Đề kiểm tra Câu lạc bộ văn hóa môn Toán Lớp 7 năm 2023 - Trường THCS Cầu Giấy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra Câu lạc bộ văn hóa môn Toán Lớp 7 năm 2023 - Trường THCS Cầu Giấy (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 7 TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY Môn kiểm tra: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 13/09/2023 Thời gian làm bài: 90 phút (Không tính thời gian phát đề) Bài 1. (5,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  1997 1998 1999 2000. 111 1 b) B 11 1   1 . 1 3 2 4 3 5 2021  2023 Bài 2. (5,0 điểm) 1015 1 1016 1 a) So sánh hai biểu thức A và B biết A và B . 1016 1 1017 1 11 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng  . 6 5222 6 7 100 2 4 Bài 3. (5,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên x biết 2xx 2 1 2 x 2  2 x 100 2 101 1. b) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì pp 11 chia hết cho 24. Bài 4. (3,0 điểm) a) Trên một mặt phẳng cho 8 điểm phân biệt, trong đó có 5 điểm thẳng hàng. Cứ nối 3 điểm phân biệt không thẳng hàng sẽ tạo thành một tam giác, hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành khi nối các điểm từ 8 điểm trên. b) Cho một đường tròn, trên đường tròn lấy 2023 chấm đỏ và 2024 chấm xanh. Người ta viết số 1 vào giữa hai chấm đỏ, viết số –1 vào giữa hai chấm xanh, và viết số 0 vào giữa hai chấm khác màu. Hỏi tổng các số trên đường tròn bằng bao nhiêu? Bài 5. (2,0 điểm) Cho k là một số tự nhiên khác 0, chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên có k dạng 1011 1 chia hết cho 2023. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng:
2. Đáp án Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau: a) ( 2,5 điểm) A -1- 2 + 3 + 4 - 5 - 6 + 7 + 8 - 9 - 10 + 11 + 12 - - 1997 - 1998 + 1999 + 2000 A (-1- 2+3+4) + (- 5- 6+7+ 8) + (- 9-10+11+12)+ + (-1997-1998+1999+2000) Ta có tổng A có 2000 số hạng nên có 2000 : 4 = 500 nhóm A = 4 + 4 + 4 + + 4 (tổng có 500 số 4) A = 4. 500 A = 2000 b) ( 2,5 điểm) 111     1 B=++ 1  1  1 +   1 +  1.3  2.4  3.5   2021.2023  222 3 4 2 2022 2 = . . 1.3 2.4 3.5 2021.2023 (2.3.4 2022).(2.3.4 2022) = (1.2.3 2021).(3.4.5 2023) 2022.2 4044 = = 2023 2023 Bài 2: a) ( 2,5 điểm) 1015 + 1 1016 + 1 So sánh hai biểu thức A và B biết: A = , B = . 1016 + 1 1017 + 1 Ta có: 1016 + 10 9 10A = =1 + . 1016 ++ 1 1016 1 1017 + 10 9 10B = =1 + . 1017 ++ 1 1017 1 99 Vì > nên 10AB> 10 . 1016 ++ 1 1017 1 Suy ra: AB> . b) ( 2,5 điểm) 111 1 1 1 Chứng minh rằng: <+++ + < 6 5222 6 7 1002 4 111 1 Đặt : A = +++ + 5222 6 7 1002 Ta có : 111 1 1111 1 1 111 A < +++ + = −+−+ + − = −< ( 1,25 điểm) 4.5 5.6 6.7 99.100 4 5 5 6 99 100 4 100 4
3. 1 1 1 1 11 1 * A > ++ + + =−>. ( 1,25 điểm) 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6 Bài 3: a) ( 2,5 điểm) Đặt: 2xx+ 2++1 + 2 x 2 ++ 2 x +100 = 2 101 − 1 A =2xx + 2++1 + 2 x 2 ++ 2 x +100 = 2 x + 101 − 2 x ⇒2xx+101 −= 22101 − 1 ( 1,5 điểm) ⇒(2x − 12)( 101 −= 1) 0 ⇒(210xx −=⇒) 21 =⇒=x 0 b) ( 2,5 điểm) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ không chia hết cho 2 và 3 Với p không chia hết cho 2 =>−+( pp1,) ( 1) là hai số chẵn liên tiếp =>−+( pp1)( 18) ( 1,5 điểm) Mặt khác p không chia hết cho 3 nên pk=+=+3 1, pk 3 2 Nếu pk=+=>−=>−+3 1( p 1) 3( p 1)( p 1) 24 ( 0,5 điểm) Nếu pk=+=>+=>−+3 2( p 1) 3( p 1)( p 1) 24 ( 0,5 điểm) Bài 4: a) ( 1,5 điểm) Trên một mặt phẳng cho 8 điểm phân biệt, trong đó có 5 điểm thẳng hàng. Cứ 3 điểm phân biệt sẽ tạo thành một tam giác, hỏi có bao nhiêu tam giác được tạo thành từ 8 điểm trên. Ta có: Sô tam giác tạo từ 3 điểm không thẳng hàng là 1 Số tam giác tạo từ 2 điểm không thẳng hàng và 1 điểm trên đường thẳng là 3.5=15 Số tam giác tạo từ 1 điểm ngoài đường thẳng và 2 điểm trên đường thẳng là 10.3=30 Vậy tổng có 46 tam giác. b) ( 1,5 điểm) Cho một đường tròn, trên đường tròn lấy 2023 chấm đỏ và 2024 chấm xanh. Người ta viết số 1 vào giữa hai chấm đỏ, viết số -1 vào giữa hai chấm xanh, và viết số 0 vào giữa hai chấm khác màu. Hỏi tổng các số trên đường tròn bằng bao nhiêu? Dễ dàng nhận thấy số lượng chấm đỏ bên cạnh chấm xanh = số lượng chấm xanh bên cạnh chấm đỏ Vì vậy số lượng 2 chấm xanh cạnh nhau luôn luôn lớn hơn số lượng 2 chấm đỏ cạnh nhau là 2024 – 2023 = 1 Vậy tổng các số trên đường tròn là -1 Bài 5: ( 2,0 điểm) Cho k là một số tự nhiên khác 0, chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên có dạng 1011k – 1 chia hết cho 2023.
4. Ta thấy 1011 và 2023 là 2 số nguyên tố cùng nhau Vì vậy các số có dạng 10111, 10112, ., 10112024 không chia hết cho 2023 Theo nguyên lí Dirichlet trong 2014 số sẽ tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 2023 là 1011m và 1011m+k Khi đó 1011m+k – 1011m = 1011m.(1011k -1) chia hết cho 2023 Do 1011m không chia hết cho 2023, nên tồn tại một số tự nhiên k để 1011k -1 chia hết cho 2023.