Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Bình Lục (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Bình Lục (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HUYỆN BÌNH LỤC HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút) + + : 2 + Bài 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức A = 2 2 𝑥𝑥 6 1 10−𝑥𝑥 a) Rút gọn biểu thức A 3 𝑥𝑥 −4𝑥𝑥 6−3𝑥𝑥 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥+2 b) Tính giá trị của biểu thức A �tại thỏa mãn | + 1�| =�𝑥𝑥| −1| � c) Tìm giá trị nguyên của để biểu thức A có giá trị nguyên. 𝑥𝑥 − Bài 2 (3,5 điểm). 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2 + 3 27 b) 3 ( +2)(3 + 6 + 2)+1 2 , , 2( + + ) = + + 2. Cho𝑥𝑥 𝑥𝑥 − đôi một khác nhau 𝑥𝑥th𝑥𝑥ỏa mãn𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 2 2 2 Chứng minh + + = 1 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 2 2 2 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 2 2 2 Bài 3 (3,0 điểm). 𝑎𝑎 +2𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 1. Giải phương trình + + = 1 2 3 2 2 2 2 2. Tìm số nguyên để𝑥𝑥 −7𝑥𝑥+122 𝑥𝑥4 −là10 s𝑥𝑥ố+ chính24 𝑥𝑥 phương−15𝑥𝑥+54 9 Bài 4 (6,0 điểm). 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N. a) Tứ giác MNKE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AM = KC. KE c) Chứng minh chu vi2 tam giác MEC không đổi khi M di động trên cạnh BC. d) Gọi F là giao điểm của AM với đường thẳng DC. Chứng minh + không phụ thuộc vào vị trí điểm M 1 1 2 2 Bài 5 (3,5 điểm). AF AM 1. Cho , , > 0 à + + = 1. + + 9 Chứng 𝑥𝑥minh𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑣𝑣 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 1 1 1 2. Hai vòi nướ2c cùng ch2ảy vào m2ột bể không có nước sau 4 giờ thì đầy bể. 𝑥𝑥 +2𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑧𝑧 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 ≥ Người ta mở 2 vòi chảy trong 2 giờ, sau đó tắt vòi 1 đi, vòi 2 chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì bể đầy. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể. Hết Giám thị 1: . Họ và tên học sinh: . . . Giám thị 2: . Số báo danh: .
2. 2 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8 Câu Đáp án Điểm 1 a) Rút gọn (2điểm) + + : 2 + A= 2 2 𝑥𝑥 6 1 10−𝑥𝑥 ( ĐKXĐ:3 0; 2; 2) �𝑥𝑥 −4𝑥𝑥 6−3𝑥𝑥 𝑥𝑥+2� �𝑥𝑥 − 𝑥𝑥+2 � 0,25 A= + : 2 + ( )2( ) ( ) 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ≠ 6𝑥𝑥 ≠ 1𝑥𝑥 ≠ − 10−𝑥𝑥 ( ) ( ) ( )( ) = 𝑥𝑥 𝑥𝑥−2 𝑥𝑥+2 3 𝑥𝑥−2 𝑥𝑥+2 + 𝑥𝑥+2: + � ( )2( )− ( )( )� �𝑥𝑥 (− )( ) � 2 0,25 3𝑥𝑥 6𝑥𝑥 𝑥𝑥+2 3𝑥𝑥 𝑥𝑥−2 𝑥𝑥−2 𝑥𝑥+2 10−𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥 𝑥𝑥−2 𝑥𝑥+2 3𝑥𝑥 𝑥𝑥 +: 2 𝑥𝑥−2 3𝑥𝑥 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥−2 𝑥𝑥+2 𝑥𝑥+2 � 2 (2 )( −)2 2 2 � � � 3𝑥𝑥 −6𝑥𝑥 −12𝑥𝑥+3𝑥𝑥 −6𝑥𝑥 𝑥𝑥 −4+10−𝑥𝑥 = ( 3𝑥𝑥 )𝑥𝑥(−2 )𝑥𝑥. +2 𝑥𝑥+2 1,0 −18𝑥𝑥 𝑥𝑥+2 = 3𝑥𝑥 𝑥𝑥−2 𝑥𝑥+2 6 0,5 −1 𝑥𝑥−2 b) (1 điểm). Vì thỏa mãn | + 1| = | 1| =0( tmđk) hoặc =-2( không tmđk) 0,5 Tại =0 ta có𝑥𝑥 A = 𝑥𝑥 − 0,5 ⟺ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 c) (1 điểm). Để A có giá trị nguyên thì có giá trị nguyên −1 0,25 2 {1; 1} 𝑥𝑥−2 0,5 -2 1 -1 3(tmđk)⇒ 𝑥𝑥 − ∈ 1(tmđk)− 0,25 Vậy: 𝑥𝑥 =3; =1 thì biểu thức A có giá