Đề khảo sát năng lực học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Thái Thụy (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát năng lực học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Thái Thụy (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH THÁI THỤY NĂM HỌC 2021-2022 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (3,0 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: xy(x2 + y2) + 2 – (x + y)2 2. Cho n Z, chứng minh n5 – n chia hết cho 5 Câu 2 (4,0 điểm) x2 + x x +1 1 2 - x2 Cho biểu thức P = 2 : + + 2 x - 2x +1 x x -1 x - x 1. Tìm điều kiện xác định và rút gọn P 2. Tìm x để 2P = 1 3. Chứng minh khi x > 1 thì P 4 Câu 3 (4,0 điểm) 1. Tìm x, y nguyên thỏa mãn : 4x2 - 9y2 + 4x- 12y- 24 = 0 2x5 - x4 - 2x +1 8x2 - 4x + 2 2. Giải phương trình: 6 4x2 -1 8x3 +1 Câu 4 (2,0 điểm) Tìm a, b để đa thức A(x) = x4 - 5x3 + ax + b chia hết cho đa thức B(x) = x2 - 5x + 8 Câu 5 (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB 0 thỏa mãn 32x + 4y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (2x2 + y + 2021)3 A = 2022(x2 + y2 )- 2022(x + y) + 3033 Hết Họ và tên học sinh:. Số báo danh
2. HƯỚNG DẤN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT NĂNG LỰC HỌC SINH NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN 8 Bài Ý Nội dung Điểm xy(x2 + y2) + 2 – (x + y)2 Ý 1 = xy(x2 + y2) +2 – (x2 + y2) – 2xy 0. 5 1.5đ = (x2 + y2)(xy – 1) – 2(xy – 1) 0. 5 =(xy – 1)(x2 + y2 – 2) 0. 5 2n Z, CMR: n5 – n chia hết cho 5 Ta có: n5 – n 4 2 2 Câu = n(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) 0.25 1 = n(n – 1)(n + 1)(n2 – 4 +5) 3đ = n(n – 1)(n + 1)(n2 – 4) + 5n(n – 1)(n+1) 0.25 Ý 2 = n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) +5n(n – 1)(n + 1) 0.25 1.5đ Nhận thấy: */ n – 2; n – 1; n; n + 1; n + 2 là 5 số tự nhiên liên tiếp 0.25 nên tích chúng chia hết cho 5. */ 5n(n – 1)(n + 1) 5 0.25 đpcm. 0.25 x 0 ĐKXĐ : x 1 0.5 x -1 x x+1 (x+1)(x-1) x 2 - x2 0.5 P = : + + Câu 2 Ý 1 x-1 x(x-1) x(x-1) x(x-1) 2 2 đ x x+1 x2 -1+ x+ 2 - x2 0.5 4 đ P = : x-1 2 x(x-1) 0.25
3. Bài Ý Nội dung Điểm x x+1 x+1 x x+1 x(x-1) x2 0.25 P = : = . = x-1 2 x(x-1) x-1 2 x+1 x-1 Kết luận 1 x2 -1 0.25 2P = 1 P = với x ĐKXĐ 2 x-1 2 2 x2 = - x+1 2 x2 + x-1 = 0 2 Ý 2 2 x + 2 x- x-1 = 0 2 x-1 x+1 = 0 0.25 1 đ 1 x = ( TM ĐKXĐ) Hoặc x = - 1 ( không TM 2 0.25 ĐKXĐ) (Nếu không loại x= -1 trừ 0,25 điểm) 1 Vậy 2P = -1 x = 2 0.25 x2 x2 -1+1 x-1 x+1 +1 1 P = = = = x+1+ x-1 x-1 x-1 x-1 1 P = x-1+ + 2 0.5 x-1 Ý 3 1 Vì x > 1 nên x 1 0 và > 0. Áp dụng bất đẳng thức x 1 1 đ Cosi cho 2 số dương x – 1 và 1 ta có: x 1 0.25 1 1 1 x-1+ 2 x-1 . = 2 x 1 2 4 P 4 x-1 x-1 x 1 0.25 Vậy khi x > 1 thì P 4 Ta có 4x2- 9y2 + 4x- 12y- 24= 0 Câu 2 2 0.25 Ý a Û (4x + 4x + 1)- (9y + 12y+ 4)- 21= 0 3 2 2 0.25 2 đ Û (2x + 1) - (3y+ 2) = 21 4 đ Û (2x + 3y+ 3)(2x- 3y- 1) = 21 0.25 0.25 Vì x, y ∈ Z nên 2x + 3y + 3 và 2x – 3y – 1 là các số
4. Bài Ý Nội dung Điểm nguyên Ta có bảng sau 2x + 3y + 3 2x – 3y - 1 (x ; y) -1 -21 æ 8ö ç- 6; ÷ (loại) èç 3ø÷ -21 -1 (-6 ; -4) (thỏa) -7 -3 æ 4ö ç- 3;- ÷ (loại) èç 3ø÷ -3 -7 (-3 ; 0) (thỏa) 1 21 (5; -4) (thỏa) 21 1 æ 8ö ç5; ÷(loại) 0.75 èç 3ø÷ 3 7 æ 4ö ç2;- ÷(loại) èç 3ø÷ 7 3 (2 ; 0) (thỏa) Vậy các cặp số nguyên (x ; y) cần tìm là (-6 ; - 4); (-3 ; 0); (2 ; 0); (5 ; -4). 0.25 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 1 0.25 Đặt P ĐK x 4x2 1 8x3 1 2 x4 (2x 1) (2x 1) 2(4x2 2x 1) = (2x 1)(2x 1) (2x 1)(4x2 2x 1) 0.25 (x4 1)(2x 1) 2 x4 1 2 x4 1 = 0.25 (2x 1)(2x 1) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 x4 1 Vậy P = 2x 1 1 Ý 2 Với x phương trình đã cho có dạng P = 6 2 0.25 2 đ x4 1 6 x4 1 12x 6 2x 1 4 2 2 x 4x 4 4x 12x 9 0.25 (x2 2)2 (2x 3)2 x2 2 2x 3 (1) hoặc x2 2 2x 3 (2) Ta có (1) x2 2x 1 2 (x 1)2 2 0.25 x 1 2 x 1 2 (Tm ) 0.25 x 1 2 x 1 2 0.25 (2) x2 2x 1 4 (x 1)2 4 vô nghiệm
5. Bài Ý Nội dung Điểm x 1 2 Vậy phương trình có nghiệm x 1 2 HS đặt phép chia hoặc phân tích viết được A(x) = B(x)(x2 - 8)+ (a - 40)x + b+ 64 0.75 Câu ïì a - 40 = 0 A(x)MB(x) Û íï 4 îï b+ 64 = 0 0.75 2 đ ïì a = 40 0.25 Û íï îï b = - 64 Vậy a = 40; b = - 64. 0.25 B E D M 0.5 H F A N C Chứng minh ·AMD 900; ·AND 900 Câu M· AN 900 5 1.0 6đ Tứ giác AMDN là hình chữ nhật Ý 1 Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của M· AN nên 2.0đ 0.25 tứ giác AMDN là hình vuông Tam giác ABC có AD là phân giác nên 0.75 AB BD = AB.DC = AC.BD AC DC FM DB 0.5 Chứng minh 1 Ý 2 FC DC 2 đ 0.5
6. Bài Ý Nội dung Điểm DB MB Chứng minh 2 DC MA 0.25 MB MB Chứng minh AM = DN 3 MA DN 0.25 MB EM Chứng minh 4 DN ED 0.25 EM FM Từ (1); (2) ; (3); (4) ED FC 0.25 EF // DC ( định lý Ta-let đảo) EF // BC AN DN Chứng minh AN = DN (5) AB AB DN CN Chứng minh 6 0.25 AB CA CN FN Chứng minh 7 CA AM FN FN Chứng minh AM = AN 8 AM AN 0.25 Ý 3 AN FN Từ (5); (6) ; (7) ; (8) AB AN 1.5đ 0.25 ANB ∽ NFA (cgc) * Chứng minh H là trực tâm ∆AEF Vì ANB ∽ NFAnên N· BA F· AN 0.25 mà B· AF F· AN 900 N· BA B· AF 900 0.25 EH  AF 9 Tương tự FH  AE 10 Từ (9) ; (10) H là trực tâm của tam giác AEF 0.25 Câu CM: Mệnh đề phụ như sau: 6 Với A, B> 0. 1đ
7. Bài Ý Nội dung Điểm Ta có 4(A3 + B3) (A + B)3 (*) (*) 4(A2 –AB +B2) (A+ B)2 4A2 – 4AB + 4B2 – A2 – 2AB – B2 0 3A2 – 6AB + 3B2 0 0.25 3(A – B)2 0 (Luôn đúng) 6 3 6 3 2 3 Áp dụng ta có : 1 = 32x + 4y = 4(8x + y ) (2x + y) 0.25 2x2 + y 1 Lại có 2022(x2 +y2) – 2022(x + y) + 3033 1 1 = 2022(x- )2 + 2022(y- )2 + 2022 ³ 2022 2 2 (1+ 2021)3 A £ = 20222 2022 0.25 Dấu bằng xảy ra x = y = 0,5 0.25 Vậy A max = 20222 tại x = y = 0,5 Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa Bài hình phải có hình vẽ đúng và phù hợp với chứng minh thì mới cho điểm Điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn