Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 13 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 13 (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 13 Bài 1:(4 điểm) a/ Tính: 3 3 3 1 1 1 A= 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8 b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện: y z x z x y x y z x y z Hãy tính giá trị biểu thức: x y z B = 1 1 1 . y z x Bài 2 : (4điểm) 1 2 a/ Tìm x,y,z biết: x y x2 xz 0 2 3 b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10. Bài 3 : (4 điểm) Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong. Bài 4 : (6 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng: a/ AC=EB và AC // BE b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI=EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng. c/ Từ E kẻ EH  BC (H BC). Biết góc HBE bằng 50 0; góc MEB bằng 250, tính các góc HEM và BME ? Bài 5 : (2điểm) 2 Tìm x, y N biết: 36 y2 8 x 2010
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 13 Bài ý Nội dung Điểm a 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3x135 3 4 11 13 2 3 4 4 11 13 2 3 4 4x11x13 2 1 + = + 2 5 5 5 5 5 5 1 1 1 5 1 1 1 5x129 5 5 7 11 13 4 6 8 7 11 13 2 2 3 4 7x11x13 3x135 7x11x13 2 189 2 189x5 172x2 1289 4 điểm = x + = = = 4x11x13 5x129 5 172 5 172x5 860 b y z x z x y x y z y z z x x y 0,5 Ta có: 1 1 1 x y z x y z y z z x x y 2 x y z 2 0,5 x y z x y z x y z x y y z z x 0,5 B 1 1 1 . . y z x y z x 0,5 x y z x y z . . 2.2.2 8 z y x Vậy B=8 a 1 2 2 x y x2 xz 0 2 3 0,25 Áp dụng tính chất A 0 1 1 1 x 0 x 0 x 2 2 2 1,5 4 điểm 2 2 2 y 0 y 0 y 3 3 3 x2 xz 0 x x z 0 1 z x 2 0,25 Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2
3. b Ta có: 3n 2 2n 2 3n 2n = (3n 2 3n ) (2n 2 2n ) 0,75 0,5 3n 32 1 2n 22 1 3n .10 2n .5 = 10.(3n – 2n-1) 0,5 Vì 10.(3n – 2n-1) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương 0,25 Suy ra điều phải chứng minh. Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự 0,5 là x,y,z. 3 Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch 1,0 với 5; 4; 6. 1 1 1 Do đó ta có: x : y:z : : 12 :15:10 . 4điểm 5 4 6 0,75 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x y z x y z 555 15 12 15 10 12 15 10 37 0,75 x 180; y 225; z 150 . 0,75 Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 0,25 225, 150 . 4 A a (2 điểm) Xét AMC và EMB có : AM = EM (gt ) I B M C H 0,75 0,25 K 0,5 E b 0,5 6 điểm góc ·AMC bằng góc E· MB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC = EMB (c.g.c ) AC = EB 0,5 0,5
4. Vì AMC = EMB 0,5 c => Góc MAC bằng góc MEB 0,5 (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 (2 điểm) 0,5 Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt ) 0,5 M· AI = M· EK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra ·AMI = E· MK Mà ·AMI + I·ME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) E· MK + I·ME = 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( Hµ = 90o ) có H· BE = 50o H· BE = 90o - H· BE = 90o - 50o =40o (1.0đ) H· EM = H· EB - M· EB = 40o - 25o = 15o B· ME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM Nên B· ME = H· EM + M· HE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 2 2 Ta có: 36 y2 8 x 2010 y2 8 x 2010 36 . 0,25 5
5. 2 36 0,25 Vì y2 0 8 x 2010 36 (x 2010)2 8 2 Vì 0 (x 2010)2 và x N , x 2010 là số chính phương nên 0,5 (x 2010)2 4 hoặc (x 2010)2 1 hoặc (x 2010)2 0 . 2 điểm 2 x 2012 + Với (x 2010) 4 x 2010 2 x 2008 0,25 2 y 2 y 4 0,25 y 2(loai) 2 2 + Với (x 2010) 1 y 36 8 28 (loại) 0,25 2 2 y 6 0,25 + Với (x 2010) 0 x 2010 và y 36 y 6 (loai) Vậy (x, y) (2012;2); (2008;2); (2010;6). Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa.