Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Phòng GD và ĐT Bình Xuyên (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn: Toán NĂM HỌC 2023 - 2024 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) x2 −+ x2 xx21( x − ) 1. Rút gọn biểu thức P = −+ với x > 0 , x ≠ 1. xx++11 x x− 2024 2023 2. Cho x +=32. Tính giá trị của biểu thức A= 7( xx22 – 4) + 6.( xx – 4) + 2023. Bài 2. (2,0 điểm) Cho đa thức fx( ) =+++++1.2 2.3 3.4 xx .( 1) . Tìm x để fx( ) = 20 . x32+2 xy += 12 y 0 Bài 3. (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:  22 8yx+= 12 x2 1 Bài 4. (2,0 điểm) Giải phương trình: +=1 39+−x2 43( −− 9 x2 ) Bài 5. (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N ,, PQ lần lượt là trung điểm của AB,,, BC CD DA . 1 Chứng minh rằng: S≤ MP. NQ ≤+( AB CD )( AD + BC ) ABCD 4 Bài 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K , trên tia đối của tia CA lấy điểm N . Gọi E là giao điểm của CK và BN ; Gọi M là giao điểm của AE và BC . Chứng minh AE AK AN rằng: = + . EM KB NC Bài 7. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BAC =90 , ABC = 20 . Các điểm E và F lần lượt nằm trên các cạnh AC, AB sao cho ABE =10 và ACF = 30 . Tính CFE . 123 Bài 8. (2,0 điểm) Cho 3 số thực dương abc, , thỏa mãn ++=3 . Chứng minh rằng: abc 27ab228 c 2 3 ++ ≥ cc( 2+9 a 2) a( 4 a 22 ++ b) b( 94 b 2 c 2) 2 Bài 9. (2,0 điểm) Cho đường thẳng (d ) : mx+−−+= ( m 1) y 2 m 1 0 . Tìm m để khoảng cách từ điểm P(0;4) đến đường thẳng ()d là lớn nhất. Bài 10. (2,0 điểm) Anh Vượng dự định trồng điều và cà phê trên một mảnh đất có diện tích 12 ha. Nếu trồng 1 ha điều thì cần 10 ngày công và thu được 300 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha cà phê thì cần 4 ngày công và thu được 150 triệu đồng. Anh Vượng cần trồng bao nhiêu hecta cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng anh Vượng chỉ có thể sử dụng không quá 60 ngày công cho việc trồng điều và cà phê. HẾT (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên: Số báo danh:
2. PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM 2023-2024 Môn Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Ý Nội dung Điể m x2 −+ x2 xx21( x − ) P = −+ xx++11 x x− 3 xx( −1) xx(2+ 12) ( x −+ 1)( x 1) 0,5 1 P =−+ xx++11 x x− 0,25 1 =xx( −−1) ( 2 x ++ 12) ( x + 1) (2,0đ) 0,25 =−+xx1 +=⇒ −=−⇒ −2 = x 32 xx2 3 ( 2) 3 0,5 ⇒xx2 −4 += 10⇒−=−xx2 41 0,25 2 2024 2023 A =−7 ( 1) +− 6( 1) + 2023 0,25 A = 2024 Ta có fx( ) =+++++1.2 2.3 3.4 xx .( 1) ⇒ 3.fx( ) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 ++ xx .( + 1) .3 0,5 =1.2.( 3 −+ 0) 2.3.( 4 −+ 1) 3.4.( 5 −++ 2) xx .( + 1) .( x +−− 2) ( x 1) =−+−+−−−−−++++0 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( x 1) . xx .( 1) xx .( 1) .( x 2) 0,25 =++xx.( 1.) ( x 2) 1 0,25 ⇒ fx( ) = xx.( ++ 1.) ( x 2) 3 2 1 0,25 Để fx( ) = 20 ⇔ xx.( + 1) .( x += 2) 20 ⇔ xx.( + 1) .( x += 2) 60 (2,0 đ) 3 32 32 2 0,25 ⇔ xxx+3 +−= 2 60 0 ⇔ ( xx−3) +( 6 x − 18 x) +( 20 x −= 60) 0 x −=30 (1) ⇔ −2 ++ =⇔ ( x3)( xx 6 20) 0  2 0,25 xx++=6 20 0 (2) Giải phương trình (1) ta được x = 3. Giải phương trình (2) Vô nghiệm. = = Vậy với x 3thì fx( ) 20. 0,25 Thế (2) vào PT (1) ta được x32++ x y2 xy 2 += 80 y 3 (3) Nếu y = 0 thì từ (1) suy ra x = 0 không thỏa mãn PT (2). 0,25 32 xx  x Nếu y ≠ 0 thì PT (3) ⇔ +  +2. += 8 0 3 yy y   (2,0 đ) x 32 Đặt = t ta được tt+ +2 t += 80 y 0,25
3. t +=20 ⇔ +2 −+ = ⇔ ⇔ =− (t2)( tt 40)  2 t 2 0,5 tt−+40 = 2  y =1 0,25 Với t=−⇒22 xy =− , thay vào (2) được y =1 ⇔   y = −1 Với yx=⇒=−12 0,25 yx=−⇒12 = 0,25 −− Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm ( 2;1) ;( 2; 1) . 0,25 x2 1 Phương trình: +=1 39+−x2 43( −− 9 x2 ) 0,25 2 90−≥x −≤33x ≤ Điều kiện: ⇔ 2 39−−≠x 0x ≠ 0 22 2 −− +− x 11(39xx)( 39 ) +=11⇔ +=0,5 39+−x2 43( −− 9 x2) (3+− 9 xx 22) 43( −− 9 ) 4 1 (2,0 đ) ⇔−39 −x2 + =1 ( ) 2 0,25 43−− 9 x ( ) 2 22 ⇔43( −− 9xx) − 43( −− 9) += 1 0 1 5 11 ⇔−(39 −x2) =⇔ 9 − xx 22 =⇔= 0,5 2 24 11 0,25 ⇔=±x() tmdk 2 11 Kết luận x = ± 0,25 2 A M Q R 5 B (2,0 đ) N D P C 0,5 Chứng minh được: MP.2 NQ≥= S S MNPQ ABCD Gọi R là trung điểm của AC , ta có : 0,25
4. 11 0,25 NR= AB; QR = CD 22 1 Suy ra: NQ≤+≤ NR QR() AB + CD 2 0,5 1 1 Tương tự: PM≤+() AD BC ⇒MP.NQ ≤+ (AB CD )( AD + BC ) 2 4 0,25 1 ⇒≤SABCD MP. NQ ≤( AB + CD )( AD + BC ) 0,25 4 A Q P M C B 6 E (2,0 đ) K N Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng BN ,CK lần lượt tại P và Q. 0,5 Áp dụng hệ quả định lí Talet ta có: AK AQ 0,25 AQ// BC ⇒= KB BC AN AP 0,25 AP// BC ⇒= NC BC AK AN AQ+ AP PQ 0,25 Suy ra += = KB NC BC BC PQ PE AE Mặt khác PQ// BC suy ra = = . 0,5 BC BE ME AE AK AN 0,25 Từ đó suy ra = + . EM KB AC A F G E C B D 0,25 7 Xét ABC có BAC 90 , ABC 20 ACB 70 (2,0 đ) ACF có CAF 90 , ACF 30 FC2. AF 0,25 Gọi D là trung điểm của BC và G là điểm trên AB sao cho GD BC . 0,25 BD BA Khi đó, ABC∽ DBG BG BC GCB GBC 20º GCF 20º . 0,25
5. Do đó CG và BE lần lượt là tia phân giác của BCF và ABC nên FC BC BA AE ; 0,25 FG BG BC EC 11 FC BC AF BD BA AE AF AE Do đó, 22 0,5 FG FG BG BG BC EC FG EC Từ đó suy ra CG// EF (ĐL Talet đảo) CFE GCF 20 . 0,25 111 Đặt a= x;b =23 y;c = z với xyz,,> 0, ta có: ++=3, khi đó: 0,5 xyz 27ab228 c 2 3 x 222 y z3 + + ≥⇔ + + ≥ cc( 2+9 a 2) aab( 4 22 +) bb( 94 2 + c 2) 22 zzx( 22 ++) xxy( 2 2) yyz( 22 +) 0,25 (1) xyz222 111 Đặt ++= A, ta xét hiệu AA-3= -( ++ ). 0,25 zz+x( 2 2) xx+y( 22) yy+z( 22) xyz 8 Ta có: 222 (2,0đ) x1 y1 z 1 z xy 0,25 A−= 3 ( - )+( - )+(− ) =− + + z3+zx 2 z x 3 +xy 2 x y 3 +yz 2 y  z2+++ x 2xy 2 2 yz 22 z1z Ta lại có: zx222+ ≥zx >⇒ 0 ≤ = ; chứng minh tương tự ta có: 0,25 zx22+ 2zx 2 x xy1 1 z x y 1 1 13 0,25 ≤; ≤⇒ + +≤ ++= x2++ y 22 yy 2 z 22 z z+x2 2 x+y 22 y+z 22 2x 2y 2z 2 z xy−3 33 − + + ≥ ⇒≥A 3- ⇒≥ A =>BĐT (1) đúng=>(đpcm) 0,25 zx2+++ 2xy 2 2 yz 22 2 2 2 Để ý rằng đường thẳng ()d luôn đi qua điểm cố định A(1;1) . Gọi H là hình chiếu vuông góc của P lên ()d thì khoảng cách từ P đến ()d là PH . 0,5 Ta có PH≤ PA. Suy ra khoảng cách lớn nhất là PA khi A≡⇔ H PA ⊥( d ) . Gọi y= ax + b là phương trình đường thẳng đi qua PA(0; 4) ,( 1;1) ta có hệ: ab.0+= 4 b = 4 0,25 ⇒ suy ra phương trình đường thẳng PA: y=−+ 34 x . ab.1+= 1 a =− 3 9 Xét đường thẳng ()d :mx+−−+= ( m 1) y 2 m 1 0 . (2,0 đ) 0,5 Nếu m =1 thì (dx) :−= 10 thì khoảng cách từ P đến ()d là 3. (1) mm21− Khi m ≠ 1 thì (d) trở thành: (dy) : = x + . 11−−mm m 1 0,5 Điều kiện để ()d⊥ PA là (−31) =−⇔m = . 14− m Khi đó khoảng cách từ P đến ()d là PA= 10 (2) 1 Từ (1) và (2) suy ra m = thỏa mãn. 0,25 4
6. Gọi x là số hecta đất trồng điều và y là số hecta đất trồng cà phê. ( x,y ≥ 0). Vì diện tích canh tác không quá 12 ha nên xy+≤12 (1) 0,25 10 Số ngày công không vượt quá 60 nên 10xy+≤ 4 60 (2) 0,5 (2,0 đ) Số tiền mà anh Vượng thu được là Axy=300 + 150 (triệu đồng) 0,25 0,25 Ta có A=300 x + 150 y = 50( xy ++) 25( 10 x + 4 y) ≤ 50 . 12 + 25 . 60 hay A ≤ 2100 . 0,5 xy+=12 x =2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ⇔ 10xy+= 4 60 y = 10 0,25 Vậy để thu được nhiều tiền nhất, anh Vượng cần trồng 2 ha điều và 10 ha cà phê. Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫncho điểm tối đa. - Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không cho điểm.