Đề khảo sát học sinh giỏi Thành phố môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Thành phố Thái Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát học sinh giỏi Thành phố môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Thành phố Thái Bình (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ THÁI BÌNH NĂM HỌC : 2016 - 2017 MÔN : TOÁN 7 Thời gian làm bài : 120 phút (không kể giao đề) Bài 1 (4.0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau: 12 7 6 3 3 3 3 2 .5 + 4 .25 1. 1 + 2 +3 - 1,8.3,2 2. 6 85 .25 3 + 2 2 .5 Bài 2 (3.0 điểm) Tìm x, biết: 1. x +1 + x + 2 + x +3 + x + 4 =10x m n 2017 2. x= = = (m, n là hai số thực khác -2017 và m + n 0). n + 2017 m + 2017 m + n Bài 3 (3.0 điểm) 1. Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: (20a + 7b + 3) . (20a + 20a + b) = 803 2. Cho hàm số (1): y = k|x| - 3x (với k R). Biết đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm Q(-2 ; 8). Tìm k rồi vẽ đồ thị của hàm số (1). Bài 4 (2.0 điểm) Một đội công nhân có 39 người, được chia thành ba nhóm I, II, III. Nếu thêm 1 người vào nhóm I, thêm 2 người vào nhóm II và bớt 3 người của nhóm III thì số công nhân của ba nhóm I, II, III tỉ lệ nghịch với các số 4; 3; 2. Tìm số công nhân của mỗi nhóm. Bài 5 (4.5 điểm) Cho tam giác ABC có góc A nhọn. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC hai tam giác ABM, ACN vuông cân tại A. Gọi E là giao điểm của BN và CM. 1. Chứng minh ABN = AMC và BN  CM. 2. Cho BM = 5 cm, CN = 7 cm, BC = 3 cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng MN. Bài 6 (3.5 điểm) Cho tam giác DEF có D = 60o . Tia phân giác của góc E cắt cạnh DF ở P. Tia phân giác của góc F cắt cạnh DE ở Q. Gọi O là giao điểm của PE và QF. 1. Tính số đo EOF và chứng minh OP = OQ. 2. Tìm điều kiện của tam giác DEF để hai điểm P và Q cách đều đường thẳng EF. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG THÀNH PHỐ THÀNH PHỐ THÁI BÌNH NĂM HỌC : 2016 - 2017 MÔN : TOÁN 7 Bài 1 (4.0 điểm) Câu Nội dung Điểm 18.32 1. 13 + 2 3 +3 3 - 1,8.3,2 1+8+ 27 - 0.5 100 2.9.2.16 36 - 0.25 100 Câu 1 2 (2.0 đ) 2.3.4 0.25 36 - 10 2.3.4 6- 10 0.5 12 18 6- 5 5 0.5 212 .5 7 + 4 6 .25 3 212 .5 7 + 2 12 .5 6 2. 0,5 5 3 2 6 215 .5 6 + 2 12 .5 6 8 .25 + 2 .5 212 .5 6. 5+1 Câu 2 0,5 (2.0 đ) 212 .5 6. 2 3 +1 212 .5 6. 6 0,5 212 .5 6. 9 6 2 = = 0,5 9 3 Bài 2 (3.0 điểm) Câu Nội dung Điểm 1. x +1 + x + 2 + x +3 + x + 4 =10x (1) 0.25 - Chứng minh x+1+x+2+x+3+x+4 0  x (2) Từ (1) và (2) 10x 0 x 0 0.25 Câu 1 x + 1 > 0, x + 2 > 0, x + 3 > 0, x + 4 > 0 0.25 (1.75 đ) |x + 1| = x + 1, |x + 2| = x + 2, |x + 3| = x + 3, |x + 4| = x + 4 (3) 0.25 Từ (1) và (3) x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 10x 0.25 4x + 10 = 10x 6x = 10 5 5 x= (thỏa mãn x 0). Vậy x= là giá trị cần tìm. 0.5 3 3
3. m n 2017 2. x= = = n + 2017 m + 2017 m + n - Nếu m + n + 2017 0 , áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 0,5 m n 2017 m + n + 2017 1 x= = == = n + 2017 m + 2017 m + n 2 m + n + 2017 2 Câu 2 m + n = -2017 (1.25 đ) - Nếu m + n + 2017 = 0 m + 2017 = -n 0,25 n + 2017 = -m m n 2017 x = = = = -1 0,25 -m -n -2017 1 Vậy x= khi m + n + 2017 0 2 0,25 x = -1 khi m + n + 2017 = 0. Bài 3 (3.0 điểm) 1. (20a + 7b + 3) . (20a + 20a + b) = 803 Từ đề bài 20a + 7b + 3 và 20a + 20a + b lẻ (vì 803 lẻ) 0,25 Nếu a 0 20a + 20a chẵn. Mà 20a + 20a + b lẻ b lẻ 7b + 3 chẵn 0,25 20a + 7b + 3 chẵn (không thỏa mãn) Vậy a = 0 (7b + 3) . (b + 1) = 803 = 1 . 803 = 11 . 73 Câu 1 Vì b N 7b + 3 > b + 1. Do đó: 0,25 (1.0 đ) 7b +3 = 803 7b +3 = 73 hoặc b +1=1 b +1=11 7b +3 = 803 - Trường hợp không tìm được b thỏa mãn đề bài. b +1=1 7b +3 = 73 0,25 - Trường hợp b = 10. b +1=11 Vậy a = 0, b = 10 thỏa mãn đề bài. 2. Vì đồ thị của hàm số y = k|x| - 3x đi qua điểm Q(-2 ; 8) nên: 0,25 8 = k . |-2| - 3 . (-2) 2k + 6 = 8 k = 1 0,25 Ta có hàm số y = |x| - 3x . Bỏ dấu giá trị tuyệt đối được: y = -2x nếu x 0 0,25 Câu 2 y = -4x nếu x < 0. (2.0 đ) - Với y = -2x (x 0): Cho x = 1 thì y = -2 Điểm A(1 ; -2) thuộc đồ thị hàm số. 0,25 Đồ thị hàm số y = -2x (x 0) là tia OA (như hình vẽ). - Với y = -4x (x< 0): Cho x = -1 thì y = 4 Điểm B(-1 ; 4) thuộc đồ thị hàm số. 0,25 Đồ thị hàm số y = -4x (x < 0) là tia OB, không kể điểm O (như hình vẽ).
4. y B 4 - 1 1 0,75 -1 O x -2 A Vậy đồ thị của hàm số (1) gồm hai tia OA và OB như hình vẽ. Bài 4 (2.0 điểm) Gọi số công nhân của ba nhóm I, II, III lần lượt là x, y, z (người) 0,5 (x, y, z N* và x, y, z < 39). Vì đội công nhân có 39 người x + y + z = 39. 0,25 Nếu thêm 1 người vào nhóm I, thêm 2 người vào nhóm II và bớt 3 người của nhóm III thì số công nhân của ba nhóm I, II, III tỉ lệ nghịch 0,25 (2.0 đ) với các số 4; 3; 2 4(x + 1) = 3(y + 2) = 2(z -3) 4x+1 3y+2 2z-3 x +1 y + 2 z -3 = = === 12 12 12 3 4 6 0,25 x +1+ y + 2 + z -3 x + y + z 39 = = = = 3 0,25 3+ 4 +6 13 13 Tìm được x = 8, y = 10, z = 21 (thỏa mãn x, y, z N* và x, y, z < 39) 0,25 Vậy số công nhân của ba nhóm I, II, III lần lượt là 8, 10, 21 (người) 0,25 Bài 5 (4.5 điểm) Câu Nội dung Điểm 1. N - Chứng minh BAN = MAC 0,5 1 M - ABN và AMC có: A 3 1 AB = AM ( ABM vuông cân tại A) Câu 1 2 1 (3.0 đ) F 1,0 2 BAN = MAC (chứng minh trên) 1 E AN = AC ( ACN vuông cân tại A) 1 ABN = AMC (c.g.c) B C
5. - Gọi F là giao điểm của BN và AC. AFN vuông tại A N + F = 90o 0,25 1 1 0,25 Mà N1 =C 1 (vì ABN = AMC) 0,25 F1 =F 2 (hai góc đối đỉnh) o 0,25 C1 + F 2 = 90 o 0,25 E1 = 90 (áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác vào CEF) BN  CM tại E. 0,25 2. Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông tại E là BCE, MNE, BME, CNE ta có: BC2 = BE2 + CE2 ; MN2 = ME2 + NE2 0,5 Câu 2 BM2 = BE2 + ME2 ; CN2 = CE2 + NE2 (1.5 đ) BC2 + MN2 = BM2 + CN2 (cùng = BE2 + CE2 + ME2 + NE2) 0,5 MN2 = BM2 + CN2 - BC2 = 5 + 7 - 3 = 9 0,25 MN = 3 (cm) 0,25 Bài 6 (3.5 điểm) Câu Nội dung Điểm D o 1. - Chứng minh DEF + DFE = 120 0,5 o 60 E + F = 60o (EP và FQ là các tia 1 1 0,25 phân giác của góc E và góc F) P o Q 1 EOF = 120 (áp dụng định lí tổng ba 0,25 1 Câu 1 O góc của một tam giác vào OEF) 1 4 (2.0 đ) 2 3 - Kẻ OR là tia phân giác của góc EOF. o 0,25 1 1 O2 = O 3 = 60 E H R K F     o 0,25 Chứng minh O1 = O 2 = O 3 = O 4 = 60 Chứng minh OEQ = OER (g.c.g) OQ = OR (hai cạnh tương ứng) 0,25 Chứng minh tương tự có OP = OR OP = OQ (vì cùng bằng OR) 0,25 2. - Vì OQ = OP (câu 1) OPQ cân tại O P = Q = 180o POQ : 2 1 1 0,25 o o Lại có POQ = EOF = 120 (hai góc đối đỉnh) P1 = Q 1 = 30 - Kẻ QH và PK cùng vuông góc với EF (hình vẽ). Câu 2 0,25 Hai điểm P và Q cách đều đường thẳng EF QH = PK (1.5 đ) PQ // EF (tính chất đoạn chắn) 0,25 o E1 = P 1 = 30 (vì hai góc này ở vị trí so le trong) 0,25 o DEF = 60 (vì EP là tia phân giác của góc DEF) 0,25 o DEF là tam giác đều (vì D = DEF = 60 ) 0,25 Vậy DEF là tam giác đều thì hai điểm P và Q cách đều đường thẳng EF. Chú ý - Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm điểm theo bước cho một cách giải; Các cách giải chính xác khác, giám khảo cho điểm tương ứng. - Điểm toàn bài thi bằng tổng điểm các câu thành phần (không làm tròn).