Đề khảo sát năng lực học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Thái Thụy (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát năng lực học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Thái Thụy (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH THÁI THỤY NĂM HỌC 2021-2022 Môn: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1 (3,0 điểm) 0 1 3 1 13 21 1. Tính bằng cách hợp lý: A = 23 3 5 3 5 22 2. Cho đa thức M thỏa mãn: M – 19x2 y xy2 2x2 y 5xy2 Tìm đa thức M và tính giá trị của M tại x = 2 và y = - 1 Bài 2 (3,0 điểm) 15 3 1 1. Tìm x biết x + = 12 4 2 2. Cuối học kì I, ba bạn An, Tâm, Bình được thưởng tổng số vở là 58 quyển. Ba bạn 1 1 quyết định dùng một nửa số vở của An, số vở của Tâm, số vở của Bình để tặng các bạn 3 4 học sinh nghèo. Biết số vở còn lại sau khi tặng của ba bạn bằng nhau. Hỏi mỗi bạn được thưởng bao nhiêu quyển vở ? Bài 3 (3,0 điểm) 1. Cho hàm số y = f(x) = (a –1)x. Tìm a biết f(2) – f(–1) = 6 x + 3 2. Cho biểu thức A = . Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên. x – 2 Bài 4 (4,0 điểm) 1. Tìm x biết: x –1 + x – 2 + x – 4 = 3 2bz 3cy 3cx az ay 2bx 2. Cho dãy tỉ số bằng nhau (với a, b, c 0 ). a 2b 3c x y z Chứng minh = = a 2b 3c Bài 5 (6,0 điểm) Cho ABC có góc A nhỏ hơn 90 0. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm M sao cho ABM vuông cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm N sao cho ACN vuông cân tại A. Gọi K là giao điểm của BN và CM. 1. Chứng minh AMC = ABN. 2. Chứng minh BN  CM. 3. Chứng minh MN2 + BC2 = 2(AB2 + AC2) 4. Tính góc AKC ? Bài 6 (1,0 điểm) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn a 3 + 5a 2 + 21 = 7b và a + 5 = 7c Hết Họ và tên học sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD&ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT NĂNG LỰC HỌC SINH NĂM HỌC 2021-2022 Môn: TOÁN 7 Biểu Bài Nội dung điểm 0 1 3 1 13 21 1. Tính bằng cách hợp lý: A = 23 Bài 1 3 5 3 5 22 2 2 2 2 (3,0 điểm) 2. Cho đa thức M thỏa mãn: M – 19x y xy 2x y 5xy Tìm đa thức M và tính giá trị của M tại x = 2 và y = - 1 0 1 3 1 13 21 A = 23 3 5 3 5 22 70 3 1 13 = 1 0,5 Câu 1.1 3 5 3 5 (1,5 điểm) 70 1 13 3 = 1 0,5 3 3 5 5 = 23 - 2 +1 = 22 0,25 Vậy A = 22 0.25 Tính được M = 21x2y + 6xy2 0,5 Thay x = 2 và y = -1 vào biểu thức M ta được: Câu 1.2 0,75 (1,5 điểm) M = 21. 22.(-1) + 6. 2. (-1)2 = -84 + 12= -72 Kết luận 0,25 Bài 2 (3,0 điểm): 15 3 1 1. Tìm x biết x + = 12 4 2 2. Cuối học kì I, ba bạn An, Tâm, Bình được thưởng tổng số vở là 58 Bài 2 1 quyển. Ba bạn quyết định dùng một nửa số vở của An, số vở của Tâm, (3,5 điểm) 3 1 số vở của Bình để tặng các bạn học sinh nghèo. Biết số vở còn lại sau 4 khi tặng của ba bạn bằng nhau. Hỏi mỗi bạn được thưởng bao nhiêu quyển vở ? 15 3 1 5 3 1 Câu 2.1 x x 0.5 (1,5 điểm) 12 4 2 4 4 2 5 5 5 5 x x : 0.5 4 4 4 4 x 1 0,25 Vậy x 1 0,25 2
