Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2013 – 2014 MÔN: TOÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 06 câu, trong 01 trang Câu 1 (3 điểm). 11 a) Rút gọn biểu thức: 3737 b) Cho biết a = 23 và b = 23 . Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab 23684 c) Rút gọn biểu thức : Q 234 Câu 2 (4 điểm). a) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 5 x 2x 7 b) So sánh 51343và31 c) Tìm số tự nhiên n sao cho số sau là số chính phương: n(n+3) Câu 3 (4 điểm). 1. Cho hai đường thẳng y = 6 + 2x và y = 3 - x. a. Tìm toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng trên. b. Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B. Tính diện tích tam giác MAB 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x 2 + 5y 2 = 345 x x 3 2( x 3) x 3 Câu 4 (3,5 điểm). Cho biểu thức P = (với x 0; x 9) ( x 1)( x 3) x 1 x 3 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P tại x = 14 - 6 5 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Câu 5 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B). a) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh: MA2 = MD.MB c) Vẽ CH vuông góc với AB (H AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH. Câu 6 (1,5 điểm). Cho 4 số thực a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện: ac 2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: a 2 4b , c2 4d &
2. PHÒNG GD&ĐT NHO QUAN HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS Năm học 2013 – 2014 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) Câu Đáp án Điểm a. (1.0 điểm) 0.5 11 37 37 27 7 3737 2 3737 0.5 b. (1. điểm) Ta có: a + b = ( 23 ) + ( 23 ) = 4 0.5 1 (3.0 a.b = ( 23 )( 23 = 1. Suy ra P = 3. điểm) 0.5 c. (1. điểm) 232.32.424 234 2234 Q12 234 234 1 a. (1.5 điểm) 2x 7 0 5 x 2x 7 5 x 2x 7 2 0.5 5 x 2x 7 7 7 x x 2 2 11 0.75 4x 2 27x 44 0 x 4; x 4 11 x 0.25 4 2 b. (1.0 điểm) (4.0 điểm) 513435(231)42331 0.75 Vậy hai số này bằng nhau 0.25
3. c. (1.5 điểm) Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 2 2 2 2 (4n + 12n + 9) – 9 = 4a (2n + 3) - 4a = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 0.75 – 2a)= 9 Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 0.25 2n + 3 + 2a = 9 n = 1 và 2n + 3 – 2a = 1 a = 2 0.5 1. (2.5 điểm) a. To¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng lμ nghiÖm cña hÖ: 2x y 6 x 1 0.75 x y 3 y 4 To¹ ®é ®iÓm M(-1; 4) 0.25 b. VÏ hai ®−êng th¼ng 2x-y=-6 vμ x+y=3 trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é 1 0.5 S .MH.AB MAB 2 M 4 MH 4 4 (®¬n vÞ dμi) 3 2 AB 3 3 6 (®¬n vÞ dμi) 1 1 S .4.6 12 A H B 3 MAB (®¬n vÞ diÖn tÝch) 2 O 0.5 (4,0 -3 -2 -1 1 2 3 điểm) 0.5 2. (1.5 điểm) Ta có 3x2 = -5y2 + 345 0. 5 3x2 = 5(69 – y2) Ta thấy vế phải chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5 3x2 chia hết cho 5 => x2 chia hết cho 5 => x chia hết cho 5 0. 5 Mà x 10 nên x= 5 hoặc x= 10 * Nếu x = 5 ta có 3. 52 = -5y2+345  5y2 = 270 =>y = 54 không thỏa mãn * Nếu x = 10 => 3.102 +5y2 = 345 5y2 = 45 => y = 3 thỏa mãn Vậy x = 10 ; y = 3 là nghiệm của hệ phương trình 0. 5
4. x x 3 2( x 3) x 3 a) P = ( x 1)( x 3) x 1 x 3 x x 3 2( x 3) 2 ( x 3)( x 1) = 0,5 ( x 3)( x 1) x x 3 2x 12 x 18 x 3 x x 3 = ( x 3)( x 1) 0,5 x x 3x 8 x 24 x(x 8) 3(x 8) x 8 = = = 0,5 ( x 3)( x 1) ( x 3)( x 1) x 1 0,5 4 b) x = 14 - 6 5 = ( 5 )2 - 2.3. 5 + 9 = ( 5 - 3)2 x = 3 - 5 (3.5 14 6 5 8 22 6 5 58 2 5 điểm) Khi ®ã P = = = 0,5 3 5 1 4 5 11 x 8 x 1 9 9 9 c) P = x 1 x 1 2 2 9 2 4 0,5 x 1 x 1 x 1 x 1 9 ( ¸p dông B§T C«Si cho 2 sè d−¬ng x 1; ) x 1 9 DÊu"=" x¶y ra x 1 x = 4 ( tháa m·n ®iÒu kiÖn) x 1 VËy min P = 4, ®¹t ®−îc khi x = 4. 0,5 x N C M D I 5 E (4.0 điểm) A H OB a) (1,5 điểm) AB ADB 900 vì C (O; ) 2 0 0.5 ADM 90 (1) Lại có: OA = OC = R; MA = MC (tính chất tiếp tuyến).
5. Suy ra OM là đường trung trực của AC AEM 900 (2). 0,5 Từ (1) và (2) suy ra MADE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA. 0,5 b) (1.0 điểm) Xét ∆MAB vuông tại A có AD  MB, suy ra: MA2 = MB.MD (hệ thức lượng 1 trong tam giác vuông) c) (1.5 điểm) AB Kéo dài BC cắt Ax tại N, ta có vì C (O; ) 2 ACN 900 , suy ra ∆ACN vuông tại C. Lại có MC = MA nên suy ra được MC = MN, do đó MA = MN (5). 0.5 Mặt khác ta có CH // NA (cùng vuông góc với AB) nên theo định lí Ta-lét thì IC IH BI (6) với I là giao điểm của CH và MB. MN MA BM 0,5 Từ (5) và (6) suy ra IC = IH hay MB đi qua trung điểm của CH. 0,5 1. (1.5 điểm) Giả sử 2 bất đẳng thức : a 2 4b , c2 4d đều đúng khi đó cộng các vế ta được 6 a2 c2 4(b d) (1) 0,25đ (1.5 Theo giả thiết ta có 4(b+d) 2ac (2) 0,25đ điểm) Từ (1) và (2) a2 c2 2ac hay a c 2 0 (vô lý) 0,5đ Vậy trong 2 bất đẳng thức a 2 4b và c2 4d có ít nhất một các bất đẳng thức sai 0,5đ Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm. 2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết. 3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn. Hết