Đề khảo sát năng học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Lần 3) - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Trường Sơn (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát năng học sinh giỏi Toán Lớp 7 (Lần 3) - Năm học 2022-2023 - Trường THCS Trường Sơn (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN NÔNG CỐNG ĐỀ KHẢO SÁT HSG LỚP 7 LẦN 3 TRƯỜNG THCS TRƯỜNG SƠN NĂM HỌC 2022-2023 (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang) MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm): x y y z 2x 3y 4z a) Cho và . Tính giá trị biểu thức A (giả thiết A có nghĩa). 3 4 5 6 3x 4y 5z b) Tìm tập hợp các số nguyên x, biết rằng: 5 5 1 31 1 4 : 2 7 x 3 :3,2 4,5.1 : 21 9 18 5 45 2 Câu 2: (4 điểm) 1 1 1 1 1 a) Tìm x, biết: x x x x x 11x 3 15 35 63 399 b) Tính giá trị của biểu thức: C 2x3 15y3 2015 tại x, y thỏa mãn: x 2 + (y 1)2015 = 0 Câu 3: (4 điểm) a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1: 2: 3. b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2016a -1 = - b 2015 + b - 2015. Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều. c) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. Câu 5: (2 điểm) Cho 2016 số nguyên dương : a1, a2, a3, , a2016 thỏa mãn 1 1 1 1 300 a1 a2 a3 a2016 Chứng minh trong 2016 số đã cho tồn tại ít nhất hai số bằng nhau. Hết Giám thị trông thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh:: SBD Giám thị 1: Giám thị 2:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điểm x y z Đưa về dãy tỉ số bằng nhau: k(k 0) 1đ 15 20 24 30k 60k 96k 186 A= 1đ 45k 80k 120k 245 5 5 41 18 2) Ta có: 4 : 2 7 . 7 2 7 5 CÂU 1 9 18 9 41 0,5 (4,5đ) Lạicó: 1 31 1 16 5 9 76 43 38 2 43 2 2 3 :3,2 4,5.1 : 21 . . : 1 . . 1đ 5 45 2 5 16 2 45 2 5 43 5 43 5 2 Do đó: - 5 0 nªn vÕ ph¶i > 0 suy ra 11x < 0 hay x <0. 0,75đ víi x <0 ta cã: 1 1 1 1 1 x x x x x 11x 3 15 35 63 339 b 1 1 1 1 1 (2,0) x x x x x 11x 0,75đ CÂU 2 3 15 35 63 399 1 10 0,25đ (4,5đ) suy ra -x = 1 (1- ) = (TM) 2 21 21 10 0,25đ Vậy:x = 21 1) Do x 2 ≥ 0; (y 1)2015 ≥ 0 x 2 (y 1)2015 0 với mọi x, 1đ 0,5đ c y. 0,5đ (1,0) Kết hợp điều kiện đề bài ta có x=2; Từ đó tính được C=2016
3. Gọi a, b, c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm. Không mất tính tổng quát, giả sử a b c 9. 0,25 Ta có 1 a + b + c 27. đ Mặt khác số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9, do đó a + b + c = 9 hoặc a + b + c = 18 hoặc a + b + c = 27. a b c a b c 0,5 đ a Theo đề bài ta có: ; (2đ) 1 2 3 6 Như vậy a + b + c chia hết cho 6, nên a + b + c = 18. 0,5 đ Từ đó suy ra a = 3, b = 6, c = 9. Do số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn, 0,25 CÂU 3 vì vậy hai số cần tìm là: 396; 936. đ (3,5đ) 0,5 đ Vì x x dấu bằng xảu ra khi x 0 nên x- x 0 dấu bằng xảy ra khi x không âm. 0,5 đ Vậy (b-2015)- b 2015 0 dấu “=” xày ra khi b 2015 ;b N (1) 0,5 a a 0,5 đ b Vì a là số tự nhiên nên 2016 1 do đó 2016 -1 0 (2) dấu “= “ xảy ra khi a =0 (2) (2,0) 0,5đ Từ (1) ; (2) suy ra a=1 và b là số tự nhiên lớn hơn 2014 Vậy (a; b) =(0; k) k N;k 2015 E A D CÂU 4 a K (6,0đ) (1,0) I C B Ta có: AD = AB; D· AC B· AE và AC = AE Suy ra ADC = ABE (c.g.c) 1 đ 1đ
4. Từ ADC = ABE (câu a) A· BE A· DC , 0,25 đ mà B· KI A· KD(đối đỉnh). 0,25 · · 0 Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK DAK = 60 (đpcm) đ E 0,5 đ A D b J N K 2đ M I C B Từ ADC = ABE (câu a) CM = EN và A· CM A· EN · · ACM = AEN (c.g.c) AM = AN và CAM EAN 0,25 M· AN C· AE = 600. Do đó AMN đều. đ 0,5 đ 0,25 đ c Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB BIJ đều BJ = BI và 0,5đ (2,0) J¶BI D· BA = 600 suy ra I·BA J·BD, kết hợp BA = BD 0,5đ IBA = JBD (c.g.c) A· IB D· JB = 1200 mà B· ID = 600 0,5đ · 0 DIA = 60 . Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE 0,5đ Giả sử trong 2016 số nói trên không có 2 số bằng nhau, ta nhóm về trái được 0,5 đ 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 21 1 22 22 1 22 2 22 3 23 1 1 1 1 1 1 1 0,5 đ ( ) ( ) < 29 1 29 2 29 3 210 210 1 210 2 210 992 CÂU 5 (1,5) (1,5đ) 1 21 22 23 29 992 0,5 đ 1 12 300 2 21 1 22 1 23 1 29 1 210 1 vô lí vì vế trái có giá trị là 300 Vậy trong 300 số kể trên có ít nhất 2 số bằng nhau. 0,5 đ Chú ý: +) Nếu HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.