Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Thái Thụy (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN THÁI THỤY NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn: Toán 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (4,0 điểm). a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 y 2 2xy 4x 4y 5 b) Chứng minh n N* thì n3 n 2 là hợp số. c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. Bài 2 (4,0 điểm). Cho biểu thức: 2 x2 y 2 y 2 x 2 x y A. 2 2 2 2 với x 0, y 0, x y . x x xy xy y xy x xy y a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2 y 2 10 2(x 3y) . Bài 3 (3,0 điểm). 1 1 1 1 a) Giải phương trình 3x2 2017 x 2 2018 4x 2 2019 8x 2 2018 b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x 2 x 1 y2 4y 1 Bài 4 (3,0 điểm). 2x m x 1 a) Cho phương trình 3. Tìm m để phương trình có nghiệm dương. x 2 x 2 b) Cho đa thức B(x) x4 ax 3 bx 2 cx d . Biết B(1)=10; B(2) =20; B(3) =30. Tính B(12) + B(-8). Bài 5 (5,0 điểm). Cho hình vuông ABCD, điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B và C). Trên nửa mặt phẳng bờ là BC không chứa hình vuông ABCD vẽ hình vuông CHIK. Gọi M là giao điểm của DH và BK, N là giao điểm của KH và BD. Chứng minh: a) DH  BK. b) DN.BD + KM.BK = DK2 . BH DH KH c) 6 . HC HM HN Bài 6 (1,0 điểm). Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1. 2x 3y Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức a . 2x y 2 HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8– NĂM HỌC 2018-2019 Bài Nội dung Điểm a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 y 2 2xy 4x 4y 5 1 * 3 b) Chứng minh n N thì n n 2 là hợp số. (4,0đ) c) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ. x2 y 2 2xy 4x 4y 5 0,5 = (x - y)2 + 4(x - y)2 + 4 -9 1a (1,5đ) = (x - y + 2)2 - 32 0,5 = (x - y + 5)(x - y -1) 0,5 Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1) 0,5 1b =(n+1)( n2 - n + 2) 0,25 (1,25đ) Do n N* nên n + 1 > 1 và n2 - n + 2 >1 0,25 Vậy n3 + n + 2 là hợp số 0,25 Gọi hai số lần lượt là a2 và (a+1)2 0,25 Theo bài ra ta có: a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 = a2 + a2 +2a + 1 + (a2+a)2 0,5 1c = (a2+a)2+ 2(a2 + a) + 1 = (a2 + a + 1)2 (1,25đ) vì a2 + a = a(a + 1) là số chẵn a2 + a + 1 là số lẻ (a2 + a + 1)2 là một số 0,25 chính phương lẻ. Vậy a2 + (a + 1)2 + a2( a + 1)2 là một số chính phương lẻ (đpcm). 0,25 2 x2 y 2 y 2 x 2 x y A. 2 2 2 2 với x 0, y 0, x y . x x xy xy y xy x xy y 2 a) Rút gọn biểu thức A. (4,0đ) b) Tính giá trị của biểu thức A biết x, y thỏa mãn đẳng thức: x2 y 2 10 2(x 3y) . Với x 0, y 0, x y ta có: 2 2 2 2 2 x y xy (x y )(x y) x y 0,5 A = . 2 2 x xy(x y) x xy y 2a 2 xy(x y) (x y).(x y)2 x y = - . 0,5 (2,25đ) x xy(x y) x2 xy y2 2 (x y)(x2 xy y 2 ) x y = + . 0,5 x xy(x y) x2 xy y 2 2 x y = + 0,25 x xy
3. x y = xy 0,25 x y Vậy với x 0, y 0, x y thì A = 0,25 xy Ta có: x2 y2 10 2(x 3y) 0,25 x2 2x 1 y 2 6y 9 0 2 2 2b x 1 y 3 0 0,25 (1,75đ) Lập luận suy ra x 1;y 3 0,5 Ta thấy x = 1; y = -3 thỏa mãn điều kiện: x 0, y 0, x y 0,25 x y 1 ( 3) 2 nên thay x = 1; y =- 3 vào biểu thức A = ta có: A= 0,25 xy 1.( 3) 3 2 Kết luận : Vậy với x2 y2 10 2(x 3y) thì A = 0,25 3 1 1 1 1 a) Giải phương trình 3 2 2 2 2 3x 2017 x 2018 4x 2019 8x 2018 (3,0đ) b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: x 2 x 1 y2 4y 1 ĐK: x2 2018 0 * 1 1 1 1 2 2 2 2 3x 2017 x 2018 4x 2019 8x 2018 Phương trình có dạng: 1 1 1 1 0,25 a b c a b c ab bc ca a b c abc a b 0 3a HS biến đổi được kết quả: a b b c c a 0 b c 0 0,25 (1,5đ) c a 0 1 x 2 2 +) a b 0 4x 1 0 (thỏa mãn điều kiện (*)) 1 x 0,25 2 +) b c 0 5x2 1 0 vô nghiệm 0,25 2 +) c a 0 7x 4036 0 vô nghiệm 0,25 1 1 KL: Vậy x hoặc x 2 2 0,25 Chứng tỏ được x 2 x 1 x 2 1 x 3 với mọi x 0,25 3b Dấu bằng xảy ra -2 x 1 0,25 (1,5đ) Ta có y2 4y 1 (y 2 4y 1) 3 (y 2) 2 3 với mọi y 0,25
4. Dấu bằng xảy ra y = -3 0,25 Do đó x 2 x 1 3 (y 2)2 3 Ta tìm được y = - 2 và -2 x 1 0,25 mà x Z x { -2; -1; 0; 1} Vậy các cặp số nguyên (x; y) là: (-2; -2); (-1; -2); (0; -2); (1; -2) 0,25 2x m x 1 a) Cho phương trình 3. Tìm m để phương trình có nghiệm x 2 x 2 4 dương. (3,0đ) b) Cho đa thức B(x) x4 ax 3 bx 2 cx d . Biết B(1)=10; B(2) =20; B(3) =30. Tính B(12) + B(-8). Điều kiện: x 2;x 2 0,25 2x m x 1 3 x 2 x 2 0,25 (2x m)(x 2) (x 1)(x 2) 3(x 2)(x 2) (1 m)x 2m 14 +) m = 1, phương trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm. 0,25 4a 2m 14 0,25 +) m 1, phương trình trở thành x (1,5đ) 1 m 2m 14 2 1 m m 4 Phương trình có nghiệm dương 0,25 2m 14 1 m 7 0 1 m m 4 Vậy giá trị m thỏa mãn là . 0,25 1 m 7 Xét đa thức C(x) = B(x) -10x C(x) là đa thức bậc 4 Ta có C(1) = B(1) -10=10 -10 = 0 0,25 C(2) = B(2) -20=20 -20 = 0 C(3) = B(3) -30=30 -30 = 0 0,25 x =1; x = 2; x =3 là ba nghiệm của đa thức C(x). 4b C(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) (với a Q) (1,5đ) 0,25 B(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + 10x Ta có B(12) = 11.10.9.(12-a) + 120 B(-8) = (-9).(-10).(-11).(-8-a) -80 0,25 B(12) +B(-8) = 9.10.11.(12-a+8+a) + 40= 9.10.11.20 + 40 =19840 0,25 Vậy B(12) +B(-8) = 19840 0,25 Cho hình vuông ABCD và điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B và C). Trên nửa mặt phẳng bờ là BC không chứa hình vuông ABCD vẽ hình vuông CHIK. Gọi M là giao điểm của DH và BK; N là giao điểm của KH và 5 (5,0đ) BD. Chứng minh: a) DH  BK. b) DN.BD + KM.BK = DK2 .
5. BH DH KH c) 6 . HC HM HN HS vẽ hình và ghi GT, KL A B N M 0,25 I H 0,25 D C K o o o Ta có: DCK DCB BCK 90 90 180 nên D, C, K thẳng hàng 0,25 Ta có: AC và HK là hai đường chéo của hình vuông ABCD và CHIK o o 0,25 Nên ACD 45 và HKC 45 ACD HKC AC / /KH 5a (1,5đ) Mà ACBD nên KHBD 0,25 Xét BDK có BCDK và KHBD nên H là trực tâm 0,5 DHBK (đpcm) 0,25 Chứng minh DNK đồng dạng DCB 0,5 DN DK Suy ra: DN.DB DC.DK (1) 0,25 DC DB 5b Chứng minh KMD đồng dạng KCB 0,5 (1,75đ) KM DK Suy ra: KM.BK CK.DK (2) 0,25 CK BK Từ (1) và (2) suy ra: 2 0,25 DN.BD KM.BK DC.DK CK.DK DK DC CK DK (đpcm) BH SSSSSS Ta có: BDH BKH BDH BKH BDH BKH HC S S S S S HDC HKC HDC HKC DKH 0,25 DHSSSS KH Tương tự ta có: BDH DKH; BKH DKH HM SBKH HN S BDH 5c Do đó: (1,25đ) BH DH KH SSSSSS BDH BKH BDH DKH BKH DKH HC HM HN S S S DKH BKH BDH SSSSSS BDH BKH BDH DKH BKH DKH 0,25 SSSSSSDKH DKH BKH BKH BDH BDH SSSSSS BDH DKH BKH DKH BDH BKH SSSSSSDKH BDH DKH BKH BKH BDH
6. Lập luận chứng minh được: SSSSSS BDH DKH 2; BKH DKH 2; BDH BKH 2 SSSSSSDKH BDH DKH BKH BKH BDH 0,25 BH DH KH Suy ra: 6 HC HM HN Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi BDK đều 0,25 CD = CK hay CD = CH (vô lý) BH DH KH Vậy 6 (đpcm) 0,25 HC HM HN Cho x, y là các số thực thỏa mãn: 4x2 + y2 = 1. 6 2x 3y (1,0đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức a . 2x y 2 Ta có : 4x2 + y2 = 1 (*) 2x 3y Từ a 2x y 2 a(2x+y+2) = 2x+3y 2ax + ay + 2a - 2x - 3y = 0 2x(a – 1) + y(a – 3) = -2a (1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (2x; y) và (a – 1; a – 3) 0,5 Ta có: 4a2 = [2x(a-1)+y(a-3)]2 ≤ (4x2+y2).[(a-1)2+(a-3)2] 4a2 (a 1) 2 (a 3) 2 a 2 2a 1 a 2 6a 9 2a2 8a 10 0 a 2 4a 5 0 a 5 0 (a 1)(a 5) 0 a 1 0 (Vì a + 5 > a – 1) 1 a 5 * Thay a = 1 vào (1) ta được: -2y = -2 y = 1 Thay y = 1 vào (*) ta có: x = 0 (x; y) = (0;1) * Thay a = -5 vào (1) ta được: 2(-5 – 1)x + (-5 – 3)y = -2(-5) 6x 5 12x 8y 10 6x 4y 5 y 4 0,25 6x 5 Thay vào (*) ta được: 4x2 ( ) 2 1 4 2 3 4 3 4 100x 60x 9 0 x y (x; y) ; 10 5 10 5 Vậy GTLN của a là 1 khi x = 0; y = 1. 3 4 0,25 GTNN của a là -5 khi x ; y . 10 5 Lưu ý : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản của một cách giải, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Phần hình học, học sinh không vẽ hình thì không cho điểm. - HS làm đến đâu cho điểm tới đó và cho điểm lẻ đến 0,25. Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn.