Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 4 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 4 (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 4 Câu 1: ( 2 điểm) Thực hiện phép tính : 2 1 1 1 a. 6. 3. 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b. 2 3 2 5 . 5 12 Câu 2: ( 2 điểm) a 2 a 3 a. Tìm số nguyên a để là số nguyên a 1 b. Tìm số nguyên x, y sao cho x- 2xy + y = 0 Câu 3 : ( 2 điểm) a c a. Chứng minh rằng nếu a + c = 2b và 2bd = c(b + d) thì với b, d khác b d 0 b. Cần bao nhiêu số hạng của tổng S = 1 + 2 + 3 + để được một số có ba chữ số giống nhau . Câu 4 : ( 3 điểm) Cho tam giác ABC có góc B bằng 450 , góc C bằng 1200. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB . Tính góc ADE Câu 5 : ( 1điểm) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2- 2y2 = 1 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7
2. Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 4 CÂU HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a a 2 a 3 a(a 1) 3 3 0,25 Ta có : = a a 1 a 1 a 1 a 2 a 3 3 vì a là số nguyên nên là số nguyên khi là số nguyên a 1 a 1 hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau : 0,25 a+1 -3 -1 1 3 a -4 -2 0 2 0,25 a 2 a 3 Vậy với a 4, 2,0,2 thì là số nguyên a 1 0,25 2.b Từ : x- 2xy + y = 0 Hay (1- 2y)(2x - 1) = -1 0,25 Vì x,y là các số nguyên nên (1 - 2y)và (2x - 1) là các số nguyên do đó ta có các trường hợp sau : 1 2y 1 x 0 2x 1 1 y 0 0,25 1 2y 1 x 1 Hoặc 0,25 2x 1 1 y 1 Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài 0,25 3.a Vì a + c = 2b nên từ 2bd = c(b + d) Ta có: (a + c)d =c(b + d) 0,5 a c Hay ad = bc Suy ra ( ĐPCM) b d 0,5 3.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa =111.a ( a là chữ số khác 0) Gọi số số hạng của tổng là n , ta có : n(n 1) 111a 3.37.a Hay n(n + 1) =2.3.37.a 2 0,25 Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n + 1 < 74 ( Nếu n = 74 không thoả mãn ) Do đó n=37 hoặc n + 1 = 37 0,25
3. n(n 1) Nếu n =37 thì n + 1 = 38 lúc đó 703 không thoả mãn 2 n(n 1) Nếu n + 1=37 thì n = 36 lúc đó 666 thoả mãn 2 Vậy số số hạng của tổng là 36 0,5 4 A H B C D Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300 0,5 CD Nên CH = CH = BC 2 Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150 0,5 Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 45 0 + 300 1,0 =750 1,0 5 Từ : x2- 2y2 =1suy ra x2- 1 = 2y2 0,25 Nếu x chia hết cho 3 vì x nguyên tố nên x = 3 lúc đó y = 2 nguyên 0,25 tố thoả mãn Nếu x không chia hết cho 3 thì x2-1 chia hết cho 3 do đó 2y2 chia hết cho 3 Mà(2;3) =1 nên y chia hết cho 3 khi đó x 2 =19 không thoả mãn 0,25 Vậy cặp số (x,y) duy nhất tìm được thoả mãn điều kiện đầu bài là (2;3) 0,25