trị nguyên 2 1) Phân tích đa thứ𝑥𝑥c thành nhân tử (2 điểm) a) 2 + 3 𝑥𝑥 27 =𝑥𝑥 2 + 9 6 27= (2 +9)-3(2 +9) 0,5 2 = (2 2 +9)( -3) 0,5 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 a) 3 ( + 2)(3 + 6𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥)+1 = (3 + 6 )(2 3 + 6 + 2)+1 Đặt 3 𝑥𝑥+𝑥𝑥62 = . Ta𝑥𝑥 có: 2 (𝑥𝑥 + 2) + 1 0,5 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 =𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2 + 1=( + 1) = (3 + 6 + 1) 0,5 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑡𝑡 𝑡𝑡2𝑡𝑡 2 2 2 2) Cho a,b,c đôi một khác𝑡𝑡 nhau 𝑡𝑡thỏa mãn:𝑡𝑡 ( + +𝑥𝑥 ) =𝑥𝑥 + + + + 2 2 2 2 Chứng minh: 2 2 2 =1 (1,5 điểm). 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 2 2 2 ( 𝑎𝑎 +)2𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑏𝑏 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 +2𝑎𝑎𝑎𝑎 Từ Gt: + + = + + + 2 + 2 + 22 +22 + 2 = + + 0,25 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 2 2 2 + + = 0 2 2 2 ⟹ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 Nên + 2 = ( )( ) 0,5 ⟹ 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑏𝑏 Tương2 tự ta có: + 2 = ( )( ); + 2 = ( )( ) 𝑎𝑎 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 Khi đó: + 2 + 2 2 𝑏𝑏 2 𝑎𝑎𝑎𝑎 2𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑐𝑐 − 𝑎𝑎 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 ( ) ( ) ( ) 0,25 = 2 +2 2 + = 𝑎𝑎( +2)𝑏𝑏𝑏𝑏(2 )𝑏𝑏 +2(𝑎𝑎𝑎𝑎 )2(𝑐𝑐 +)2𝑎𝑎𝑎𝑎 ( )(2 ) 2 ( )2( )( 2) ( 𝑎𝑎)( )( ) 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑐𝑐−𝑏𝑏 +𝑏𝑏 𝑎𝑎−𝑐𝑐 +𝑐𝑐 𝑏𝑏−𝑎𝑎 = = 1 0,5 (𝑎𝑎−𝑏𝑏)(𝑎𝑎−𝑐𝑐)( 𝑏𝑏)−𝑎𝑎 𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑐𝑐−𝑎𝑎 𝑐𝑐−𝑏𝑏 𝑎𝑎−𝑏𝑏 𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑐𝑐−𝑎𝑎 𝑎𝑎−𝑏𝑏 𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑐𝑐−𝑎𝑎 𝑎𝑎−𝑏𝑏 𝑏𝑏−𝑐𝑐 𝑐𝑐−𝑎𝑎
3. 3 3 1)Giải phương trình: + + = 1 2 3 2 ( ĐKXĐ: 3; 2 4; 6; 2 9) 2 𝑥𝑥 −7𝑥𝑥+12 𝑥𝑥 −10𝑥𝑥+24 𝑥𝑥 −15𝑥𝑥+54 9 + + = ( )( ) ( )( ) ( )( ) 1 𝑥𝑥 ≠ 𝑥𝑥2≠ 𝑥𝑥 ≠ 3𝑥𝑥 ≠ 2 ⇔ 𝑥𝑥−3 𝑥𝑥−4 + 𝑥𝑥−4 𝑥𝑥−6 + 𝑥𝑥−6 𝑥𝑥−9 = 9 1 1 1 1 1 1 2 0,5 𝑥𝑥−4 𝑥𝑥−3 = 𝑥𝑥 −6 𝑥𝑥−4 𝑥𝑥−9 𝑥𝑥−6 9 ⇔ 1 − 1 2 − − = ( 3)( 9) = 27 0,5 ⇔ (𝑥𝑥−9 −)( 𝑥𝑥−3) 9 6 6 12 = 0 ⇔ 𝑥𝑥−3 𝑥𝑥−9 27 ⇒ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 2 =0; =12 (tmđk) 0,25 {0; 12}⇔ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 Vậy : S= 0,25 ⇔ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2) Tìm số nguyên để : 2 4 là số chính phương Đặt 2 4 = với y2 nguyên Tìm2 ; nguyên𝑥𝑥 th2ỏa mãn𝑥𝑥 − : 𝑥𝑥 − 2 4 = . 0,25 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 ( 2 1) = 5 2 ⟹ 𝑥𝑥 𝑦𝑦 ( 1 𝑥𝑥 −)(2 𝑥𝑥 −12+ )𝑦𝑦= 5 0,25 ⟹ 𝑥𝑥 − − 𝑦𝑦 1 1 ⟹ 𝑥𝑥 −5 − 𝑦𝑦 𝑥𝑥 −-1 𝑦𝑦 -5 1 + 5 1 -5 -1 0,75 𝑥𝑥 − − 𝑦𝑦 4 4 -2 -2 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 2 -2 -2 2 𝑥𝑥 Vậy giá trị là : 4; -2 0,25 𝑦𝑦 5 1) Cho 𝑥𝑥 , , > 0 à + + = 1. Chứng minh: + + 9 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧1 𝑣𝑣 1𝑥𝑥 𝑦𝑦 1𝑧𝑧 +)Đặt : + 2 2 = ; 2 + 2 2= ; + 2 = 𝑥𝑥 +2𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑧𝑧 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 ≥ , 2, > 0 , 2, > 0 2 ( Vì nên ) 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑏𝑏 𝑧𝑧 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑐𝑐 Ta có: + + = + 2 + + 2 + + 2 0,5 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 ( 2𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 ) 2 2 = + + =1 (vì + + = 1) 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑧𝑧 𝑥𝑥𝑥𝑥 +)Ta chứng minh: ( + + )(2 + + ) 9 (1) 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 1 1 𝑥𝑥1 𝑦𝑦 𝑧𝑧 1 + + + + 1 + + + + 1 9 0,5 Thật vậy: (1) 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 ≥ 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑐𝑐 + + + + + 6 ⇔ 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 . 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ≥ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 𝑐𝑐 ( ) 0 + 2 + 2 Vì ⇔ 𝑏𝑏 𝑎𝑎 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑎𝑎 ≥ . 𝑎𝑎 𝑏𝑏 2 + 22 + 2 2 Tương𝑎𝑎 − 𝑏𝑏tự: ≥ ⇔ 𝑎𝑎; 𝑏𝑏 ≥ 𝑎𝑎 𝑎𝑎 ⇔ 𝑏𝑏 𝑎𝑎 ≥ Vậy (1) đã𝑏𝑏 đượ𝑐𝑐c chứng𝑎𝑎 minh𝑐𝑐 𝑐𝑐 𝑏𝑏 ≥ 𝑐𝑐 𝑎𝑎 ≥ +) Từ (1) + + = 9 + + 9 0,5 1 1 1 9 1 1 1 2 2 2 ⟹ 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 ≥ 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐 ⇒ 𝑥𝑥 +2𝑦𝑦𝑦𝑦 𝑦𝑦 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑧𝑧 +2𝑥𝑥𝑥𝑥 ≥ 2) Gọi thời gian vòi 1 chảy một minh đầy bể là (giờ; >4) 0,25 -Trong 1 giờ vòi 1 chảy được (bể) 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 0,25 Trong 1 giờ vòi 2 chảy được 𝑥𝑥 (bể) 1 1 4 − 𝑥𝑥
4. 4 -Trong 2 giờ cả 2 vòi chảy : (bể) 1 Vòi 2 chảy tiếp trong 3 giờ 2được 3. (bể) 0,5 1 1 0,5 Theo bài ra ta có PT: + 3. �=4 −1 𝑥𝑥� 1 1 1 -Giải PT tìm =12 2 �4 − 𝑥𝑥� 0,5 - Trả lời: Vòi 1 chảy trong 12 giờ; vòi 2 chảy trong 6 giờ thì đầy bể 𝑥𝑥 Hình vẽ a)-Chứng minh: MNKE là hình bình hành 0,75 -Chứng minh: vuông cân 4 => => MNKE là hình thoi 0,75 b)-Chứng minh: ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴= 45 0,25 - Chứng𝐴𝐴𝐴𝐴 minh:⊥ 𝐾𝐾𝐾𝐾 = 45 0 0,5 � - Chứng minh: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 à 0 (g-g) => = . 0,5 Có AM =AK 𝐾𝐾𝐾𝐾�=> 𝐾𝐾ĐPCM 2 0,25 c)C/m: BM =DK∆𝐴𝐴𝐴𝐴 =>𝐴𝐴 KE𝑣𝑣 =KD∆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 +DE =BM𝐴𝐴𝐴𝐴 +DE 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾 0,5 Chu vi = + + = + + + = 2 0,75 Vậy chu vi không đổi khi M di động trên BC 0,25 d)- Vì AM∆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 =AK nên𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶+ 𝐸𝐸𝐸𝐸= 𝐶𝐶𝐶𝐶+ 𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑎𝑎 0,25 ∆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 1 1 1 1 0,5 -C/m: . = . 2 =>2 . 2 =2 . 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 - Vì = + ; AD=a 2 2 2 2 0,25 Nên 𝐴𝐴𝐴𝐴.2 𝐴𝐴𝐴𝐴= 2 𝐴𝐴.𝐴𝐴( 𝐾𝐾𝐾𝐾2 + 𝐴𝐴𝐴𝐴) 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐾𝐾𝐾𝐾 𝐾𝐾𝐾𝐾2 2𝐴𝐴𝐴𝐴 (2 𝐴𝐴𝐴𝐴+2 ) 2 1 1 1 1 = + = 0,25 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑎𝑎 𝐴𝐴𝐴𝐴2 . 2𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 Vậy: + ⇒= không2 ph2 ụ thuộ2c ⇒vào vị 2trí điểm2 M 2 0,25 1 1 1𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑎𝑎 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑎𝑎 2 2 2 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑎𝑎 • Lưu ý: Cách làm khác đúng cho điểm tương đương