Đề khảo sát nguồn học sinh giỏi Toán Lớp 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề khảo sát nguồn học sinh giỏi Toán Lớp 6 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Đông Hưng (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUY ỆN ĐÔNG H ƯNG ĐỀ KH ẢO SÁT NGU ỒN H ỌC SINH GI ỎI PHÒNG GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO T ẠO NĂM H ỌC 2022 – 2023 MÔN TOÁN 6 ĐỀ CHÍNH TH ỨC (Th ời gian làm bài 120 phút) Câu 1 (4,0 điểm). Tính giá tr ị c ủa bi ểu th ức 1) A=−−++−−++ 1 2 3 4 5 6 7 2021 − 2022 − 2023 24 (−2) .35 − 4 12 .9 2 222 2 2) B = + + + ++ 8.38 5 1.3 3.5 5.7 301.303 Câu 2 (5,0 điểm). 1) Tìm s ố nguyên x bi ết: 36+ 5x( − 2)2 = 81 x 1 1 2) Tìm các c ặp s ố nguyên (x,y ) bi ết − = 3 y1+ 6 3) Tìm các s ố t ự nhiên a, b, c nh ỏ nh ất khác 0 sao cho 24a= 28b = 60c Câu 3 (4,0 điểm). 1) Tìm s ố nguyên t ố p sao cho p+ 8 và p+ 10 đều là các số nguyên t ố. 3n+ 2 2) Ch ứng t ỏ r ằng v ới m ọi số t ự nhiên n thì P = là m ột phân s ố t ối gi ản. 6n+ 5 Câu 4 (5,5 điểm). 30 m 1) Nhà bác An có m ột m ảnh v ườn hình ch ữ 1,5 m nh ật có chi ều dài 30m, chi ều r ộng 25m để tr ồng hoa. Bác làm l ối đi xung quanh (nh ư hình v ẽ) để thu ận l ợi cho vi ệc ch ăm sóc và 25m 1,5m đã dùng các viên g ạch màu đỏ hình vuông 1,5m cạnh 50cm để lát l ối đi, bi ết m ỗi viên g ạch lát có giá 14000 đồng. Tính số ti ền bác An dùng mua gạch để lát kín l ối đi? (B ỏ qua các 1,5 m mạch v ữa ghép gi ữa các viên g ạch). 2) Trên đường th ẳng xy l ấy điểm O. Trên tia Ox l ấy điểm A, trên tia Oy l ấy điểm B sao cho OA = 3cm, OB = 4cm. a) Vẽ hình và tính độ dài đoạn th ẳng AB. b) Nếu l ấy thêm 197 điểm phân bi ệt trên đường th ẳng xy không trùng v ới các điểm A, O, B thì trên đường th ẳng xy có bao nhiêu tia phân bi ệt, bao nhiêu đoạn th ẳng? Câu 5 (1,5 điểm). Tìm s ố tự nhiên có 3 ch ữ s ố abc bi ết abc=( a + b + c )3 . Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. HƯỚNG DẪN CH ẤM BÀI KH ẢO SÁT CH ỌN NGU ỒN HỌC SINH GI ỎI NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN TOÁN 6 I. H ƯỚNG DẪN CHUNG: - Hướng d ẫn ch ấm ch ỉ là đư a ra các b ước gi ải và khung điểm b ắt bu ộc cho t ừng b ước. Bài làm phải có lập lu ận ch ặt ch ẽ và bi ến đổi h ợp lý mới cho điểm, nh ững cách làm khác đúng vẫn cho điểm t ối đa. Trong bài làm các b ước có liên quan v ới nhau, b ước tr ước sai mà bước sau đúng thì không cho điểm. - Đối v ới câu 4 ý 2, n ếu v ẽ hình sai ho ặc không v ẽ hình không cho điểm ý 2a, n ếu v ẽ hình không đúng kích th ước thì không cho điểm hình. - Điểm thành ph ần cho chi ti ết t ới 0,25 điểm. Điểm toàn bài là tổng các điểm thành ph ần không làm tròn. II. H ƯỚNG DẪN CỤ TH Ể: Câu ý Nội dung Điểm A=−−++−−++ 1 2 3 4 5 6 7 2021 − 2022 − 2023 A có 2023 s ố h ạng. Nhóm 4 số h ạng liên ti ếp c ủa A thành t ừng 0,25 nhóm ta được 505 nhóm và d ư ra 3 s ố hạng cu ối. Ta được A=−−++−−+++( 1 2 3 4) ( 5 6 7 8) ( 2017 − 2018 − 2019 + 2020 ) 0,5 +2021 − 2022 − 2023 1 A=++++ 0 0 0 2021 − 2022 − 2023 0,25 (2,0 đ) A= 2021 − 2022 − 2023 0,25 = − − A( 1) 2023 0,25 A= − 2024 0,5 1 24 (−2) .35 − 4 12 .9 2 222 2 (4,0 đ) B = + + + ++ 8.38 5 1.3 3.5 5.7 301.303 (−2)24 .35 − 4 12 .9 2 Đặt C = 88 .3 5 2 24 5− 24 4 = 2 .3 2 .3 C 24 5 0,25 (2,0 đ) 2 .3 224 .3 4 ( 3− 1 ) C = 0,25 224 .3 4 .3 2 C = 3 0,25
3. 222 2 Đặt D= + + ++ 1.3 3.5 5.7 301.303 31−−− 5 3 7 5 303301 − D= + + ++ 1.3 3.5 5.7 301.303 0,25 11111 1 1 1 D=1− + − + −++ − =− 1 3 3 5 5 7 301 303 303 0,25 3031 302 D = − = 303 303 303 0,25 2 302 202 302 504 168 B= C + D = + = + = = 3 303 303 303 303 101 0,25 504 168 B = = 303 101 0,25 Tìm s ố nguyên x bi ết: 36+ 5x( − 2)2 = 81 5x( − 2)2 = 81 − 36 0,25 5x( − 2)2 = 45 0,25 (x− 2)2 = 45:5 0,25 ( −)2 = x 2 9 0,25 − = − = − 1 x 2 3 ho ặc x 2 3 0,25 Khi đ (2,0 ) x− 2 = 3 0,25 x= 3 + 2 x= 5 2 Khi x− 2 = − 3 (5,0 đ) 0,25 x= − 3 + 2 x= − 1 Vậy x∈{ 5; − 1 } 0,25 x 1 1 Tìm các c ặp s ố nguyên (x, y )bi ết − = 3 y1+ 6 1 x 1 2 = − 0,25 y1+ 3 6 ( đ 2,0 ) 1 2x 1 = − 0,25 y1+ 6 6 1 2x− 1 = 0,25 y+ 1 6
4. (y+ 1)( 2x − 1) = 6 (1) 0,25 Vì x, y nguyên và 2x− 1 là s ố lẻ, kết h ợp v ới (1) ta có 2x− 1 là ước nguyên l ẻ c ủa 6 0,25 2x−∈ 1{ 1; − 1;3; − 3 } Ta có b ảng sau 2x− 1 -3 -1 1 3 + y 1 -2 -6 6 2 0,5 x -1 0 1 2 y -3 -7 5 1 Vậy tìm được 4 c ặp s ố nguyên (x,y )tho ả mãn là (-1; -3); (0; -7); 0,25 (1; 5); (2; 1). Tìm các s ố t ự nhiên a, b, c nh ỏ nh ất khác 0 sao cho 24a= 28b = 60c Có 