25 a d ac = bd = 0,25 b c a 2 + b2 ab a c a d Vậy nếu = với a, b, c, d 0; c - d thì = hoặc = 0,25 c2 + d2 cd b d b c Bài 3. (3,0 điểm) Câu 1: (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có
13. 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 Đáp án Điểm Với mọi n nguyên dương, ta có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n = 4n.(43 + 42 - 4 - 1) 0,25 = 4n .(64 + 16 - 4 - 1) = 4n .75 0,25 = 4n - 1. 4 . 75 = 300 . 4n - 1 0,25 Mà 300 . 4n - 1 chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương ) 0,25 Nên 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 ( với mọi n nguyên dương ) 27 - 2x Câu 2: (2,0 điểm) Cho Q = . Tìm các số nguyên x để Q có giá trị nguyên ? 12 - x Đáp án Điểm Điều kiện : x Z ; x ≠ 12 27 - 2x 2.(12 - x) + 3 3 0,25 Biến đổi Q = = = 2 + 12 - x 12 - x 12 - x Ta có 2 Z ; x Z ; x ≠ 12 3 nên Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi có giá trị nguyên 0,25 12 x 3 Mà có giá trị nguyên khi và chỉ khi 12 x Ư(3) 12 x 0,25 Ư(3) = -3; -1; 1; 3 + Nếu 12 - x = - 3 thì x = 15 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = -1 thì x = 13 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = 1 thì x = 11 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 + Nếu 12 - x = 3 thì x = 9 (thỏa mãn điều kiện) 0,25 Vậy Q có giá trị nguyên khi và chỉ khi x 9; 11; 13; 15 0,25 Bài 4. (3,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : 2 2 H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24 . Đáp án Điểm 2 2 Ta có H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24 2 2 2 2 = 3x - 2y - 4. 2y - 3x - xy - 24 3x - 2y - 4. 3x - 2y - xy - 24 0,25 2 = - 3. 3x - 2y - xy - 24 = - 3. 3x - 2y 2 + xy - 24 2 Ta có 3. 3x - 2y 0 với mọi giá trị của x, y 0,25
14. xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y 2 Do đó 3. 3x - 2y + xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y 0,25 Nên - 3. 3x - 2y 2 + xy - 24 0 với mọi giá trị của x, y 0,25 Hay H ≤ 0 với mọi giá trị của x, y Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi 3x - 2y 0 0,25 và xy - 24 0 (1) x y + Với 3x - 2y = 0 thì 3x = 2y = 0,25 2 3 x y 0,25 Đặt = = k . Khi đó x = 2k ; y = 3k 2 3 Thay x = 2k và y = 3k vào (1) ta được 2k . 3k - 24 = 0 0,25 6k2 = 24 k2 = 4 k = 2 hoặc k = -2 0,25 + Với k = 2 thì x = 2.2 = 4 0,25 y = 3.2 = 6 + Với k = - 2 thì x = 2.(-2) = - 4 0,25 y = 3.(-2) = - 6 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức H là 0 khi và chỉ khi x = 4; y = 6 0,25 hoặc x = - 4; y = - 6 Bài 5. (5,0 điểm). N E M D F - Nếu hình vẽ sai thì không chấm cả bài hình - Nếu câu trước làm sai thì HS vẫn có thể sử A dụng kết quả câu trước để làm câu sau. I K C B H 1) (1,5 điểm ). Chứng minh : BE = CD . + Ta có D· AC D· AB B· AC ( Vì tia AB nằm giữa 2 tia AD và AC ) 0,25 Mà B· AD 900 (Vì AB  AD tại A )
15. Nên D· AC 900 B· AC (1) + Ta có B· AE C· AE B· AC ( Vì tia AC nằm giữa 2 tia AB và AE ) 0 0,25 Mà C· AE 90 (Vì AE  AC tại A ) Nên B· AE 900 B· AC (2) Từ (1) và (2) suy ra B· AE D· AC 0,25 Xét ∆ ABE và ∆ ADC có : AB = AD (GT) 0,50 B· AE D· AC (chứng minh trên) AE = AC (GT) Do đó ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c) BE = CD ( vì là hai cạnh tương ứng) 0,25 2) (2,5 điểm). Chứng minh: MA  BC + Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho M là trung điểm của AN Từ D kẻ DF vuông góc với MA tại F Xét ∆ MAE và ∆ MDN có : MN = MA (Vì M là trung điểm của AN ) 0,25 A· ME D· MN (chứng minh trên) ME = MD (Vì M là trung điểm của DE ) Do đó ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c) Suy ra AE = DN ( vì là hai cạnh tương ứng ) 0,25 và N· DM M· EA ( vì là hai góc tương ứng ) Mà N· DM và M· EA ở vị trí so le trong của hai đường thẳng AE và DN Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) 0,25 Suy ra A· DN D· AE 1800 (Vì là hai góc trong cùng phía ) (3) + Ta lại có D· AE +D· AB + ·BAC + E· AC = 3600 0,25 Hay D· AE + B· AC = 1800 (Vì D· AB E· AC 900 ) (4) Từ (3) và (4) A· DN = ·BAC + Ta có AE = DN (chứng minh trên) và AE = AC (GT) Nên AC = DN 0,25 Xét ∆ ABC và ∆ DAN có : AB = AD (GT ) A· DN = ·BAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) 0,25 Do đó ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c) Suy ra D· NA = A· CB ( vì là hai góc tương ứng ) hay D· NF = A· CB Ta có D· AF + B· AD + ·BAH = 1800 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng) Hay D· AF + ·BAH = 900 ( Vì B· AD 900 ) (5) 0,25 Trong ∆ ADF vuông tại F có : F· DA + ·DAF = 900 ( Vì là hai góc phụ nhau ) (6) Từ (5) và (6) F· DA = ·BAH + Ta có A· DN = N· DF + ·FDA ( Vì tia DF nằm giữa 2 tia DA và DN ) B· AC = H· AC + B· AH ( Vì tia AH nằm giữa 2 tia AB và AC )
16. Mà A· DN = B· AC và F· DA = ·BAH (chứng minh trên) 0,25 Nên N· DF = H· AC Xét ∆ AHC và ∆ DFN có : N· DF = H· AC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) 0,25 D· NF = A· CB (chứng minh trên) Do đó ∆ AHC = ∆ DFN (g - c - g) Suy ra D· FN = A· HC ( vì là hai góc tương ứng ) · 0 · 0 Mà DFN = 90 (Vì DE  MA tại F ) nên AHC 90 0,25 Suy ra MA  BC tại H (đpcm) 3).(1,0 điểm). Nếu AB = c, AC = b, BC = a. Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c + MA  BC tại H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông tại H 0,25 ∆ AHC vuông tại H Đặt HC = x HB = a - x ( Vì H nằm giữa B và C ) + Áp dụng định lý Py-ta-go cho 2 tam giác vuông AHB và AHC ta có: 0,25 AH2 = AB2 - BH2 và AH2 = AC2 - CH2 AB2 - BH2 = AC2 - CH2 c2 - (a - x)2 = b2 - x2 0,25 a2 b2 c2 0,25 Từ đó tìm được HC = x = 2a Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng câu, từng bài theo hướng dẫn trên./.