Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 6 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN THÁI THỤY NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: Toán 6 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điểm). Tính hợp lý giá trị biểu thức: 3 7 3 13 3 a) A . : 1 5 13 5 6 5 151515 179 1500 176 b) B 10 16161617 1600 187 1 1 1 1 c) C 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2018.2020 Bài 2 (3,0 điểm). Tìm số tự nhiên x, biết: a) |2x-1| 4 b) 2 x 2 x 1 2 x 2 2 x 2015 22019 8 Bài 3 (3,0 điểm). a) Một đơn vị bộ đội xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15; nhưng xếp hàng 41 thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000 người. b) Tìm các chữ số a và số tự nhiên x sao cho (12+3x)2 = 1a96 . Bài 4 (4,0 điểm). a) Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau có dạng xy (x > y > 0) sao cho hiệu của số đó với số viết theo thứ tự ngược lại của số đó là số chính phương. b) Cho các số nguyên dương a; b; c; d; e thỏa mãn: a2 b 2 c 2 d 2 e 2 chia hết cho 2 Chứng tỏ rằng: a + b + c + d + e là hợp số. 3 8 15 n2 1 c) Cho n Z, n > 2. Chứng tỏ rằng P không là số nguyên. 4 9 16 n2 Bài 5 (5,0 điểm). Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2cm, trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1cm, OB = 4cm. a) Chứng tỏ điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. b) Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho yOt 130o , yOz 30o . Tính số đo zOt . c) Qua O kẻ thêm n tia phân biệt khác tia Ox, Oy, Ot, Oz. Biết rằng trên hình có 190 góc phân biệt chung gốc O. Tính n. Bài 6 (1,0 điểm). 1 2018 2007 Cho Q (72020 3 2008 ) . Chứng minh Q là số tự nhiên chia hết cho 5. 2 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 6 – NĂM HỌC 2018-2019 Câu Nội dung Điểm Tính hợp lý giá trị biểu thức: 3 7 3 13 3 a) A . : 1 5 13 5 6 5 1 9 151515 17 1500 176 (4,0đ) b) B 10 16161617 1600 187 1 1 1 1 c) C 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2018.2020 3 7 3 13 3 A . : 1 0,25 5 13 5 6 5 3 7 3 6 3 A . . 1 0,25 5 13 5 13 5 3 7 6 3 A . 1 0,25 5 13 13 5 1a 3 13 3 A . 1 (1,5đ) 5 13 5 0,25 3 3 A 1 5 5 3 3 A 1 5 5 0,25 A 1 Vậy A=1 0,25 15.10101 1 15.100 16.11 0,25 B 16.10101 17 16.100 17.11 0,25 15 1 15 16 0,25 B 1b 16 17 16 17 (1,5đ) 15 15 1 16 0,25 B 16 16 17 17 B = 0 + 1 = 1 0,25 Vậy B = 1 0,25 1 1 1 1 C 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2018.2020 22 3 2 4 2 2019 2 C . . 0,25 1c 1.3 2.4 3.5 2018.2020
3. (1,0đ) 2.3.4 2019 . 2.3.4 2019 C 0,25 1.2.3 2018 . 3.4.5 2020 2019.2 2019 C 0,25 2020 1010 2019 Vậy C 0,25 1010 Tìm số tự nhiên x, biết: 2 a) |2x-1| 4 (3,0đ) b) 2 x 2 x 1 2 x 2 2 x 2015 22019 8 Vì x N nên 2x-1 Z |2x-1| N Mà |2x-1| 4 và |2x-1| lẻ nên |2x-1| {1; 3} 0,25 TH1: |2x-1| =1 2x-1=1 hoặc 2x-1 = -1 0,25 2a Tìm được x =1 hoặc x = 0 0,25 (1,5đ) TH2: |2x-1| =3 2x-1=3 hoặc 2x-1 = -3 0,25 Tìm được x =2 hoặc x = -1 0,25 Vì x  . Vậy x {0; 1; 2} 0,25 2x 2 x 1 2 x 2 2 x 3  +2 x 2015 2 2019 8 2x .1 2 x .2 2 x .2 2 2 x .2 3  +2 x .2 2015 2 2019 2 3 0,25 x 2 3 2015 3 2016 2.1222  +2 2. 2 1 . 0,25 Đặt D 1 2 22 2 3  +2 2015 2b 0,25 2 3 4 2016 (1,5đ) Ta được 2.D 2 2 2 2  +2 0,25 Suy ra D 22016 1 x 2016 3 2016 Vậy ta có 2 . 2 1 2 . 2 1 . 0,25 2x 2 3 x 3 . Vậy x 3 0,25 a) Một đơn vị bộ đội xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15; nhưng xếp hàng 41 3 thì vừa đủ. Tính số người của đơn vị đó, biết rằng số người của đơn vị (3,0đ) chưa đến 1000 người. b) Tìm các chữ số a và số tự nhiên x sao cho (12+3x)2 = 1a96 . Gọi số người của đơn vị là a (người), (a N ;0 a 1000) 0,25 3a Khi xếp hàng 20, 25, 30 đều dư 15 người, do đó 0,5 (2,0đ) a 15 BC 20;25;30 BCNN 20;25;30 300 0,25
4. a 15 B 300 0;300;600;900;1200;  0,25 a 15;315;615;915;1215;  0,25 Do khi xếp hàng 41 vừa đủ nên a 41 ; 0 a 1000 0,25 Suy ra a = 615 KL: Số người của đơn vị là 615 người. 0,25 Ta có: (12+3x)2= [3(4+x)]2=9(4+x)2 0,25 Mà (12+3x)2 = 1a96 nên 1a96 9 Ta có 1a96 9 (1+a+9+6) 9 (16+a) 9 0,25 3b Mà a là chữ số nên a=2 (1,0đ) 9(4+x)2=1296 (4+x)2=1296:9 0,25 (4+x)2=144=122=(-12)2 Mà x là số tự nhiên nên x+4>0, suy ra: 4+x =12 x=8 Vậy a=2 ; x=8 0,25 a) Tìm số nguyên tố có hai chữ số khác nhau có dạng xy (x > y > 0) sao cho hiệu của số đó với số viết theo thứ tự ngược lại của số đó là số chính phương. b) Cho các số nguyên dương a; b; c; d; e thỏa mãn: a2 b 2 c 2 d 2 e 2 4 chia hết cho 2. (4,0đ) Chứng tỏ rằng: a + b + c + d + e là hợp số. 3 8 15 n2 1 c) Cho n Z, n > 2. Chứng tỏ rằng P không là số 4 9 16 n2 nguyên. Ta có: Số nguyên tố có hai chữ số khác nhau cần tìm có dạng xy 0,25 (x > y > 0). Nên số viết theo thứ tự ngược lại của số đó là yx Theo bài ra: xy yx 10x y 10y x 9x 9y 9 x y 32 x y 0,25 4a Vì xy yx là số chính phương nên x – y là số chính phương 0,25 (1,5đ) Ta thấy 1 x y 8 nên x y 1;4 +) x – y = 1 thì xy 21;32;43;54;65;76;87;98 0,25 Mặt khác xy là số nguyên tố xy 43
5. +) x – y = 4 thì xy 51;62;73;84;95 0,25 Mặt khác xy là số nguyên tố xy 73 Thử lại: 43 – 34 = 9 = 32; 73 – 37 = 36 = 62 0,25 Vậy xy 43 hoặc xy 73 Đặt E a2 b 2 c 2 d 2 e 2 F a b c d e Xét EF(a 2 b 2 c 2 d 2 e)(abcde) 2 0,25 (a2 a) (b 2 b) (c 2 c) (d 2 d) (e 2 e) a.(a 1) b.(b 1) c.(c 1) d.(d 1) e.(e 1) 4b Chỉ ra được với n là số nguyên thì tích hai số nguyên liên tiếp n(n + 1) là (1,0đ) số chia hết cho 2 0,25 a.(a 1) b.(b 1) c.(c 1) d.(d 1) e.(e 1) chia hết cho 2 Do đó E + F chia hết cho 2 0,25 Theo đề bài E chia hết cho 2, suy ra F chia hết cho 2 Do a; b; c; d; e là số nguyên dương F a b c d e 5 2 Kết luận F a b c d e là hợp số 0,25 3 8 15 n2 1 22 1 3 2 1 4 2 1n 2 1 P = 4 9 16 n2 22 3 2 4 2n 2 1 1 1 1 = 1 1 1 1 22 3 2 4 2n 2 1 1 1 1 = (1 1 1 1) 2 2 2 2 2 3 4 n 0,25 1 1 1 1 = (n 1) 2 2 2 2 2 3 4 n 1 1 1 1 Vì 2 2 2 2 0 P (n–1)–1= n – 2. S > n – 2 (2) 0,25 2 3 4 n Từ (1) và (2) suy ra n – 2 < S < n – 1, mà n-2 và n-1 là số nguyên liên 0,25 tiếp. Do đó S không là số nguyên.
6. Cho góc bẹt xOy, trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 2 cm, trên tia Oy lấy hai điểm M và B sao cho OM = 1 cm, OB = 4 cm. a) Chứng tỏ điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. 5 b) Từ O kẻ hai tia Ot và Oz sao cho yOt 130o , yOz 30o . (5,0đ) Tính số đo zOt . c) Qua O kẻ thêm n tia phân biệt khác tia Ox, Oy, Ot, Oz. Biết rằng trên hình có 190 góc chung gốc O. Tính số tia n kẻ thêm. HS vẽ hình 0,25 x A O M B y Trên tia Oy có OM = 1 cm < OB = 4 cm 0,25 Nên điểm M nằm giữa hai điểm O và B OM + MB = OB 0,25 MB = OB – OM = 4 – 1 = 3cm Vì A nằm trên tia Ox, M nằm trên tia Oy mà Ox và Oy đối nhau nên điểm 0,25 O nằm giữa 2 điểm A và M 5a OM + OA = MA (1,75đ) MA = 2 + 1 = 3 cm 0,25 Suy ra MA=MB (3) Ta có A, B nằm trên hai tia đối nhau, M lại nằm giữa O và B nên M nằm 0,25 giữa A và B (4) Từ (3) và (4) sauy ra M là trung điểm đoạn AB. 0,25 TH1: Hai tia Ot, Oz thuộc cùng 1 nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy t 0,25 z x y 5b A O M B (2,0đ) Ta có: yOz yOt nên tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot 0,25 yOz zOt yOt 0,25 Thay số có zOt 100o 0,25 TH2: Hai tia Ot, Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng xy
7. t 0,25 x M y A O B z n Kẻ tia On là tia đối của tia Ot 0,25 Góc yOt và yOn là hai góc kề bù Suy ra yOn = 500 Vì Ot và On là hai tia đối nhau 0,25 Nên Ot và On nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ đường thẳng xy Mà Ot và Oz nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng xy Suy ra On và Oz cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ đường thẳng xy Vì yOz yOn ( vì 30o 50 o ) Tia Oz nằm giữa hai tia Oy và On yOz zOn yOn zOn 200 Vì Ot và On là hai tia đối nhau 0,25 Nên tOz và zOn kề bù Suy ra tOz = 160o Trên hình có x = n+4 tia phân biệt chung gốc O. 0,25 Ta có mỗi tia kết hợp với x-1 tia còn lại tạo thành x-1 góc. 0,25 x tia như thế tạo thành x(x-1) góc. Nhưng mỗi góc đã được tính hai lần nên số góc thực tế vẽ được là x(x 1) góc. 0,25 2 5c x(x 1) 0,25 Theo bài ra ta có =190 x(x 1) 380 20.19 (1,25đ) 2 Vì x-1 và x là hai số tự nhiên liên tiếp và x x 1 nên x 20 0,25 n = 16 Vậy n =16
8. 6 1 2018 2007 Cho Q (72020 3 2008 ) . Chứng minh Q là số tự nhiên chia hết cho 5. (1,0đ) 2 Vì 2020 ; 2008 đều là bội của 4 nên 20202018 và 20082007 cũng là bội của 4 0,25 20202018 4.m m N * ;2008 2007 4. n n N * 2018 2007 m n Khi đó 72020 3 2008 7 4m 3 4 n 7 4 3 4 1 1 0 0,25 1 2018 2007 Suy ra Q (72020 3 2008 ) là một số có tận cùng là 0 hoặc 5 0,25 2 Suy ra Q là số tự nhiên chia hết cho 5. 0,25 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.