Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Phúc Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Phúc Thọ (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC NGHI LỘC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2023-2024 TRƯỜNG THCS PHÚC THỌ MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Bài 1 (4,0 điểm) 6322− 47 1) Tính giá trị biểu thức A = 21522− 105 2) Tính giá trị của biểu thức Bxxxxxx=−+−+−+6543250 50 50 50 50 50 tại x = 49 Bài 2 (4,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x32−2 x +− x xy 2 2) Tìm số tự nhiên n để nn2 ++2 20 là số chính phương. Bài 3 (5,0 điểm) 1) Cho các số thực a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng: abc ++=1 ab++ a111 bc ++ b ca ++ c 2) Cho a, b, c là các số nguyên thoả mãn a++ b 2024c = c3 . Chứng minh rằng: abc333++ chia hết cho 6 3) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn x2 −− xy2022 x + 2023 y − 2024 = 0 Bài 4 (6,0 điểm) 1) Cho hình vuông ABCD trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. a) Chứng minh MNPQ hình vuông. b) Tìm vị trí của M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất. 2. Cho tam giác ABC (AB <AC), M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua M và song song với phân giác của góc BAC cắt AC, AB lần lượt tại E, F. Chứng minh CE = BF Bài 5 (1,0 điểm): Cho các số nguyên dương a và b thoả mãn S= a22 ++ b ab +3( a ++ b) 2023 chia hết cho 5. Tìm số dư khi chia a - b cho 5 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng
2. ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM TOÁN 8 Bài Nội dung Điểm 6322− 47 (63−+ 47)( 63 47) 1) A = = 22− −+ 1,0 215 105( 215 105)( 215 105) Bài1 16.110 1 = = 1,0 (4,0 đ) 110.320 20 2) Ta có x = 49 nên x + 1 = 50 thay vào biểu thức B, ta được 0,5 Bxxxxxxxxxxxx=−+65432( 111111) ++( ) −+( ) ++( ) −+++( ) ( ) 0,5 =−−++−−++−−++xxxxxxxxxxxx6655443322 1 0,5 0,5 =1 1) x32−+−=−+−2 x x xy 2 x( x 221 x y 2) 0,5 22 =xx( −21 x +−) y 0,5 2 =xx( −−1) y2  0,5 =xx( −−11 y)( x −+ y) =xx( −− y11)( x +− y ) 0,5 Bài 2 2) Đặt pn22=++2 n 20 0,25 (4,0 đ) 2 pn2 =++( 1) 19 2 2 0,25 pn−+( 1) = 19 ( pn−−1)( pn ++ 1) = 19 0,25 Do p, n là các số tự nhiên nên (p - n - 1) < (p + n + 1) 0,25  pn− −=11 0,25 Khi đó   pn+ +=1 19 0,25 Suy ra n = 8 (TM) 0,5 a b c abc b cb 1) ++= ++ 0,5 ab++ a111 bc ++ b ca ++ c abbc + abc + bc bc ++ b1 cab + cb + b 1 b bc 0,5 =++ bc++ b111 bc ++ b bc ++ b 1++b bc 0,5 = =1 (đpcm) bc++ b 1 2) Ta có a++ b 2024c = c3 abcc++=3 −− c2022 c Bài 3 (5,0 đ) abccc++=( −1)( c + 1) − 2022 c 0,5 Ta có cc( −+1)( c 16) ; 2022c 6 nên (abc++)6 Xét (a333++ b c )( −++= abc )( a3 −+ a) ( b 3 −+ b) ( c 3 − c) =aaabbbccc( −11)( ++) ( − 11)( ++) ( − 11)( +) 0,5 Ta có aa( −+1)( a 16) ; bb( −+1)( b 16) ; cc( −+1)( c 16) Nên a333+ b + c)( − abc ++ chia hết cho 6 ( ) 0,25
3. Mà (abc++)6 (cm trên) 333 Vậy (abc++)6 (đpcm) 0,25 3) x2 −− xy2022 x + 2023 y − 2024 = 0 x2 − xy + x −2023 x + 2023 y − 2023 −= 1 0 2 ( x−+− xy x) (2023 x − 2023 y + 2023) = 1 0,5 xxy( −+1) − 2023( xy −+ 1) = 1 ( xy−+1)( x − 2023) = 1 0,5 xy− +=1 1 x = 2024 Trường hợp 1: ⇔ xy−=2023 1 = 2024 xy− +=−1 1 x =− 2022 0,5 Trường hợp 2: ⇔ xy−=−=−2023 1 2020  Vậy cặp số (x, y) là (2024, 2024); (-2022, -2020) 0,5 1) 0,5 a) Chứng minh được MNPQ là hình vuông 2,0 AM. AQ b) S nhỏ nhất khi và chỉ khi S lớn nhất, mà S = 0,5 MNPQ AMQ AMQ 2 Bài 4 2 ( AM+ MB) AB2 (6,0 đ) Ta có AM AQ=≤= AM MB 44 0,5 AB2 SAMQ lớn nhất là , đạt được khi AM = MB 8 Vậy SMNPQ nhỏ nhất khi và chỉ khi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm 0,5 AB, BC, CD, DA. 2) 0,5
4. Gọi AD là phân giác của góc BAC BA BD BF BA Ta có: AD // FM nên =⇒= (1) BF BM BM BD 0,25 CE CM CE CA ME // AD nên =⇒= (2) CA CD CM CD 0,25 BA BD BA CA Do AD là phân giác nên ta có: =⇒= (3) CA CD BD CD 0,5 BF CE Từ (1), (2), (3) suy ra = , mà BM = CM nên BF = CE (đpcm) BM CM 0,5 Ta có S= a22 ++ b ab +3( a ++ b) 2023 chia hết cho 5 nên ta được: 4a22+ 4 b + 4 ab + 12( a ++ b) 4.3 + 4.2020 chia hết cho 5 4a22+ 4 b + 4 ab + 12( a ++ b) 12 chia hết cho 5 0,25 22 (2ab++ 331) +( b +) chia hết cho 5 Đặt x = 2a + b + 3, y = b + 1 thì ta được xy22+ 35 Bài 5 + Nếu y2 chia hết cho 5, khi đó x2 cũng phải chia hết cho 5. Từ đó ta có: (1,0 đ) 2 0,25 (235235235ab++)  ( ab ++) ( ab ++) ⇒⇒⇒− (2ab 25) 2 ++ (b +15)  (bb15) 3( 15) Suy ra 2(a - b) 5 . Vậy số dư khi chia a - b cho 5 là 0 + Nếu y2 chia 5 dư 1, thì x2 chia 5 phải dư 2. Vô lí + Nếu y2 chia 5 dư 4, thì x2 chia 5 phải dư 3. Vô lí 0,25 Kết luận: Vậy số dư khi chia a - b cho 5 là 0 0,25 Lưu ý : Nếu học sinh làm theo cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa