Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Nho Quan (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN NHO QUAN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2014 - 2015 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 5 câu trong 01 trang) Câu I (5,0 điểm). 1. Rút gọn các biểu thức sau: 10 3 11 a) M 423 423 b) N 22 2x 2 4 1 1 2. Cho biểu thức A với x 0,x 1. 1 x 3 1 x 1 x a) Rút gọn biểu thức A . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A . Câu II ( 4,0 điểm). 1. Cho hàm số bậc nhất y13mx5m2 2 (1) và đường thẳng d: y2x3 . a) Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) là hàm số đồng biến trên . b) Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y13mx5m2 2 và đường thẳng d cắt nhau tại một điểm trên trục tung. c) Tìm trên đường thẳng d những điểm có tọa độ thoả mãn đẳng thức xy22 240 xy . 2. Giải phương trình xx 252 x 325222 x . Câu III (4,0 điểm). 1. Cho m là một số nguyên. Chứng minh rằng: a) mm5 chia hết cho 30. mmm5327 m b) Biểu thức P là một số nguyên. 30 6 2 10 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình xy22 xy2340 x x . Câu IV (5,5 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn ()O , các đường cao AEBFCG,, cắt nhau tại H (,EBCFACGAB ,). 1. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A,,FHG , cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm I của đường tròn đi qua 4 bốn điểm A,,FHG , . b) AGAC AHAE. c) EF là tiếp tuyến của đường tròn tâm I . 2. Đặt EIF , IEF  . Tính Tc os66 c os  3sin 22 sin . Câu V (1,5 điểm). 3 Cho abc,, là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện abc . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 2 111 thức Qabc . abc .Hết . Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. UBND HUYỆN NHO QUAN HD VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014 - 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Hướng dẫn chấm gồm : 04 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thí sinh làm bài theo cách khác đáp án, nếu đúng thì cho điểm tương đương. - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. Bài hình nếu hình vẽ không khớp với CM, hoặc không vẽ hình thì không chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu Nội dung Điểm Câu I (5,0đ) M 423 423= (3 1)22 (3 1) 0,25 1a = 31 31 0,25 (1,0 điểm) 31 31(ì v 31) 0,25 23 0,25 10 3 11 1 10 3 11 120611 N 0,5 22 24 1b 22 (1,0 điểm) 2 11311 311 311 0,5 22244 2x 2 4 1 1 241x2 xx 1 a) A 3 3 0,5 1 x 1 x 1 x 11 xx 22 2x 2 4 2 2x 4 2 1 x x = 0,5 1 x 3 1 x 1x1x x2 2 21 x 2 = . ( 3,0 điểm) 2 2 0,5 1x1x x 1x x x0 2 2 b) Với thì A = 1xx 1 A 2 2. 0,5 x1 1xx A2 khi x0 . 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 2 khi x0 . 0,25 Câu II (4,0đ) a) Hàm số bậc nhất y13mx5m2 2 đồng biến trên 13m 0 0,25 1 31mm. 3 0,25 b) Đường thẳng y2x3 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 x 0 ta được 0,25 1 (2,5đ) (0;3) Oy Để đồ thị hàm số (1) và đường thẳng d cắt nhau tại 1 điểm trên trục tung thì tọa độ (0;3) thỏa mãn (1), ta có 13m.05m2 22 3 5m5 m2 1 0,5 m1. Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25 c) Thay y = 2x + 3 vào đẳng thức ta được: x2 + (2x + 3)2 – 2x(2x + 3) – 4 = 0 0,25
3. x2 + 6x + 5 = 0 (x + 1)(x + 5) = 0 x = –1 ( y = 1), x = –5 ( y = –7). 0,5 Những điểm có toạ độ thoả mãn đẳng thức xy22 240 xy là (–1; 1) và ( –5; –7). 0,25 5 ĐK: x 2 0,25 PT 22254262544xx xx 0,25 (2xx 5 1)22 (2 5 3) 4 2512534xx 0,25 2 (1,5đ) 253325xx 0,25 3250x 253x 0,25 259x 214x x 7 0,25 5 Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm phương trình là x 7 2 0,25 Câu III (4,0đ) 5 42222 0,25 C = mm = mm( 1)(1)(1)(1)(4)5) mm m mm m = (m - 2)(m - 1)m(m+1)(m+ 2)+ 5(m - 1)m(m+1) 0,25 Ta có A (mmmmm 2)( 1) ( 1)( 2) là tích của năm số nguyên liên tiếp nên 0,5 1a A2,AA 3, 5 . Vì 2, 3, 5 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau nên A30 (1) (2,0 điểm) B 5(mmm 1) ( 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên B2,Bv 3, ì(2,3) 1 B  6. 0,5 Mặt khác B5 , vì (5;6) 1 B30 (2) 0,25 Từ (1) và (2) C30 0,25 mmm5327 mmmmmmm532 P = 0,5 30 6 2 10 30 6 2 532 075 Theo chứng minh trên mm 30 ; mmmm 6; 2 mmmmmm532 1b ,, là các số nguyên. 0,5 (2,0 điểm) 30 6 2 mmm5327 m Biểu thức P là một số nguyên. 30 6 2 10 0,25 xy22 xy2340 x x (1) (1) x(1)(2)4xy x (2) 0,25 *) x 1 không là nghiệm của (2) nên x 1. Từ (2) ta có x 45 xy(2) 1 . 0,25 x 11x 2 Do x,(2)yxy nên PT có nghiệm nguyên khi ( 2,0 điểm) 0,25 x 1 là ước của 5 xx 1 5; 1;1;5 6; 2;0;4 (3) *) Mặt khác x 0 không là nghiệm của (2) x 0 Từ (2) ta có x 44 0,25 (1)(2)xy 1 x x Do x,(1)(2)yxy nên PT có nghiệm nguyên khi 0,25
4. x là ước của 4 x 4; 2; 1;1;2;4 (4) Từ (3) và (4) ta có x 2;4 0,25 x 21 y , x 42y thoả mãn (1) 0,25 Vậy PT có nghiệm nguyên là (2;1),(4;2) 0,25 Câu IV (5,5đ) A I (0,25 điểm) O 0,25 G F H C B E a) BFACgt () AFH900 F đường tròn đường kính AH (1) 0,25 CG AB() gt AGH900 G đường tròn đường kính AH (2) 0,25 a (1,25 điểm) Từ (1) và (2) F vGà cùng thuộc đường tròn đường kính AH 0,25 Vậy bốn điểm A,,FHG , cùng thuộc đường tròn đường kính AH 0,25 Tâm I của đường tròn đi qua bốn điểm A,,FHG , là trung điểm của AH 0,25 b) Xét AGH và AEB có B AE chung, AGH AEB900 ( gt ) 0,5 AGH AEB (g.g) b (1,5 điểm) AG AH ABAG AHAE 0,5 AEAB Lại có ABACgtAGACAHAE () . . 0,5 c) Xét IAF có IA IF IAF cân tại IIAFIFA (3) 0,5 Ta có BEBC (do AE là đường cao của tam giác cân ABC ) nên FE là trung c tuyến thuộc cạnh huyền BC của vuô ng BFC EF EB BEF cân 0,5 (1,5 điểm) tại E EBF EFB (4) Mặt khác IAFC  9000 ; EBFC  90 IAF IFA EBF EFB (5) 0,5 Mà IFA IFH 900 (5) 0,25 0 Từ (3), (4), (5) IFH HFE  90 EF IF EF là tiếp tuyến của ()I . 0,25 d) Theo chứng minh trên ta có EF IF nên IFE vuông tại F nên  900 66 22 0,25 cos sin  , cos sin . Do đó Tc os c os  3sin sin d = cos66 sin 3sin 22 cos (1,0 điểm) (cos23 ) (sin 23 ) (3cos 2 sin 2 ).1 0,25 (cos23 ) (sin 23 ) 3cos 2 sin 2 .(sin 2 cos 2 ) 0,25 (cos232324 ) (sin ) 3cos sin 3cos 42 sin (sin2233 cos ) 1 1 0,25
5. 111 Ta có Qa (4 ) (4 b ) (4 c ) 3( abc ) abc 0,25 11 Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 4244aa  . aa 0,25 1 1 Tương tự ta có 44b , 44c b c 3 9 9 Câu V Mà abc 3(abc ) 3(abc ) 0,25 (1,5đ) 2 2 2 Kết hợp các đánh giá trên ta có 111 915 0,25 Qa (4 ) (4 b ) (4 c ) 3( abc ) 444 abc 22 1 Đẳng thức xảy ra khi abc 2 0,25 15 1 Vậy MinQ khi abc 2 2 0,25