Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Vũ Phạm Khải (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Trường THCS Vũ Phạm Khải (Có đáp án)

1. PHÒNG GD-ĐT HUYỆN YÊN MÔ ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 7 TRƯỜNG THCS VŨ PHẠM KHẢI Năm học: 2017-2018 Môn: Toán (Đề thi gồm 06 câu trong 01 trang) Ngày thi: 12/03/2018 Thời gian làm bài: 150 phút Câu I (3,0 điểm). Rút gọn các biểu thức sau: 5 4 9 2 3 3 4 .9 2.6 32 1 3 1 1) A 10 8 8 2) B  52: 2 .3 6 .20 5 4 4 2 Câu II (4,0 điểm). Tìm giá trị của x biết: 16x 1) 5x 3 - x = 7 2) 2x 3 - 4 x < 9 3) 2x 8 Câu III (4,0 điểm). 14 x 1) Với giá trị nguyên nào của x thì biểu thức A= có giá trị lớn nhất? Hãy tìm giá trị lớn 4 x của A tại x? 1 2 2) Tìm x ; y ; z biết: x y xxz2 0 2 3 x y z t 3) Cho biểu thức M với x, y, z, t là các số tự xyzxytyztxzt nhiên khác 0. Chứng minh rằng: M10 2017 Câu IV (3,0 điểm). 213 1) Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 70 5; 1; 2. Tìm ba phân số đó. 2) Nhà trường dự định chia vở viết cho 3 lớp 7A, 7B, 7C theo tỉ lệ số học sinh là 7:6:5. Nhưng sau đó vì có học sinh thuyển chuyển giữa 3 lớp nên phải chia lại theo tỉ lệ 6:5:4. Như vậy có lớp đã nhận được ít hơn theo dự định 12 quyển vở. Tính số vở mỗi lớp nhận được. Câu V (4,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A (Â<900). D là trung điểm của AC. Trên đoạn thẳng BD lấy điểm E sao cho DAE ABD . Từ A kẻ AG  BD (G tia BD ); kẻ CK  BD (K BD). 1) Chứng minh rằng: AK=CG. 2) Từ C kẻ CH  AE (H tia AE). Chứng minh EC là phân giác của HCK . 3) Chứng minh rằng: DAE ECB . Câu VI (2,0 điểm) 1) Cho tứ giác ABCD có BAC 250 , CAD 750 , ABD 400 , CBD 850 . Tính số đo của góc BCD . 2) Gọi f là một hàm xác định trên tập hợp các số nguyên và thỏa mãn ba điều kiện sau: f(0) ≠0; f(1)=3; f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) với mọi x, y . Tính giá trị của f(7). Hết
2. PHÒNG GD-ĐT HUYỆN YÊN MÔ HƯỚNG DẪN CHÂM KHẢO SÁT HSG LỚP 7 TRƯỜNG THCS VŨ PHẠM KHẢI Năm học: 2017-2018 Môn: Toán CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1.( 1.5 điểm) 45.94 2.69 210.38.(1 3) 1 A = 210.38 68.20 210.38 (1 5) 3 1.5 Câu I (3.0 điểm) 2. (1.5 điểm) 3 3 3 2 9 3 1 2 9 4 1 1 35 B 3 :  3 9 27 1.5 4 4 2 4 3 2 2 2 1. (1.5 điểm) T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = 7 5x 3 x 7 (1) §K: x -7 0.5 5x 3 x 7 1 5x 3 x 7 0.5 VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi: x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 0.5 2. (1.5 điểm) 2x + 3 - 4x -2 Câu II 0.5 (4.0 điểm) 3. (1.0 điểm) 16x 2x 8 24x 3 2 x 4x 3 x 0.5 x 1 0.5 1. (2.0 điểm) 10 10 A = 1 A lín nhÊt lín nhÊt 0.5 4 x 4 x 10 - XÐt x > 4 th× 0 A lín nhÊt 4 - x nhá nhÊt x = 3 4 x 0.5 1
3. * Gi¸ trÞ lín nhÊt cña A t¹i x=3 lµ: A=11 0.5 Câu III (4.0 điểm) 2. (1.0 điểm) 1 2 2 x y xxz 0 2 3 Áp dụng tính chất A 0 1 1 1 x 0 x 0 x 2 2 2 0.25 2 2 2 y 0 y 0 y 0.25 3 3 3 x 2 xz 0 x(x z) 0 1 z x 0.25 2 Vậy x = 1/2; y = -2/3; z = -1/2 0.25 3. (1.0 điểm) x x + Ta có: xyz xy y y xyt xy z z yzt zt t t xzt zt 0.25 x y z t M M 0) mà 210 = 1024 < 2017 Vậy M10 < 2017 0.25 0.25 1. (1.5 điểm) Gäi c¸c ph©n sè ph¶i t×m lµ: a, b, c ta cã : a + b + c = 213 70 0.5 3 4 5 vµ a : b : c = : : 6 : 40 : 25 0.5 5 1 2 9 12 15 Câu IV a ;b ;c (3.0 điểm) 35 7 14 0.5 2. (1.5 điểm) - Gọi số vở của 3 lớp 7A, 7B, 7C nhận được theo dự định tương ứng là x,y,z và số vở nhận được trong thự tế là a,b,c (với x,y,z,a,b,c thuộc N*) xyzxyz x y zxyz Ta có : 7 6 5 18 35 30 25 90 abcabc a b cabc 0.5 6 5 4 15 36 30 24 90 0.5 2
4. - Do a+b+c=x+y+z x a Nên ta có do đó x<a nên số vở của lớp 7A nhân được nhiều hơn so với 35 36 dự định Số vở lớp 7B nhận được không đổi. Số vở lớp 7C nhận được ít hơn so với dự định, suy ra z-c=12 - Từ đó suy ra 7A nhậ được 432 quyển vở, lớp 7B nhận được 360 quyển vở, lớp 7C nhận được 288 quyển vở 0.25 0.25 (Chấm theo hình vẽ của học sinh vì có 2 khả năng: Hình 1 và hình 2 đều có chung lời chứng minh. HS không cần xét 2 trường hợp). Hình 1 Hình 2 1. (1.0 điểm) +) Chứng minh ADG = CDK (cạnh huyền- góc nhọn) 0.25 DK = DG(2 cạnh tương ứng). 0.25 +) Chứng minh ADK CDGcgc(. .)   0.25 AK = CG(2 cạnh tương ứng). Kết luận. Vậy AK=CG 0.25 2. (2.0 điểm) + Chứng minh ABG = CAH (cạnh huyền- góc nhọn) Câu V AG = CH(2 cạnh tương ứng). (1) (4.0 điểm) 0.5 +Từ ADG = CDK (chứng minh trên) AG =CK(2 cạnh tương ứng) 0.25 (2) Từ (1) và (2) CH = CK. +) Chứng minh HEC  KEC (cạnh huyền-cạnh góc vuông) 0.25 3
5. HCE KCE (2 góc tương ứng). 0.5 Mà CE nằm giữa CH, CK nên CE là phân giác của HCK . Kết luận: CE là phân giác của HCK . 0.5 3. (1.0 điểm) +) Từ HEC  KEC (chứng minh trên) 0.25 CEH CEK (2 góc tương ứng) (3) + CEH là góc ngoài CEA tại đỉnh E nên: CEH =CAE ECA (4) CEK là góc ngoài tại đỉnh E nên: CEK = CBE ECB (5) CEB Từ (3), (4), (5) CBE ECB =CAE ECA (6) 0.25 Mặt khác, do ABC cân tại A (gt) nên ABC ACB (tính chất). CBE ABE ECB ECA (7) Lấy (6) trừ (7) theo từng vế ta được: ECB ABE CAE ECB 2. ECB ABE CAE 0.25 Mà CAE ABE (gt) nên 2.ECB 2. CAE ECB CAE hay ECB DAE ( đpcm). 0.25 1. (1.0 điểm) Câu VI (2.0 điểm) - Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC, chứa tứ giác ABCD dựng tam giác đều BCE. 0.25 - Theo giả thiết ta tính được DAB 100;ADB0 ABD 40;ACE 0 ACB 30 0 Suy ra tam giác BAD cân tại A và ACB ACE(c.g.c) AD AB AE DAE;BAE là hai tam giác cân tại A 0.25 0 0 0 Mặ khác DAE EAB 50 DAE BAE AED AEB 65 BED 130 0.25 Suy ra DEC 3600 130 0 170 0 ; DE=BE=EC Suy ra DEC cân tại E 0.25 4
6. 1800 170 0 ECD 50 . Vậy ECD 600 5 0 65 0 2 2. (1.0 điểm) Lần lượt áp dụng các tính chất đã cho ta có: f(1)f(0)=f(1+0)+f(1-0)=2f(1)=6 suy ra f(0)=2 0.25 f(1)f(1)=f(2)+f(0) suy ra f(2)=7 f(2)f(1)=f(3)+f(1) suy ra f(3)=18 0.25 f(3)f(1)=f(4)+f(2) suy ra f(4)=47 f(4)f(3)=f(7)+f(1) suy ra f(7)=843 Vậy f(7)=843 0.25 0.25 Hết 5