3. Biểu Bài Nội dung điểm Gọi số vở được thưởng của ba bạn An, Tâm, Bình thứ tự là x, y, z 0,25 (quyển). Điều kiện: x, y, z nguyên dương. 1 2 3 Theo bài ra ta có: x y z và x + y + z = 58 0,25 2 3 4 x y z và x + y + z = 58 0,25 Câu 2.2 12 9 8 x y z x y z 58 (1,5 điểm) 2 0,25 12 9 8 12 9 8 29 x = 2.12 = 24 (TMĐK) y = 2.9 = 18 (TMĐK) 0,25 z = 2.8 = 16 (TMĐK) Vậy An được thưởng 24 quyển vở. Tâm được thưởng 18 quyển vở. 0,25 Bình được thưởng 16 quyển vở. 1. Cho hàm số y = f(x) = (a –1)x. Tìm a biết: f(2) – f(–1) = 6 Bài 3 x + 3 (3,0điểm) 2. Cho biểu thức A = . Tìm số nguyên x để A có giá trị nguyên. x - 2 Ta có f(2) = (a-1).2 = 2a -2 0,5 Ta có f(-1) =(a - 1).(-1) = -a +1 Theo bài ra f(2) - f(-1) = 6 0,5 Câu 3.1 => 2a - 2 – (-a +1) = 6 (1,5 điểm) => 3a - 3 = 6 0,25 => a = 3 Vậy a = 3 0,25 ĐK: x 2 0,25 x 3 5 A = 1 0,25 x 2 x 2 5 A có giá trị nguyên nguyên . x 2 0,25 Câu 3.2 (1,5 điểm) Do x nguyên nên x - 2 Ư(5) = { -1; 1; -5; 5} Ta xét bảng sau: x - 2 -1 1 -5 5 0,5 x 1 3 -3 7 x { 1; 3; -3; 7 } (TMĐK) Vậy x { 1; 3; -3; 7 } thì A Z 0,25 3
4. Biểu Bài Nội dung điểm Bài 4 (4,0 điểm): 1. Tìm x biết: x –1 + x – 2 + x – 4 = 3 Bài 4 2bz 3cy 3cx az ay 2bx 2. Cho dãy tỉ số bằng nhau (4 điểm) a 2b 3c (với a, b, c 0 ). x y z Chứng minh = = a 2b 3c Nhận thấy x 1 x 4 x 1 4 x Ta có: x 1 x 1 0.5 4 x 4 x x 1 x 4 x 1 4 x x 1 4 x 3 Câu 4.1 Lại có: (2,0 điểm) x 2 0 0.5 x 1 x 2 x 4 3 x 1 0 x 1 0.75 Dấu bằng xảy ra khi 4 x 0 x 4 x 2 x 2 0 x 2 Vậy x = 2 0,25 2bz 3cy 3cx az ay 2bx Ta có : và a, b, c khác 0 a 2b 3c a(2bz 3cy) 2b(3cx az) 3c(ay 2bx) a.a 2b.2b 3c.3c 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx 0,5 a2 4b2 9c2 2abz 3acy 6bcx 2abz 3acy 6bcx = 0 Câu 4.2 a2 4b2 9c2 0,25 (2,0 điểm) ( Vì a, b, c 0 nên a2 4b2 9c2 0 ) 2bz 3cy y z * 0 2bz 3cy 0 (1) 0,5 a 2b 3c 3cx az x z * 0 3cx az 0 (2) 0,5 2b a 3c x y z Từ (1) và (2) suy ra ( đpcm). 0,25 a 2b 3c 4
5. Biểu Bài Nội dung điểm Cho ABC có góc A nhỏ hơn 90 0. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C lấy điểm M sao cho ABM vuông cân tại A. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm N sao cho ACN vuông cân tại A. Gọi K là giao điểm của BN và CM. Bài 5 (6điểm) 1. Chứng minh AMC = ABN. 2. Chứng minh BN  CM. 3. Chứng minh MN2 + BC2 = 2(AB2 + AC2) 4. Tính góc AKC ? Vẽ hình, ghi GT – KL N M A E 0,5 K B C 0,5 Chứng minh được M· AC = N· AB ( = 900 + B· AC ) Xét AMC và ABN, có: Câu 5.1 + AM = AB ( AMB vuông cân) (1,5 điểm) + AC = AN ( ACN vuông cân) + M· AC = N· AB 1,0 Suy ra AMC = ABN (c - g - c) b) Gọi I là giao điểm của BN với AC Xét KIC và AIN, có: Câu 5.2 ·ANI = K· CI ( AMC = ABN) 0,5 (1,5 điểm) ·AIN = K· IC (đối đỉnh) 0,5 I·KC = N· AI = 900, do đó: MC  BN tại K. 0,5 Chứng minh được: Câu 5.3 MK2 + BK2 = MB2 = MA2+ BA2 = 2 BA2 (1) (1,5 điểm) 0,5 5
6. Biểu Bài Nội dung điểm Chứng minh được: NK2 + CK2 = NC2 = CA2+ NA2 = 2 CA2 (2) 0,5 Chứng minh được: 0,25 MK2 + BK2 +NK2 + CK2 = MN2 + BC2 (3) Từ (1), (2), (3) ta có: MN2 + BC2 = 2(AB2 + AC2) 0,25 Trên cạnh MC lấy điểm E sao cho ME = BK 0,5 Chứng minh được ABK = AME (c - g - c) Câu 5.4 (1,0 điểm) Chứng minh được AEK vuông cân tại A và góc AKE bằng 450 0,25 Tính góc AKC bằng 1350 0,25 Bài 6 Tìm các số a,b,c nguyên dương thoả mãn: (1điểm) a 3 + 5a 2 + 21 = 7b và a + 5 = 7c Do a nguyên dương 7b = a3 + 5a2 + 21 > a + 5 = 7c 7b > 7c b > c 0,25 7b  7c (a3 + 5a2 + 21)  ( a +5) a2 (a+5) + 21  a + 5 Mà a2 (a+5)  a + 5 [do (a+5)  (a+5)] 21  a + 5 0,25 a + 5 Ư (21) a + 5 { 7 ; 21 } (do a nguyên dương a + 5 > 5) a { 2 ; 16 } Với a = 2 tính được: b = 2, c = 1 0,25 Với a = 16 không tìm được b, c thỏa mãn. Vậy a = 2, b = 2, c = 1 0,25 Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. - Bài hình phải có hình vẽ đúng và phù hợp với chứng minh thì mới cho điểm . - Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn 6