24a= 28b = 60c 0,25 6a= 7b = 15c 3 Đặt 6a= 7b = 15c = k (k∈ N * ) , mà a,b,c∈ N suy ra k chia h ết cho (1,0 đ) 6; 7; 15 0,25 Do a, b, c là s ố t ự nhiên nh ỏ nh ất khác 0 nên k là s ố t ự nhiên nh ỏ = nh ất khác 0 k BCNN(6,7,15) Tìm được k= 210 0,25 Tìm được a= 35;b = 30;c = 14 Vậy a= 35;b = 30;c = 14 0,25 Tìm s ố nguyên t ố p sao cho p+ 8 và p+ 10 đều là các s ố nguyên t ố. Do p là s ố nguyên t ố nên ta xét các tr ường h ợp: +) V ới p= 2 thì p+ 8 = 2 + 8 = 10 , mà 10 là h ợp s ố p+ 8 là h ợp 0,5 4 1 số nên mâu thu ẫn v ới đề bài p= 2 (lo ại) (1) (4,0 đ) (2,0 đ) +) V ới p= 3 khi đó p+=+= 8 3 8 11;p + 10 =+ 3 10 = 13 , mà 11 và 13 đều là các s ố nguyên t ố nên p+ 8,p + 10 đều là s ố nguyên t ố 0,5 nên p= 3 (nh ận) (2) +) V ới p> 3 0,25
5. Vì p là s ố nguyên t ố l ớn h ơn 3 nên p không chia h ết cho 3 do đó p ch ỉ nh ận m ột trong hai d ạng 3k+ 1,3k + 2 (k∈ N * ) +) N ếu p= 3k + 1 thì p+= 8 3k += 9 3k( + 3 ) Vì k∈ N * p+ 8⋮ 3 mà p+ 8 > 3 nên p+ 8 là h ợp s ố mâu thu ẫn v ới 0,25 đề bài p= 3k + 1 (lo ại) (3) +) N ếu p= 3k + 2 khi đó p+= 10 3k += 12 3k( + 4 ) Vì k∈ N * p+ 10⋮ 3 mà p+ 10 > 3 nên p+ 10 là h ợp s ố mâu thu ẫn 0,25 với đề bài p= 3k + 2 (lo ại) (4) Từ (1), (2), (3) và (4) p= 3 0,25 Vậy p= 3 thì p+ 8 và p+ 10 đều là các s ố nguyên t ố. 3n+ 2 Ch ứng t ỏ r ằng v ới m ọi s ố t ự nhiên n thì P = là m ột phân s ố 6n+ 5 tối gi ản. Vì n∈ N nên 3n+∈ 2 N,6n +∈ 5 N,6n +≠ 5 0 nên P là phân s ố (1) 0,25 Gọi d = ƯCLN (3n+ 2,6n + 5 ) 3n+ 2⋮ d 0,5 6n+ 5d⋮ 2 (2,0 đ) 2( 3n+ 2)⋮ d 6n+ 4d⋮ 0,25 6n+ 5d⋮ 6n+ 5d⋮ (6n+ 5) −( 6n + 4d)⋮ 1d ⋮ 0,25 d= 1 ƯCLN (3n+ 2,6n + 5 )=1 (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra P là phân s ố t ối gi ản 0.25 3n+ 2 Vậy v ới mọi s ố t ự nhiên n thì P = là m ột phân s ố t ối gi ản. 0,25 6n+ 5 Nhà bác An có m ột m ảnh v ườn hình ch ữ nh ật có chi ều dài 30m, chi ều r ộng 25m để tr ồng hoa. Bác làm l ối đi xung quanh (nh ư hình 4 1 vẽ) để thu ận l ợi cho vi ệc ch ăm sóc và đã dùng các viên g ạch màu đỏ (5,5 đ) (2,0 đ) hình vuông c ạnh 50cm để lát l ối đi, bi ết m ỗi viên g ạch lát có giá 14000 đồng. Tính số ti ền bác An dùng mua gạch để lát kín l ối đi? (Bỏ qua các m ạch v ữa ghép gi ữa các viên g ạch).
6. Di ện tích m ảnh v ườn hình ch ữ nh ật là: 30.25= 750 (m 2) Chi ều dài ph ần v ườn để tr ồng hoa là: 30 –1,5.2= 27 (m) 0,25 Chi ều r ộng ph ần v ườn để tr ồng hoa là: 25 –1,5.2= 22 (m) 0,25 Di ện tích ph ần v ườn để tr ồng hoa là: 27.22= 594 (m 2) 0,25 2 Di ện tích l ối đi là: 750–594= 156 (m ) 0,25 Đổi 50 cm = 0,5 m 2 0,25 Di ện tích m ỗi viên g ạch là: 0,5.0,5= 0,25 (m ) Bác An c ần s ố viên g ạch để lát kín l ối đi là: 0,25 156:0,25= 624 (viên g ạch) Số ti ền bác An c ần dùng để mua gạch lát kín l ối đi là: 0,25 624.14000= 8736000 (đồng) Vậy số ti ền bác An dùng để mua g ạch lát kín l ối đi là 8736000 đồng. 0,25 Vẽ hình đúng 0,5 2a x A O B y (1,5 đ) Vì điểm O n ằm gi ữa hai điểm A và B nên 0,5 OA+ OB = AB 3+ 4 = AB 0.25 AB= 7 (cm) 0,25 Nếu l ấy thêm 197 điểm phân bi ệt không trùng v ới các điểm A, O, B trên đường th ẳng xy thì trên đường th ẳng xy có t ất c ả 0,5 197 + 3 = 200 ( điểm) Mỗi điểm n ằm trên đường th ẳng xy cho 2 tia phân bi ệt 0,25 Mà có 200 điểm phân bi ệt trên đường th ẳng xy 2b 0,25 Nên có t ất c ả 200 . 2 = 400 (tia) (2,0 đ) Ch ọn 1 điểm b ất kì trên đường th ẳng xy, điểm này cùng v ới 199 0,25 điểm còn l ại được 199 đoạn th ẳng Làm nh ư v ậy v ới tất c ả 200 điểm ta được 199.200 (đoạn th ẳng) 0,25 Nh ưng làm nh ư v ậy m ỗi đoạn th ẳng được tính 2 l ần, do đó s ố đoạn 199.200 0,5 th ẳng th ực t ế là =19900 (đoạn th ẳng) 2 Tìm s ố t ự nhiên có 3 ch ữ s ố abc bi ết abc=( a + b + c )3 Vì abc là s ố t ự nhiên có 3 ch ữ s ố nên a, b, c là ch ữ s ố, a≠ 0 abc=( a + b + c )3 5 100a+ 10b += c() a ++ b c 3 (1,5 đ) 0,25 a+ 99a ++ b 9b += c() a ++ b c 3 (a+++ bc) 911a( +=++ b) ( a bc )3 (1) Đặt a+ b + c = m (m∈ N * )
7. Khi đó (1) tr ở thành m+ 911a( + b) = m 3 911a( + b) = m3 − m 911a(+= b ) mm ( − 1 )( m + 1 ) mm( − 1)( m + 19)⋮ ≤ < 3< 3 < 3 Ta có 100 abc 1000 4 m 10 0,25 Do đó 4< m < 10 (1) Lập lu ận suy ra bài toán có 3 tr ường h ợp +) TH1: Khi m− 1 chia h ết cho 9 Mà 4< m10 < 3< m19 − < 0,25 Do đó không tìm được m− 1 chia h ết cho 9 suy ra không tìm được m +) TH2: Khi m chia h ết cho 9 Do 4< m < 10 mà m⋮ 9 m= 9 (1) Với m= 9 ta có m3= 9 3 = 729 = abc= 729 a= 7,b = 2,c = 9 0,25 a+ b += c 7 + 2 + 918 = m18= do đó mâu thu ẫn v ới (1) Suy ra không tìm được m +) TH3: m+ 1 chia h ết cho 9 Do 4< m < 10 5< m + 111 < mà m+ 1⋮ 9 m= 8 (2) Với m= 8 m3= 8 3 = 512 =abc = 512 a= 5,b = 1,c = 2 0,25 abc5128+ + = ++ = m8= tho ả mãn (2) Xác định s ố +abc= 512 Vậy abc= 512 0,25