Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

1. PHÒNG DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN THÁI THỤY NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1 (4,0 điểm). 2x5 x 4 2x1 8x 2 4x 2 Cho biểu thức: P 4x2 1 8x 3 1 a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P = 6 Bài 2 (4,0 điểm). a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn: 2a+b 2b+c 2c+d 2d+a + + 6. Chứng minh A = abcd là số chính phương. a b b+c c d d +a b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3. Bài 3 (3,0 điểm). a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017 2 2 x+1 x+1 2x-4 b. Giải phương trình: + -3 0 x-2 x-4 x-4 Bài 4 (3,0 điểm). a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều. 1 1 1 b. Cho x, y, z dương và x + y + z =1. Chứng minh rằng : 9 x2 2 yz y 2 2 xz z 2 2 xy Bài 5 (5,0 điểm). Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. Bài 6 (1,0 điểm). Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 HẾT Họ và tên học sinh: Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2015-2016 Biểu Bài Nội dung điểm 2x5 x 4 2x1 8x 2 4x 2 Cho biểu thức: P 4x2 1 8x 3 1 a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P = 6 2x5 x 4 2x1 8x 2 4x 2 0.25 a) P 4x2 1 8x 3 1 x(2x4 1) (2x 1) 2(4x 2 2x 1) 1 = 2 (2x 1)(2x 1) (2x 1)(4x 2x 1) (x4 1)(2x1) 2 x 4 1 2 x 4 1 = 1 (2x 1)(2x 1) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 x4 1 0.25 Vậy P = 2x 1 1 1 b) ĐK: x 2 0.25 x4 1 P = 6 6 x4 1 12x 6 2x 1 x4 4x 2 4 4x 2 12x 9 0.25 (x2 2) 2 (2x 3) 2 x2 2 2x 3 (1) hoặc x2 2 2x 3 (2) 2 2 0.25 Ta có (1) x 2x 1 2 (x 1) 2 x 1 2 x 1 2 (tmđk) 0,25 x 1 2 x 1 2 2 2 (2) x 2x 1 4 (x 1) 4 vô nghiệm 0.25 x 1 2 Vậy 0.25 x 1 2 a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn: 2a+b 2b+c 2c+d 2d+a + + 6. a b b+c c d d +a Chứng minh A = abcd là số chính phương. b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3. 2a+b 2b+c 2c+d 2d+a a) + + 6 a b b+c c d d +a 2 a b c d 1 +1+ 1 +1+ 6 a b b+c c d d +a a b c d + + 2 a b b+c c d d +a 0,25 a b c d 1 1 0 a b b+c c d d +a 0,25
3. b b d d 0 a b b+c c d d +a 0,25 b(c-a) d(a -c) 0 (a b )( b +c) ( c d )( d +a) 0,25 2 2 bcdd( )( a ) dabbc ( )( ) 0 abc acd bd b d 0 0,25 (b d )( ac bd ) 0 0,25 ac bd 0 ac b d (vì b ≠ d) Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương 0,25 0,25 +) Thực hiện phép chia a3 – 2a2 + 7a – 7 cho a2 + 3, kết quả : a3 – 2a2 + 7a – 7 = (a2 + 3)(a - 2) + (4a – 1) 0,5 +) Lập luận để phép chia hết thì 4a -1 phải chia hết cho a2 + 3 2 (4a 1) ( a 3) 2 0,5 (4a 1)(4 a 1) ( a 3) (vì a Z nên 4a 1 Z ) 2 2 (16a 1) ( a 3)  2 2 16(a 3) 49  ( a 3) 49 (a2 3) 0,5  0,5 +) Tìm a, thử lại và kết luận a 2;2 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017 2 2 x+1 x+1 2x-4 b. Giải phương trình: + -3 0 x-2 x-4 x-4 a) A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x + 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 0.5 = (2x2 – 3x )2- 1 + 2017 =(2x2 – 3x )2 + 2016 2016 0.5 x 0 2 Dấu "=" xảy ra 2x 3x 0 x(2x 3) 0 3 x 2 0.75 3 x 0 Vậy A min = 2016 3 x 2 0.25 2 2 x+1 x+1 2x-4 0,25 b) + -3 0. Điều kiện x 2;4 x-2 x-4 x-4 2 2 x+1 x+1 x-2 + -12 0 (*) x-2 x-4 x-4 x +1 x - 2 x +1 Đặt = a và = b suy ra ab = 0, 25 x - 2 x - 4 x - 4 Phương trình (*) trở thành : a2 + ab – 12b2 = 0
