Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Tiền Hải (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Tiền Hải (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN TIỀN HẢI NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4,5 điểm) 1) Thực hiện phép tính: 7 24 312.57 96.253 a) A 1 1 b) B 6 9 25 275.253 32.5 2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số. Tìm n biết n + 4 và 2n là số chính phương. Bài 2 (4,0 điểm) a) 2024x 1011x 2 1012x 3 40 3x b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = với x là số nguyên khác 13. 13 x Bài 3 (4,5 điểm) 1) Cho hàm số y = f(x) = (m +1)x với m 1 a) Với m = 2. Hãy tính f (2022) . b) Tìm giá trị của m để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) với x1, x2 là các số thực khác 0. 9 2) Tìm 3 phân số có tổng bằng 9 , biết các tử số tỉ lệ theo 3:4:5 và các mẫu số tương 70 ứng tỉ lệ theo 5:1:2. Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có ba góc đều nhọn. Về phía ngoài tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân tại B. Kẻ đường cao AH (H thuộc BC), trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI = BC. 1) Chứng minh: Hai tam giác ABI và BEC bằng nhau. 2) Chứng minh: BI vuông góc với CE. 3) Phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại D, phân giác của góc BDC cắt cạnh BC tại M. 1 Phân giác góc BDA cắt đường thẳng BC tại N. Chứng minh: BD = MN . 2 Bài 5 (1,0 điểm) Cho 2022 số a1, a2, a3, ., a2021, a2022 là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn: 1 1 1 1 1 1. Chứng minh rằng: Tồn tại ít nhất một số trong 2022 a1 a 2 a3 a 2021 a 2022 số đã cho là số chẵn. Hết Họ và tên thí sinh : .Số báo danh :
2. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN 7 BIỂU BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM 1) Thực hiện phép tính : 7 24 312.57 96.253 a) A 1 1 b) B 6 9 25 275.253 32.5 7 24 16 1 A 1 1 0,5 9 25 9 25 4 1 A 0,25 3 5 1a(1,5đ) 20 3 23 A 0,5 5 5 15 23 Vậy A 0,25 15 12 7 6 3 12 7 12 6 1(4,5đ) 3 .5 9 .25 3 .5 3 .5 B 6 = 15 6 12 6 0,5 275.253 32.5 3 .5 3 .5 312.56 5 1 1b(1,5đ) B 0,5 312.56 33 1 6 3 3 B . Vậy B 0,5 28 14 14 2) Cho n là số tự nhiên có 2 chữ số . Tìm n biết n + 4 và 2n là số chính phương. Vì n là số tự nhiên có hai chữ số => 9 n = 32. Vậy n = 32 0,5 a) 2024x 1011x 2 1012x 3 1011x 2 1012x 3 2024x 0,25 2a(2,0đ) Do 1011 x 0x, 1012 x 0x x 0 0,25 2(4,0đ) = > 1011x+ 2 + 1012x + 3 = 2024x 0,5 = > 2023x +5 = 2024x 0,5 = > x = 5 . Vậy x = 5 0,5 40 3x 2b(2,0đ) b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = với x là số 13 x
3. BIỂU BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM nguyên khác 13. 40 3x 1 Ta có P = = 3 với x 0 0,5 13 x 13 x 1 Suy ra P lớn nhất khi lớn nhất 0,25 13 x 1 * Nếu x > 13 thì 13 x 0 0. 13 x 0,5 1 * Nếu x 0 0,25 13 x 1 Vì phân số có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử 13 x không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên 0,5 dương nhỏ nhất. Hay 13 x 1 x 12 Suy ra P có giá trị lớn nhất là 4 khi x =12 0,25 1) Cho hàm số y = f(x) = (m +1)x với m 1 a) Với m = 2 . Hãy tính f (2022) . b) Tìm giá trị của m để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) với x1,x2 là các số thực khác 0. Với m = 2 thỏa mãn m 1=> f(x) = 3x 0,75 1a(1,5đ) Ta có f(2022) = 3.2022 = 6066 0, 5 Vậy với m = 2 thì f(2022) = 6066 0,25 Ta có f(x ) = (m + 1)x , f(x ) = (m + 1)x 1 1 2 2 0,5 = > f(x ).f(x ) = (m + 1)2x .x 3(4,5đ) 1 2 1 2 Mà f(x1x2) = (m + 1) x1x2 0,25 2 1b(1,5đ) Để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) => (m + 1) x1x2 = (m + 1) x1x2 0,25 Do x1,x2 là các số thực khác 0 , m 1 = > m + 1 = 1 => m = 0 ( tm m 1) 0,5 Vậy để f(x1).f(x2) = f(x1.x2) thì m = 0 9 2) Tìm 3 phân số có tổng bằng 9 , biết các tử số tỉ lệ theo 70 2(1,5đ) 3:4:5 và các mẫu số tương ứng tỉ lệ theo 5:1:2. a b c Gọi 3 phân số cần tìm là x = ;y ;z với a, a’, b,b’, c, 0,25 a, b, c,
4. BIỂU BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM c’ là các số nguyên , a’,b’,c’ khác 0 Ta có a:b:c = 3:4:5 => a = 3k, b = 4k, c = 5k ( k 0) 0,25 a’:b’:c’ = 5:1:2 => a’ = 5q, b’ = q, c’ = 2q (q 0) 3k 4k 5k 3 4 5 = > x:y:z = : : : : 6: 40: 25 0,5 5q q 2q 5 1 2 9 9 x y z x y z 9 0,25 = > 70 6 40 25 6 40 25 71 70 27 36 45 Vậy x = ,y ,z 0,25 35 7 14 I Vẽ hình đúng A câu a và ghi D GT- E KL K 0,5đ B H M C F N Do ABE vuông cân tại B => A· BE 900 và AB = BE 0, 5 Vì AH là đường cao của ABC => 0,5 4(6,0đ) AH  BC H A· HB 900 Ta có I·AB A· BH A· HB A· BH 900 ( t/c góc ngoài) 4a(2,0đ) E· BC A· BC A· BE A· BH 900 0,5 = >I·AB E· BC Xét ABI và BEC có AI = BC(gt), I·AB E· BC , AB = BE 0,5 = > ABI = BEC(c.g.c) (đpcm) Vì ABI = BEC(c.g.c) = > A· IB B· CE 0,5 Mà A· IB I·BH 900 0,5 4b(2,0đ) = > I·BH B· CE 900 0,5 Gọi CE BI K => B· KC 900 => BI  CE (đpcm) 0,5 Do DM là phân giác B· DC, DN là đường phân giác B· DA 4c(1,5đ) 0,25 Mà B· DC và B· DA là 2 góc kề bù => DM  DN
5. BIỂU BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM => M· DN 900 => MDN vuông tại D Trên MN lấy điểm F sao cho F· DN F· ND FDN cân tại F 0,25 => FD = FN Ta có F· DN F· DM 900 và F· MD F· ND 900 Mà F· DN F· ND => F· DM F· MD(1) FDM cân tại F = > FD = FM 0,25 1 = > FD = FM = FN = MN 2 Ta có F· MD M· BD M· DB(T/c góc ngoài) Vì DM là phân giác B· DC=> B· DM C· DM = > F· MD M· BD M· DC (2) 0,25 Lại có F· DM F· DC C· DM (3) Từ (1), (2), (3) => M· BD F· DC(4) Mà ABC cân tại A => D· CM A· BC 2D· BM (5) 0,25 Ta lại có D· CM C· DF C· FD ( t/c góc ngoài) (6) Từ (4),(5),(6) => M· BD C· FD=> DBFcân tại D 1 0,25 = > DB = DF = MN (đpcm) 2 Bài 5(1,0 điểm). Cho 2022 số a1, a2, a3, .,a2021, a2022 là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn : 1 1 1 1 1 1. Chứng minh rằng : Tồn a1 a 2 a3 a 2021 a 2022 tại ít nhất một số trong 2022 số đã cho là số chẵn. 5(1,0đ) 5(1,0đ) 1 1 1 1 1 Từ 1 a a a a a 1 2 3 2021 2022 0,5 = > a2a3 a2022 +a1a3 a2022 + .+ a1a2 a2021= a1a2 a2022 (1) Giả sử các số a1,a2, .,a2022 đều là số lẻ , khi đó vết trái của (1) là tổng của 2022 số lẻ nên vế trái là số chẵn , mà vế phải là số 0,5 lẻ => mâu thuẫn => điều giả sử sai . Vậy do đó tồn tại ít nhất một số trong 2022 số đã cho là số chẵn => đpcm Lưu ý : 1.Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải. Nếu thí sinh làm theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
6. 2. Bài làm của thí sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm. 3. Bài hình học, thí sinh vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì cho 0 điểm. Hình vẽ đúng ở ý nào thì chấm điểm ý đó. 4. Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh mà công nhận ý trên (hoặc làm sai ý trên) để làm ý dưới thì không chấm điểm ý đó. 5. Điểm của bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và tuyệt đối không làm tròn.