Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 9 (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Đề 9 (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 9 Câu 1. (4,0 điểm) 2 3 193 33 7 11 1931 9 a) Thực hiện phép tính: A . : . . 193 386 17 34 1931 3862 25 2 b) Rút gọn : B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + + (-5)2016 + (-5)2017. Câu 2 (4,0 điểm). 12a 15b 20c 12a 15b 20c a) Tìm a, b, c biết và a + b + c = 48. 7 9 11 b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5. Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m 3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội. Câu 3 (4,5 điểm). | x 2017 | 2018 a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = . | x 2017 | 2019 3 8 15 n2 1 b) Chứng tỏ rằng S = không là số tự nhiênvới mọi n N, n > 4 9 16 n2 2. c) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0. Câu 4 (5,5 điểm). Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng: a) DM = EN. b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN. c) Đường thẳng vuông gócvới MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC. Câu 5 (2,5 điểm). Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của hàm số y = f(x) = ax. y 2 a) Tính tỉ số 0 . x0 4 b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm – SBD:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ 9 Câu 1. (4,0 điểm) 2 3 193 33 7 11 1931 9 a) Thực hiện phép tính: A . : . . 193 386 17 34 1931 3862 25 2 b) Rút gọn : B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + + (-5)49 + (-5)50. 2 3 193 33 2 193 3 193 33 2 3 33 • . = . . = = 1 0,75 193 386 17 34 193 17 386 17 34 17 34 34 7 11 1931 9 7 1931 11 1931 9 7 11 9 • . = . . = a 1931 3862 25 2 1931 25 3862 25 2 25 50 2 0,75 = 5 1 • A = 1 : 5 = 0,5 5 (-5)B = (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + + (-5)2016 + (-5)2017+ (-5)2018. 0,5 B = (-5)0 + (-5)1 + (-5)2 + (-5)3 + + (-5)2016 + (-5)2017. b Do đó: (-5)B – B = (-6)B = (-5)2018 - 1 0,75 ( 5)2018 1 1 52018 Vậy B = = 0,75 4 4 Câu 2 (4,0 điểm). 12a 15b 20c 12a 15b 20c a) Tìm a, b, c biết và a + b + c = 48. 7 9 11 b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I, II, III tỉ lệ với 7; 6; 5. Nhưng sau đó vì số người của các đội thay đổi nên đã chia lại tỉ lệ với 6; 5; 4. Như vậy có một đội làm nhiều hơn so với dự định là 6m 3 đất. Tính tổng số đất đã phân chia cho các đội. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a 12a 15b 20c 12a 15b 20c 12a 15b 20c 12a 15b 20c = 0 0,25 7 9 11 27
3. 12a 15b  0 1 2a 15b 7 a b c  12a 15b 20c 20c 12a 1 1 1 0,5 0 20c 12a 9  12 15 20 và a + b + c = 48 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: a b c a b c 48 = = 24 0,5 1 1 1 1 1 1 1 12 15 20 12 15 20 5 a b c 240 a 20 240 b 16 240 c 12 1 1 1 0,5 12 15 20 Vậy a = 20; b = 16; c = 12. 0,25 Gọi tổng số đất đã phân chia cho các đội là x (m3) ĐK: x > 0. 0,25 Số đất dự định chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a, b, c (m3) ĐK: a,b,c > 0. a b c a b c x 7x 6x 5x 0,25 Ta có: a ;b ;c (1) 7 6 5 18 18 18 18 18 Số đất sau đó chia cho ba đội I, II, III lần lượt là a’, b’, c’ (m3) ĐK: a’,b’,c’ > 0. b a' b' c' a' b' c' x 6x 5x 4x 0,25 Ta có: a' ;b' ;c' (2) 6 5 4 15 15 15 15 15 So sánh (1) và (2) ta có: a c’ nên đội I nhận nhiều hơn lúc 0,25 đầu. 7x 6x x Vì a – a’ = 6 hay = 6 4 x 360 0,25 18 15 90 Vậy tổng số đất đã phân chia cho các đội là 360m3 đất. 0,25 Câu 3 (4,5 điểm). | x 2017 | 2018 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = . | x 2017 | 2019 3 8 15 n2 1 b) Chứng tỏ rằng S = không là số nguyên với mọi n Z, n > 4 9 16 n2 2. c) Tìm số nguyên x, y sao cho: x - 2xy + y = 0. | x 2017 | 2018 x 2017 2019 1 1 a C = = = 1 | x 2017 | 2019 | x 2017 | 2019 | x 2017 | 2019 0,5 Biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất khi | x 2017 | 2019 có giá trị nhỏ 0,25 nhất
4. Mà | x 2017 | ≥ 0 nên | x 2017 | 2019 ≥ 2019. 0,25 2018 0,25 Dấu “=” xảy ra khi x = 2017 C = . 2019 2018 Vậy giá trị nhỏ nhất của C là khi x = 2017. 0,25 2019 3 8 15 n2 1 22 1 32 1 42 1 n2 1 S = = 4 9 16 n2 22 32 42 n2 1 1 1 1 = 1 1 1 1 22 32 42 n2 0,25 1 1 1 1 = (1 1 1 1) 2 2 2 2 2 3 4 n 1 1 1 1 = (n 1) 2 2 2 2 2 3 4 n S -1 (n 1) 2 2 2 2 > (n–1)–1= n 2 3 4 n 2 3 4 n 0,25 – 2. S > n – 2 (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra n – 2 < S < n – 1 hay S không là số nguyên. 0,25 Ta có: x - 2xy + y = 0. x(1 – y) + y = 0 0,5 (1 – y) + x(1 – y) = 1 (1 + x)(1 – y) = 1 Ta có: 1 = 1.1 = (-1).(-1) 0,25 c Ta có bảng: 1 + x 1 -1 1 – y 1 -1 0,5 x 0 -2 y 0 2 abccjh Vậy (x;y) {(0;0);(-2;2)} 0,25 Câu 4 (5,5 điểm). Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng:
5. a) DM = EN. b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN. c) Đường thẳng vuông gócvới MN tại I luôn luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC. GT ∆ABC AB = AC BD = CE MD BC; NE BC 0,2 BC  MN = {I} 5 KL a) DM = EN Vẽ b) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN hình c) Đường thẳng vuông gócvới MN tại I luôn luôn đi qua một điểm ; cố định khi D thay đổi trên cạnh BC Ghi GT- KL 0,5 ∆MDB = ∆NEC (g.c.g) 0,7 5 a DM = EN (cặp cạnh tương ứng) 0,2 MB = NC (cặp cạnh tương ứng) 5 Ta có: ∆MDI vuông tại D: D· MI M· ID 900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) 0,5 ∆NEI vuông tại E: E· NI N· IE 900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) Mà M· ID N· IE (đối đỉnh) nên D· MI = E· NI b ∆MDI = ∆NEI (g.c.g) 0,7 5 IM = IN (cặp cạnh tương ứng) 0,2 5 VậyBC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN 0,2 5 Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC. 0,2 5 c ∆AHB = ∆AHC (cạnh huyền.cạnh góc vuông) 0,2 H· AB H· AC (cặp góc tương ứng) 5
6. Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ I. 0,2 5 ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) · · 0,2 OBA OCA (cặp góc tương ứng) (1) 5 OC = OB (cặp cạnh tương ứng) ∆OIM = ∆OIN (c.g.c) 0,2 OM = ON (cặp cạnh tương ứng) 5 ∆OBM = ∆OCN (c.c.c) 0,2 O· BM O· CN (cặp góc tương ứng) (2) 5 Từ (1) và (2) suy ra O· CA O· CN =900, do đó OC  AC. 0,2 5 Vậy điểm O cố định. 0,2 5 Câu 5 (2,5 điểm). Trong hình bên, đường thẳng OA là đồ thị của hàm số y = f(x) = ax. y 2 a) Tính tỉ số 0 . x0 4 b) Giả sử x0 = 5. Tính diện tích tam giác OBC Điểm A thuộc đồ thị hàm số y = ax nên tọa độ (2;1) của A phải thỏa mãn 0,25 hàm số y = ax. 1 1 Do đó, 1 = a.2 a = . Vậy hàm số được cho bởi công thức y = x. 0,25 2 2 Hai điểm A và B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ và tung độ của 0,25 a chúng tỉ lệ thuận với nhau. y 1 2 y 2 Suy ra 0 0 (theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) 0,5 x0 2 4 x0 4 y 2 1 Vậy 0 = . 0,25 x0 4 2 1 5 Nếu x0 = 5 thì y0 = x0 = = 2,5. 0,25 2 2 Diện tích tam giác OBC là: b 1 Áp dụng công thức S = (a.h) ta có: 2 0,75 1 SOBC = . 5. 2,5 = 6,25. 2 *Lưu ý. Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.