Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2012- 2013 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Câu I (4,0 điểm) 1. Cho a = 743 và b = 743 Chứng minh rằng a + b và a.b là một số tự nhiên. 2. Tính giá trị của biểu thức: A = 29 30 2 9 4 2 2(5 2) Câu II ( 5,0 điểm) 1. Cho hàm số yfx () 3 x 2. a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho. b) Tìm giá trị của x để fx() 2. c) Chứng minh hàm số f ()x đồng biến trên tập xác định của nó. 10x 2xx 3 1 2. Cho biểu thức Q = với x 0;x 1 x 34xxx 4 1 a) Rút gọn Q. b) Chứng minh Q > - 3 với mọi x thuộc tập xác định. Câu III (4,0 điểm) 1. Giải phương trình: (4)(1)3xx xx2 526 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy22 21 Câu IV (6,0 điểm) 1. Cho tam giác nhọn ABC , BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: a222 b c2. bc CosA 2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A, qua A kẻ tiếp tuyến AF với đường tròn (O) ( F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O) tại D (tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)). Gọi H là giao điểm của BF với DO; K là giao điểm thứ hai của DC với nửa đường tròn (O). a) Chứng minh rằng AO.AB = AF.AD. b) Chứng minh DHK DCO . BD DM c) Kẻ OM vuông góc với BC( M thuộc đoạn AD). Chứng minh rằng 1. DM AM Câu V (1,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện 34x y . Tìm giá trị nhỏ nhất 11 của biểu thức A x xy .Hết . Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. UBND HUYỆN NHO QUAN HD VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012- 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Hướng dẫn chấm gồm : 02 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thí sinh làm bài theo cách khác đáp án, nếu đúng thì cho điểm tương đương. - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. Bài hình nếu hình vẽ không khớp với CM, hoặc không vẽ hình thì không chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu Nội dung Điểm Câu I (2,0đ) 743 = (2 3)2 2 3 0,5 2 0,5 1 743 = (2 3) 2 3 (2,0 điểm) 743 + 743 = 4 là một số tự nhiên 0,5 743 . 743 = (2 3).(2 3) = 1 là một số tự nhiên 0,5 2 A = 29 30 2 9 4 2 2(5 2) = 29 30 2 (2 2 1) 5 2 2 0,25 2 = 29 30 2 3 2 2 5 2 2 = 29 30 ( 2 1)2 5 2 2 = 0,5 ( 2,0 điểm) = 29 30 2 30 5 2 2 = 59 30 2 5 2 2 0,5 = (5 2 3)2 5 2 2 = 52 3 52 2 = 1 0,75 2 a) Hàm số yfx () 3 x 2 xác định 3x + 2 0 x 3 0,5 2 b) fx() 2 3 x 2 2 3x + 2 = 4 3x = 2 x = 3 0,5 2 1 x = thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy với x = thì f(x) = 2 Câu II 3 3 0,5 1 2 0,5 (3,0đ) c) Với x12 x Ta có: fx()21 fx () 3 x 2 2 3 x 1 2 3 (3xx21 2) (3 2) 3( xx 21 ) = 0,5 (3xx21 2) (3 2) (3 xx 21 2) (3 2) Vì x21 x nên xx21 0 do đó f ()xfx21 ()> 0 0,25 f ()xfx21 () nên hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định của nó. 0,25 10x 2xx 3 1 a) Q = 0,25 (4)(1)4x xxx 1 10xx (2 3)( x 1) ( xx 1)( 4) 10xx 3 7 73 x = = = 0,75 (4)(1)xx (4)(1)xx x 4
3. Câu II 19 2 (2,0đ) b) Xét hiệu Q – (-3) = Q + 3 = 0 tức là Q > -3 Với x 0;x 1 (1) 1,0 x 4 Câu III (4,0đ) 2 (4)(1)3xx xx 526 (1) (1) xx22543 x 5 x 26 (2) 0,25 đặt x2 52;0xtt 0,25 2 t 1 (2) trở thành: tt 340 (t+1)(t-4) = 0 0,5 1 t 4 (2,0 điểm) t = - 1 (loại), t = 4 ta được xx2 524 xx2 5140 0,5 (x - 2)(x + 7) = 0 0,25 x 2 Vậy pt có nghiệm là x = 2 hoặc x = -7 x 7 0,25 xy22 21 (1) Gọi a, b là một nghiệm của phương trình (1), ta có a2 – 2b2 = 1 0,25 22 0,25 2 (2)(2)1(2)(2)1abababab ( 2,0 điểm) (ab22 2 22)(2 abab 22 22)1 abab ( 222 2) (22)1 ab 2 0,25 (2)(22)1ab222 ab 2 (2)2(2)1ab222 ab 2 0,25 Suy ra ( abab22 2;2 ) là một nghiệm của pt (1) 0,25 phương trình có nghiệm (a; b) thì có nghiệm tổng quát dạng (2;2)abab22 0,25 Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của PT là (3;2) 0,25 KL: pt có vô số nghiệm nguyên dương thoả mãn ( abab22 2;2 ) với (a,b) nhỏ nhất là 0,25 (3;2). Nếu HS giải và tìm được nghiệm nguyên dương nhỏ nất là (3;2) thì cho 1,0 điểm Câu IV (3,0đ) Vẽ đường cao CH của ABC , Vì HAC vuông tại H, nên ta có AH = AC.CosA 0,25 Theo Pitago ta có AHHCAC222 0,25 1 HBC vuông tại H, nên Theo Pitago ta có BC222 HB HC 0,25 ( 1,5 điểm) = ()ABAHHCABABAH 222 2.+AH 22 HC 0,5 = AC22 AB2 osA AC AB C . Vậy abc222 2. bcCosA 0,25 x D M K F 2 (4,5 điểm) H B A O C
4. a) Vì AF, BD là tiếp tuyến của (O) nên AF OF, DB AB 0, 5 AOF và ADB có AFO = ADB = 900 , OAF chung 0, 5 AO AF Suy ra AOF  ADB (gg ) AO.AB AF.AD 0,5 AD AB b) DB = DF( t/c 2 tt cắt nhau), và OB = OF = bán kính, nên OD là trung trực của BF OD  BF 0,25 BKC có BC là đường kính của (O) nên BK  KC 0,25 Áp dụng hệ thức lượng vào DBO, đường cao BH ta có: DB2 = DH.DO (1) 0,25 Áp dụng hệ thức lượng vào DBC, đường cao BK ta có: DB2 = DK.DC (2) 0,25 DH DC Từ (1) và (2) DH.DO = DK.DC 0,25 DK DO DH DC Xét DHK và DCO có HDK chung, do đó DHK  DCO (c.g.c) DK DO 0,25 DHK DCO c) Ta có OM//DB ( vì cùng vuông góc với BC) nên B DO DOM (so le trong) 0,25 B DO ODM (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau) DOM ODM ODM cân tại M 0,5 MD = MO ADBD ADB có OM//DB nên theo định lý Ta-lét ta có 0,25 AMOM AD AM BD OM MD BD BD MD BD MD 1 11 0,5 AMOMAMOMOM AM DM AM 11 4 Chứng minh được BĐT phụ: Với hai số thực dương x và y ta có x yxy 0,25 Dấu bằng xảy ra khi x = y (1) Câu V 11 4 4 8 Áp dụng (1) ta có: 2 (1,0đ) xy 0,5 xxyxy x xy x 3 2 Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1. Vậy MinA = 2 0.25 Chú ý: HS có thể áp dụng trực tiếp BĐT Cauchy để làm.