Đề kiểm tra Câu lạc bộ văn hóa môn Toán Lớp 8 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Cầu Giấy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra Câu lạc bộ văn hóa môn Toán Lớp 8 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Cầu Giấy (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 8 TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY Môn kiểm tra: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 12/09/2023 Thời gian làm bài: 90 phút (Không tính thời gian phát đề) Bài 1. (6,0 điểm) 1. Cho biểu thức M =−+−+−121 2 2 2 3  22023 + 2 2024 . 12+ 2025 Chứng minh rằng M = . 3 2. Tìm x biết xx++1 + 2 = 3. x Bài 2. (3,0 điểm) Cho đa thức f() x= ax + b , với ab, là các số nguyên, a ≠ 0. Biết giá trị của đa thức tại x = 1 và x = 3 tỉ lệ với 2 và −2. Chứng minh rằng b chia hết cho a. Bài 3. (4,0 điểm) 111 1 1 1. Chứng minh rằng A = + + ++ < . 2222 4 6 100 22 11 2. Tìm các số hữu tỉ dương xy, thỏa mãn xy++ + là một lũy thừa của 2. xy Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB< AC ), đường cao AH (H∈ BC ). Dựng H M⊥ AB tại M, HN⊥ AC tại N. Gọi I là giao điểm của AH với MN. 1. Chứng minh rằng ∆=∆AMH HNA và IM= IN. 2. Gọi O là trung điểm của BC, Q là giao điểm của HN và OA. Chứng minh rằng ∆=∆ANQ HMB và BQ|| MN . 3. Gọi J là giao điểm của BQ và AH. Chứng minh rằng BJO = MNC . Bài 5. (1,0 điểm) Khi trên bảng ghi 2023 số tự nhiên 1, 2, 3, , 2023, cần xóa đi ít nhất bao nhiêu số để các số còn lại trên bảng có tính chất không có 3 số nào mà một trong 3 số đó bằng tích của 2 số còn lại. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
2. PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐÁP ÁN TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn kiểm tra: Toán Ngày thi: 12/09/2023 Thời gian làm bài: 90 phút (Không tính thời gian phát đề) BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Cho biểu thức M 121 2 2 2 3  22023 2. 2024 Chứng minh rằng 12 2025 3,0 M . 3 M 121 2 2 2 3  22023 2 2024 1,5 1 2M 2221 2 3  22024 2 2025 MM 2 122025 1,0 12 2025 M 0,5 1 3 Tìm x biết xx 1 2 3. x 3,0 VT > 0 VP > 0 x 0 1,0 x 10 xx 1 1 2 1,0 x 20 xx 2 2 xx 1 23 x 0,5 x 3 0,5 Cho đa thức f() x ax b , với ab, là các số nguyên, a 0. Biết giá trị của đa 2,0 thức tại x 1 và x 3 tỉ lệ với 2 và 2. Chứng minh rằng b chia hết cho a. f(1) ab , f(3) 3 ab 0,5 2 1 ab 32 ab a a 1,0 2 2 42 ab a b 2 a 0,5 Do ab, là các số nguyên, ab 0 chia hết cho a. 111 1 1 Chứng minh rằng: A = + + ++ A <11 +− = − < 4 100 2 400 2
3. BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 11 Tìm các số hữu tỉ dương xy, thỏa mãn xy++ + là một lũy thừa của 2. 2,0 xy ac Có xy=, = với abcd,,, là các số nguyên dương thỏa mãn (;)(;)1.ab= cd = Khi bd đó, biểu thức đã cho viết lại thành 0,5 11cd ( a22++ b ) ab ( c 2 + d 2 ) xy++ + = . x y abcd Từ yêu cầu bài toán ta có cd( a22++ b )( ab c 2 + d 2 ) chia hết cho abcd. Suy ra cd() a22+ b chia hết cho ab. Từ (,)1(a b=⇒+ a22 b ,)1 ab =⇒ cd chia hết cho ab. Hoàn toàn tương tự có ab chia hết cho cd. Suy ra ab= cd. Khi đó 0,5 2 11abcd222+++ 2 xy++ + = . x y ab 11 Gọi n là số tự nhiên mà xy++ + =2.n Ta có xy 11 2n ≥ 2xy ⋅+ 2 ⋅=⇒≥ 4 n 2. Mặt khác có abcd222+++ 2 =2.n ab Nếu xy 0,5 n≥⇒3 abcd222 + + + 2 chia hết cho 8. Từ tính chất số chính phương khi chia cho 8, ta suy ra cả 4 số abcd,,, đều là số chẵn. Điều này mâu thuẫn với (;)(;)1.ab= cd = Do đó n = 2. 11 Khi đó x= >0, y = >⇒== 0 xy 1. 0,5 xy A N P PI Q 4 1 M J C B H O Vì HM AB, AB AC suy ra H M// AC ( từ vuông góc đến song song) dẫn đến 2,0 MHA NAH ( hai góc so le trong)
4. BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Xét tam giác AMH và HNA ta có: AMH HNA 900 (giả thiết), AH chung và MHA NAH . Suy ra AMH H N A (cạnh huyền, góc nhọn) dẫn đến AN HM (Cạnh tương ứng). Ta cũng có: IMH INA( hai góc so le trong) suy ra AIN HIM (g.c.g) dẫn 1,0 đến IN IM (cạnh tương ứng). Vì O là trung điểm của BC và tam giác ABC vuông tại A nên OA OB OC suy ra tam giác AOC cân tại O nên OA C OC A hay QA N OC A ,lại có: 0,5 OCA BHM ( đồng vị) suy ra QAN BHM . Xét AN Q và HMB , ta có AN Q H MB 900 , AN HM , QAN BHM 2 1,0 nên ANQ HMB (Cạnh góc vuông, góc nhọn) nên NQ MB . Tam giác MNQ và QBM có MN chung, NQ MB , MQN QMB nên 0,5 MNQ QBM (c.g.c) dẫn đến QMN MQB BQ// MN . Từ câu a suy ra IA IH, IM IN mà AMH MAN (c.g.c) nên AH MN suy ra IA IN dẫn đến 0,5 INA IAN IHM 900 MHB 90 00 ACO 90 OAC INA OAC 900 hay OA MN . Kết hợp với QB// MN suy ra B Q AO . 3 Tam giác ABO có A H BO , B Q AO , J là giao điểm của AH và BQ nên J O J AB AC A B O J// AC là trực tâm của tam giác, dẫn đến mà suy ra . 0,5 Từ đó suy ra BJO MNC . Khi trên bảng ghi 2023 số tự nhiên 1, 2, 3, , 2023, cần xóa đi ít nhất bao nhiêu số để các số còn lại trên bảng có tính chất không có 3 số nào mà một trong 3 số 1,0 đó bằng tích của 2 số còn lại. Nếu xóa 43 số 2, 3, 4, , 44 thì các số còn lại là 1, 45, 46, 47, , 2023 vì xét 1 số 5 0,5 bằng tích của 2 số khác nên ta không cần xét số 1 khi đó tích của 2 số khác 1 trong phần còn lại nhỏ nhất = 45*46 = 2070 nên chắc 0,5 chắn không có số nào bằng tích của 2 số khác.