Đề khảo sát học sinh giỏi lần 3 môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Trường Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi lần 3 môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Trường Sơn (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN NÔNG CỐNG ĐỀ KHẢO SÁT HSG LỚP 7 LẦN 3 TRƯỜNG THCS TRƯỜNG SƠN NĂM HỌC 2022-2023 (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang) MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm): xy yz 234xyz++ a) Cho = và = . Tính giá trị biểu thức A = (giả thiết A có nghĩa). 34 56 345xyz++ b) Tìm tập hợp các số nguyên x, biết rằng: 5 5  1 31 1  4 : 2−<< 7 x 3 :3,2 + 4,5.1 : − 21  9 18  5 45 2  Câu 2: (4 điểm) 11 1 1 1 a) Tìm x, biết: xx−+− +− x +− x ++− x =−11 x 3 15 35 63 399 b) Tính giá trị của biểu thức: Cx=++233 15 y 2015 tại x, y thỏa mãn: x − 2 + (y + 1) 2015 = 0 Câu 3: (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1: 2: 3. b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2016a -1 = - b− 2015 + b - 2015. Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng ∆AMN đều. c) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. Câu 5: (2 điểm) Cho 2016 số nguyên dương : a1, a2, a3, , a2016 thỏa mãn 111 1 + + ++ = 300 aaa1 2 3 a2016 Chứng minh trong 2016 số đã cho tồn tại ít nhất hai số bằng nhau. Hết Giám thị trông thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điểm xyz Đưa về dãy tỉ số bằng nhau: = = =kk( ≠ 0) 1đ 15 20 24 30kkk++ 60 96 186 A= = 1đ 45kk++ 80 120 k 245 5 5 41 18 2) Ta có: 4:27.7275−= −=−=− CÂU 1 9 18 9 41 0,5 (4,5đ) Lạicó:  1 31 1   16 5 9 76 43   38 − 2 43 −− 2 2 3 :3,2+ 4,5.1 : − 21  =  . + . : −=+   1  . = . = 1đ 5 45 2 5 16 2 45 2 5 43 5 43 5         −2 Do đó: - 5 0 nªn vÕ ph¶i > 0 suy ra 11x < 0 hay x <0. 0,75đ víi x <0 ta cã: 11 1 1 1 xx−+− +− x ++ x ++− x =−11 x 3 15 35 63 339 b 11 1 1 1 (2,0) ⇔−+−+xx −+ x −+ x −−+ x =−11 x 0,75đ CÂU 2 3 15 35 63 399 1 10 0,25đ (4,5đ) suy ra -x = 1 (1- ) = (TM) 2 21 21 10 0,25đ Vậy:x = − 21 1) Do x − 2 ≥ 0; (y + 1) 2015 ≥ 0 ⇒ xy−+2 ( + 1)2015 ≥ 0 với mọi x, 1đ 0,5đ c y. (1,0) Kết hợp điều kiện đề bài ta có x=2; 0,5đ Từ đó tính được C=2016
3. Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm. Không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b ≤ c≤9. 0,25 Ta có 1 ≤ a + b + c ≤ 27. đ Mặt khác số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9, do đó a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27. a b c abc++ 0,5 đ a = = = Theo đề bài ta có: ; (2đ) 123 6 Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18. 0,5 đ Từ đó suy ra a = 3, b = 6, c = 9. Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn, 0,25 CÂU 3 vì vậy hai số cần tìm là: 396; 936. đ (3,5đ) 0,5 đ Vì xx≥ dấu bằng xảu ra khi x ≥ 0 nên x- x ≤ 0 dấu bằng xảy ra khi x không âm. 0,5 đ Vậy (b-2015)- b −≤2015 0 dấu “=” xày ra khi b ≥ 2015 ;bN∈ (1) 0,5 0,5 đ Vì a là số tự nhiên nên 2016a ≥ 1 do đó 2016a-1 ≥ 0 (2) dấu “= “ b xảy ra khi a =0 (2) (2,0) 0,5đ Từ (1) ; (2) suy ra a=1 và b là số tự nhiên lớn hơn 2014 Vậy (a; b) =(0; k) k∈≥ Nk; 2015 E A D CÂU 4 a K (6,0đ) (1,0) I C B Ta có: AD = AB; DAC = BAE và AC = AE Suy ra ∆ADC = ∆ABE (c.g.c) 1 đ 1đ
4. Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a)⇒=ABE ADC , 0,25 đ mà BKI = AKD (đối đỉnh). 0,25 0 Khi đó xét ∆BIK và ∆DAK suy ra BIK= DAK = 60 (đpcm) đ E 0,5 đ A D b J N K 2đ M I C B Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ CM = EN và ACM = AEN ⇒∆ACM = ∆AEN (c.g.c) ⇒ AM = AN và CAM= EAN 0,25 MAN = CAE = 600. Do đó ∆AMN đều. đ 0,5 đ 0,25 đ c Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ⇒ ∆BIJ đều ⇒ BJ = BI và 0,5đ (2,0) JBI = DBA = 600 suy ra IBA = JBD , kết hợp BA = BD 0,5đ ⇒∆IBA = ∆JBD (c.g.c) ⇒=AIB DJB = 1200 mà BID = 600 0,5đ 0 ⇒ DIA = 60 . Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE 0,5đ Giả sử trong 2016 số nói trên không có 2 số bằng nhau, ta nhóm về trái được 0,5 đ 1 11 1 1 11 1++ ( + ) + ( + + +) + 2 21+ 12 22 2 ++ 12 2 22 2 + 32 3 111 1 1 1 1 0,5 đ +( + + ++ ) + ( + ++ ) < 29++ 1 2 9 2 29 + 3 210 2 10 + 1 2 10 + 2 210 + 992 CÂU 5 (1,5) (1,5đ) 123 9 1 2 2 2 2 992 0,5 đ 1++ + + ++ + <12 < 300 22121+++ 2 12 3 1 29 + 12 10 + 1 vô lí vì vế trái có giá trị là 300 Vậy trong 300 số kể trên có ít nhất 2 số bằng nhau. 0,5 đ Chú ý: +) Nếu HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.