4. a 3 b 0,25 (a – 3b)(a + 4b) = 0 a 4 b x +1 x - 2 + Nếu a = 3b thì = 3. x - 2 x - 4 0,5 (x+ 1)(x - 4) = 3(x-2)2 Giải phương trình trên và kết luận phương trình vô nghiệm x +1 x - 2 + Nếu a = -4b thì = 4. x - 2 x - 4 (x+ 1)(x -4) = -4(x-2)2 x 3 Giải phương trình trên ta được 4 (tmđk) x 0,5 5 4 + Kết luận nghiệm của phương trình S = { 3; } 5 0,25 a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều. b. Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1. 1 1 1 Chứng minh rằng : 9 x2 2 yz y 2 2 xz z 2 2 xy a) C/m: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) 0,5 +) Từ giả thiết suy ra: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0 2 2 2 a + b + c – ab – bc – ca = 0 ( vì a + b + c > 0 ) 0,25 +) Biến đổi được kết quả: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 0,5 a b 0 4 b c 0 a = b = c Tam giác đó là đều (đpcm) 0,25 c a 0 b) Đặt a = x2 + 2yz; b = y2 + 2xz; c = z2 +2xy a, b, c > 0 và a + b + c = (x + y + z)2 = 1 0,5 1 1 1 0,5 +) C/m: a b c 9 a b c 1 1 1 9 hay 1 1 1 (đpcm) 9 2 2 2 9 0,5 abcabc x 2 yz y 2 xz z 2 xy Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C 5 (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM
5. c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. Vẽ hình và ghi GT, KL y x D I M 0,5 C K A H O B a) Chứng minh: ΔOAC∽ ΔDBO (g-g) 0,5 OA AC OA.OB AC.BD 0,25 DB OB AB AB . AC.BD AB2 4AC.BD (đpcm) 0,25 2 2 OC AC 0,25 b) Theo câu a ta có: ΔOAC∽ ΔDBO (g-g) OD OB OC AC OC OD 0,25 Mà OA OB OD OA AC OA 0,25 +) Chứng minh: ΔOAC∽ ΔDOC (c-g-c) ACO OCM +) Chứng minh: ΔOAC=ΔOMC (ch-gn) AC MC (đpcm) 0,25 c) Ta có ΔOAC=ΔOMC OA OM;CA CM OC là trung trực của AM 0,25 OC  AM, Mặc khác OA = OM = OB ∆AMB vuông tại M OC // BM (vì cùng vuông góc AM) hay OC // BI 0,25 +) Xét ∆ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra OM đi 0,25 qua trung điểm AI IC = AC MK BK KH +) MH // AI theo hệ quả định lý Ta-lét ta có: IC BC AC 0,5 Mà IC = AC MK = HK BC đi qua trung điểm MH (đpcm) 0,25 d) Tứ giác ABDC là hình thang vuông 1 S (AC BD).AB ABDC 2 0,25 Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô-si ta có 2 AB 1 2 0,25 AC BD 2 AC.BD 2. AB S AB 4ABDC 2 0,25
6. AB Dấu “=” xảy ra AC BD OA 2 0,25 Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một đoạn bằng OA Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 +) Với a, b, c, d dương, ta có a b c d F b c c d d a a b a c b d adacbcbabdcd( )()( )( ) bcda cdab ( bcda )( ) ( cdab )( ) a2 c 2 ad bcb 2 d 2 abc d 4( a 2 b 2 c 2 d 2 aba d bcc d) 0,5 12 1 2 2 b c d a c d a b (a b c d ) 6 4 4 1 (theo bất đẳng thức xy (x y)2 ) 4 2 2 2 2 2 +) Mặc khác: 2(a b c d ab ad bc cd) (a b c d) 0,25 a2 b 2 c 2 d 2 2ac 2bd (a c) 2 (b d) 2 0 Suy ra F 2 và đẳng thức xảy ra a = c; b = d +) Áp dụng với a = 2016, b = x, c = y, d = 2015 ta có: 2016 x y 2015 2 x y y 2015 4031 x 2016 0,25 Đẳng thức xảy ra y = 2016; x = 2015 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.