Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 10 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 10 (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 10 Câu 1: (4,0 điểm). 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức A = 2 3,5 : 4 2 +7,5 3 6 7 2.84.272 4.69 b) Rút gọn biểu thức B = 27.67 27.40.94 c) T×m ®a thøc M biÕt r»ng : M 5x2 2xy 6x2 9xy y2 . Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn 2x 5 2018 3y 4 2020 0. Câu 2(4,0 điểm): Tìm x biết 15 3 6 1 a) x x 12 7 5 2 1 1 1 1 49 b) 1.3 3.5 5.7 (2x 1)(2x 1) 99 c) Tìm x, y nguyên biết 2xy – x – y = 2 Câu 3(6,0 điểm): a) Tìm hai số nguyên dương x và y biết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210;12. x y z t b) Cho y z t z t x t x y x y z x y y z z t t x chøng minh r»ng biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn. z t t x x y y z c) Cho a,b,c,d Z thỏa mãn a3 b3 2 c3 8d3 .Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3 Câu 4(5,0 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết HBE = 50o ; MEB = 25o . Tính HEM và BME Câu 5 (1,0 điểm): 3 8 15 24 2499 Cho B = . Chứng tỏ B không phải là số nguyên. 4 9 16 25 2500
2. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 10 Câu Nội dung Điểm 1 1 1 7 7 25 15 15 0.5 a) A = 2 3,5 : 4 2 +7,5 = : + 3 6 7 3 2 6 7 2 35 85 15 35 42 15 49 15 157 = : = . = + = 6 42 2 6 85 2 17 2 34 0.5 3 4 3 2 2 9 9 13 6 11 9 1.0 2.84.272 4.69 2. 2 . 3 2 .2 .3 2 .3 2 .3 b) B = 7 7 7 4 = 4 = 14 7 10 8 2 .6 2 .40.9 27.27.37 27.23.5. 32 2 .3 2 .3 .5 11 6 2 3 2 .3 . 2 3 2 = = 210.37. 24 3.5 3 0.5 2 2 2 2 2 2 1 c) M 5x 2xy 6x 9xy y M 6x 9xy y 5x 2xy đ 2 2 2 2 2 (4.0 ) M 6x 9xy y 5x 2xy x 11xy y 0.5 2018 2x 5 0 2018 2020 Ta cã : 2x 5 3y 4 0 0.25 2020 3y 4 0 2018 2020 2018 2020 0.25 Mµ 2x 5 3y 4 0 2x 5 3y 4 0 5 2018 x 2x 5 0 2 0.25 . Thay vào ta được 2020 4 3y 4 0 y 3 2 2 5 5 4 4 25 110 16 1159 0.25 M = + 11. . - = - - = 2 2 3 3 4 3 9 36
3. 15 3 6 1 6 5 3 1 0.5đ a) x x x x 12 7 5 2 5 4 7 2 6 5 13 49 13 130 130 ( )x x x , Vậy x 5 4 14 20 14 343 343 0.5đ 1 1 1 1 49 b) 1.3 3.5 5.7 (2x 1)(2x 1) 99 1 1 1 1 1 1 1 49 2 1 0.25 (4.0đ) 2 3 3 5 5 2x 1 2x 1 99 1 1 49 1 98 1 1 1 1 0.75 2 2x 1 99 2x 1 99 2x 1 99 2x + 1 = 99 2x = 98 x = 49. Vậy x = 49 0.5 c) 2xy – x – y = 2 4xy - 2x - 2y = 4 2x(2y - 1) - 2y +1 = 5 (2y -1) ( 2x -1) = 5 0.75 HS xét 4 trường hợp tìm ra ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2  Vậy ( x,y) = 1;3 ; 3;1 ; 2;0 ; 0; 2  0.75 a) Do tổng, hiệu và tích của x và y lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210; 12. Ta có ( x + y).35 = ( x - y) .210 = 12. xy 0,5 x y x y x y x y 2x 2y Từ ( x + y).35 = ( x - y) .210 0,5 210 35 210 35 245 175 x y 7y x thay vào đẳng thức ( x + y).35 = 12. xy ta được 7 5 5 0,5 y2- 5y = 0 y(y – 5) = 0 y 0;5 mà y > 0 nên y = 5  0,5 Với y = 5 thì x = 7. x y z t 3 b) (6.0đ) y z t z t x t x y x y z y z t z t x t x y x y z x y z t 0,75 y z t z t x t x y x y z 1 1 1 1 x y z t 0,5 x y z t z t x y t x y z x y z t x y z t Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4 0,75 Nếu x + y + z + t 0 thì x = y = z = t P = 4 Vậy P nguyên
4. c) Ta có a3 b3 2 c3 8d3 a3 b3 c3 d3 3c3 15d3 Mà 3c3 15d33 nên a3 b3 c3 d33 (1) 0.75 Dư trong phép chia a cho 3 là 0; 1 suy ra dư trong phép chia a3 cho 3 cũng là 3 0; 1 hay a  a mod3 0.5 Tương tự ta có b  b3 mod3 ; c  c3 mod3 ; d  d 3 mod3 a b c d  a3 b3 c3 d 3 mod3 (2) 0.75 Từ (1) và (2) suy ra a + b + c + d chia hết cho 3 Vẽ hình ; ghi GT-KL A 0,5 I B M C H K E a)4 X a) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) (5,0 đ ) ·AMC = E· MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB ( Hai cạnh tương ứng) 1,0 Vì AMC = EMB M· AC = M· EB nà 2 góc này ở vị trí so le trong Suy ra AC // BE . 0,5 b) Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) M· AI = M· EK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) ·AMI = E· MK 1,0 Mà ·AMI + I·ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) · · o EMK + IME = 180 Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 c) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ = 90o ) có H· BE = 50o H· BE = 90o - H· BE = 90o - 50o = 40o H· EM = H· EB - M· EB = 40o - 25o =15o 1,0 B· ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM B· ME= H· EM + M· HE =15o + 90o = 105o 0,5 5 3 8 15 24 2499 đ b) Ta có: B = (1,0 ) 4 9 16 25 2500
5. 3 8 15 24 2499 B= 49 1 1 1 1 1 4 9 16 25 2500 1 1 1 1 1 B= 49 - 2 2 2 2 2 = 49 - M 2 3 4 5 50 1 1 1 1 1 Trong đó M = 2 2 2 2 2 2 3 4 5 50 0.5 1 1 1 Áp dụng tính chất (푛 + 1)푛 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + + 50.51 = 2 ― 3 + 3 ― 4 + 4 ― 5 + + 50 ― 51 1 1 49 M > 2 ― 51 = 101 > 0 Từ đó suy ra 0< M <1 B = 49- M không phải là một số nguyên. 0.5 Chú ý: 1. Thí sinh có thể làm bài bằng cách khác, nếu đúng vẫn được điểm tối đa. 2. Nếu thí sinh chứng minh bài hình mà không vẽ hình thì không chấm điểm bài hình. 3. Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn.