Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN THÁI THỤY NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: Toán 7 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điểm). 4 1 2 4 1 5 a) Tính hợp lý giá trị biểu thức: A:: 9 15 3 9 11 22 b) Tìm x nguyên biết: x 1 x 3 0 c) Tìm số tự nhiên n, biết rằng: 22n 1 4 n 2 264 Bài 2 (3,0 điểm). a) Cho đa thức f(x) =x2 + ax +b thỏa mãn f(-1) = 2 và f(1) =12. Tìm nghiệm của đa thức f(x). x y z t b) Cho x, y, z, t thỏa mãn: yztztxtxyxyz 2017 2018 2019 2020 x y y z z t t x Tính P z t x t x y z y Bài 3 (4,0 điểm). a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỷ lệ theo 1: 2: 3. b) Ba đường cao của một tam giác có độ dài là 4; 12 và a. Tìm số tự nhiên a. Bài 4 (3,0 điểm). x 1 a) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên biết: Q = x 3 6 b) Tìm x, y biết: y 2 3 (x 1)2 2 Bài 5 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB < AC. Từ trung điểm D của BC vẽ đường vuông góc với tia phân giác của góc A tại H. Đường thẳng này cắt các tia AB tại E và AC tại F. Vẽ tia BM song song với EF (M AC). a) Chứng minh ABM cân. b) Chứng minh: MF = BE = CF. c) Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia AH tại I. Chứng minh: IF  AC. Bài 6 (1,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 3 : 4 : 5. Tính số đo AMB . HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 – NĂM HỌC 2018-2019 Biểu Bài Nội dung điểm 4 1 2 4 1 5 a) Tính hợp lý: A:: 9 15 3 9 11 22 1 (4,0đ) b) Tìm x nguyên để: x 1 x 3 0 c) Tìm số tự nhiên n biết rằng: 22n 1 4 n 2 264 4 3 4 3 A:: 0,25 9 5 9 22 0,25 4 5 4 22 A 0,25 9 3 9 3 1a 4 5 22 A. 0,25 (1,5đ) 9 3 3 4 27 4 A . ( 9) 4 0,25 9 3 9 Vậy A = -4 0,25 x 1 x 3 0 Nhận xét: Tích của hai số âm khi hai số trái dấu 0,25 Mặc khác: x 3 x 1 1b x 1 0 Do đó: x 1 x 3 0 0,25 (1,25đ) x 3 0 Giải ta được 1 x 3 0,25 Mà x nguyên, suy ra x = 2 0,25 Vậy x = 2 0,25 Ta có: 22n 1 4 n 2 264 22n 1 22 n 2 264 0,25 22n 1 2 2n 1 5 264 22n 1 1 2 5 264 0,25 1c 22n 1 .33 264 22n 1 8 2 3 0,25 (1,25đ) 2n 1 3 n 2 0,25 Vậy n = 2 0,25 a) Cho đa thức f(x) =x2 + ax +b thỏa mãn f(-1) = 2 và f(1) =12. 2 Tìm nghiệm của đa thức f(x). (3,0đ) x y z t b) Cho x, y, z, t thỏa mãn: yztztxtxyxyz
3. 2017 2018 2019 2020 x y y z z t t x Tính P z t x t x y z y f(-1) = 2 -a+b=1 0,25 f(1) =12 a+b=11 2a Giải tìm được a =5, b = 6 0,25 (1,5đ) Thay a = 5 và b = 6 ta có đa thức f(x) = x2 + 5x +6 0,25 f(x) =0 x2 + 5x +6=0 (x+2)(x+3) =0 x= -2 hoặc x= -3 0,5 Vậy đa thức f(x) có hai nghiệm x= -2 ; x= -3 0,25 x y z t yztztxtxyxyz x y z t 1 1 1 1 0,25 yzt ztx txy xyz xyztxyztxyztxyzt yzt ztx txy xyz TH1: x y z t 0 0,25 x y z t 2b y z t x (1,5đ) z t x y t x y z 2017 2018 2019 2020 0,25 P 1 1 1 1 0 TH2: x y z t 0 yztztxtxyxyz xyzt 0,25 2017 2018 2019 2020 P 1 1 1 1 4 0,25 Vậy P = 0 hoặc P = 4 0,25 a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ 3 số của nó tỷ lệ theo 1: 2: 3. (4,0đ) b) Ba đường cao của một tam giác có độ dài là 4; 12 và a. Tìm số tự nhiên a. Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm. 0,25 Không mất tính tổng quát, giả sử a b c 9. Ta có 1 a + b + c 27 . 0,25 Mặt khác số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9, 0,25 do đó a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27. a b c a b c 3a Theo đề bài ta có: ; 0,25 (2,0đ) 1 2 3 6 Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18. 0,25 Từ đó suy ra a = 3, b = 6, c = 9. 0,25 Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn 0,25
4. Vậy hai số cần tìm là: 396; 936. 0,25 Gọi x, y, z là số đo độ dài 3 cạnh của tam giác ứng với chiều cao 4, 12, a (x, y, z, a dương). 0,25 Gọi S là diện tích của tam giác (S > 0). Ta có: 4x = 12y = az = 2S 0,5 S S 2S x= ; y= ; z= 3b 2 6 a (2,0đ) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có x-y < z< x+y nên 0,25 S S 2S S S 2 2 2 3<a< 6 . 0,5 2 6 a 2 6 6 a 3 Mà a N nên a=4 hoặc a= 5. 0,25 Vậy a=4 hoặc a= 5. 0,25 x 1 a) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên biết: Q = 4 x 3 (3,0đ) 6 b) Tìm x, y biết: y 2 3 (x 1)2 2 Điều kiện: x 0; x 9 0,25 x 1 4 Ta có A= 1 0,25 x 3 x 3 x 0, x  x  hoặc x  (loại) 0,25 4a Ta có: x  x 3  , ta có: (2,0đ) 4 A nguyên khi nguyên 0,25 x 3 0,25 x 3 Ư(4) = -4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4 Giải ta tìm được x 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49  (thỏa mãn đk) 0,5 Vậy x 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49  0,25 2 2 Ta có (x 1) 0 với mọi x (x 1) +2 2 với mọi x 6 3 với mọi x (x 1)2 2 0,25 Lại có: y 2 0 với mọi x y 2 3 3 với mọi x 0,25 4b 6 (1,0đ) Dấu bằng xảy ra 3và y 2 3 3 x 1 và y=2 (x 1)2 2 0,25 Vậy x 1 và y=2 0,25
5. Cho tam giác ABC có AB < AC. Từ trung điểm D của BC vẽ đường vuông góc với tia phân giác của góc A tại H. Đường thẳng này cắt các tia AB tại E và AC tại F. Vẽ tia BM song song với EF (M AC). 5 a) Chứng minh ABM cân. (5,0đ) b) Chứng minh: MF = BE = CF. c) Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt tia AH tại I. Chứng minh: IF  AC. Vẽ hình và ghi GT, KL A 0,25 M F N D B C H K E 0,25 I Gọi giao điểm của AH và BM là N. Ta có: BM // EF (gt) 0,25 5a AH  EF (gt) (1,0đ) Suy ra: AH  BM hay AN  BM 0,25 Chứng minh ABN = AMN (g.c.g) 0,25 AB = AM ABM cân tại A 0,25 Chứng minh AEF cân tại A AE = AF 0,25 Mà AB = AM AE – AB = AF – AM BE = MF (1) 0,25 5b Vẽ BK//AC (K EF). Chứng minh BKD = CFD BK = CF 0,5 (1,75đ) Chứng minh EBK cân tại B BE = BK. Do đó BE = CF (2) 0,5 Từ (1) và (2) MF = BE = CF 0,25 Nối IB, IC. Chứng minh được IB = IC 0,25 Chứng minh đươc AEI = AFI IE = IF và AEI AFI (3) 0,5 5c Chứng minh được: BEI = CFI BEI CFI (4) 0,5 (1,75đ) Từ (3) và (4) AFI CFI , mà 2 góc này kề bù nên 0,5 AFI CFI 90o IF  AC
6. 6 Cho tam giác đều ABC, M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA : (1,0đ) MB : MC = 3 : 4 : 5. Tính số đo AMB . A 1 N 2 3 3a M 5a 4a B C Do MA:MB:MC 3:4:5 MA MB MC Đặt a 0,25 3 4 5 MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a Trên nửa mặt phẳng bờ AC dựng tam giác đều AMN AM = AN = MN = 3a và AMN 600 Xét ABN và ACM có AB = AC (gt) (5) AN = AM = 3a (6) 0,25   0  A1 A 2 60    AA1 3 (7)   0 A2 A 3 60  Từ (5), (6) và (7) ABN = ACM (c.g.c) BN = CN = 5a. Xét BMN có BN2 = (5a)2 = 25a2 BM2 + MN2 = (4a)2 + (3a)2 = 25a2 0,25 BN2 = BM2 + MN2 BMN vuông tại M ( định lý pytago đảo) NMB 900 Suy ra : AMB AMN NMB 900 60 0 150 0 0,25 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.