Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 7 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 7 (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 7 Câu 1. (4,0 điểm) 2 2 1 1 0,4 0,25 2012 1) M = 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2013 9 11 6 2) Tìm x, biết: x 2 x 1 x 2 2 . Câu 2. (5,0 điểm) a b c b c a c a b 1) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: . c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức B 1 1 1 . a c b 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x 2 2x 2013 với x là số nguyên. 2) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y z xyz . Câu 4. (6,0 điểm) Cho x· Ay =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh : a ) K là trung điểm của AC. b ) KMC là tam giác đều. c) Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM. Câu 5. (1,0 điểm) a b c Cho ba số dương 0 a b c 1 chứng minh rằng: 2 bc 1 ac 1 ab 1 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN
2. Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 7 Câu Nội dung Điểm 2 2 1 1 0,4 0,25 2012 1) Ta có: M 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2013 9 11 6 2 2 2 1 1 1 0.5đ 2012 5 9 11 3 4 5 : 7 7 7 7 7 7 2013 5 9 11 6 8 10 1 1 1 1 1 1 2 5 9 11 3 4 5 2012 : 1 1 1 7 1 1 1 2013 Câu 1 7 0.5đ (4 điểm) 5 9 11 2 3 4 5 2 2 2012 : 0 7 7 2013 KL: 0.5đ 0.5đ 2) vì x2 x 1 0 nên (1) => x2 x 1 x2 2 hay x 1 2 +) Nếu x 1 thì (*) = > x -1 = 2 => x = 3 0.5đ +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 0.5đ KL: . 0.5đ 0.5đ 1) +Nếu a+b+c 0 0.25đ Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: 0.25đ a b c b c a c a b 0.25đ = a b c b c a c a b = 1 c a b a b c a b c b c a c a b 0.25đ Câu 2 mà 1 1 1 = 2 c a b (5 a b b c c a => =2 điểm) c a b b a c b a c a b c Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =8 a c b a c b +Nếu a+b+c = 0 Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: 0.25đ 0.25đ
3. a b c b c a c a b 0.25đ = a b c b c a c a b = 0 c a b a b c a b c b c a c a b 0.25đ mà 1 1 1 = 1 c a b a b b c c a => =1 c a b b a c b a c a b c Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =1 a c b a c b 2) Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt 0,5 đ là: a, b, c a b c a b c x 5x 6x x 7x Ta có: a ;b ;c (1) 0,5đ 5 6 7 18 18 18 18 3 18 Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: 0,25đ a, b, c, a, b, c, x 4x 5x x 6x a, ;b, ;c, (2) 4 5 6 15 15 15 15 3 15 0,5đ So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c x 2 3 => x = 1 Thay vào đầu bài ta có 1 y z yz => y – yz + 1 + z = 0 => y(1-z) - ( 1- z) + 2 =0 => (y-1) (z - 1) = 2 TH1: y -1 = 1 => y =2 và z -1 = 2 => z =3 TH2: y -1 = 2 => y =3 và z -1 = 1 => z =2 Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ
4. V ẽ h ình , GT _ KL 0,25đ a, ABC cân tại B do C· AB ·ACB( M· AC) và BK là đường cao BK là đường trung tuyến 1đ K là trung điểm của AC 1đ b, ABH = BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) 1 0,5đ BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = AC 2 0,25đ 1 Câu 4 BH = AC (6 2 0,25đ 1 điểm) Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC CM = 2 0,25đ CK MKC là tam giác cân ( 1 ) Mặt khác : M· CB = 900 và ·ACB = 300 M· CK = 600 (2) 0,5đ Từ (1) và (2) MKC là tam giác đều 0,25đ c) Vì ABK vuông tại K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì ABK vuông tại K nên theo Pitago ta có: 0,25đ AK = AB2 BK 2 16 4 12 1 0,25đ Mà KC = AC => KC = AK = 12 2 0,25đ KCM đều => KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC = 4 0,25đ AH = BK = 2 HM = BC ( HBCM là hình chữ nhật) 0,5đ => AM = AH + HM = 6 0,25đ
5. Câu 5 Vì 0 a b c 1 nên: (1 1 1 c c (a 1)(b 1) 0 ab 1 a b (1) điểm) ab 1 a b ab 1 a b a a b b Tương tự: (2) ; (3) 0,25đ bc 1 b c ac 1 a c a b c a b c Do đó: (4) 0,25đ bc 1 ac 1 ab 1 b c a c a b a b c 2a 2b 2c 2(a b c) Mà 2 0,25đ b c a c a b a b c a b c a b c a b c (5) a b c Từ (4) và (5) suy ra: 2 (đpcm) 0,25đ bc 1 ac 1 ab 1 Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước khi chấm. - Học sinh làm bài các cách khác nhau mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình không có hình vẽ thì không chấm. - Tổng điểm của bài cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ).