Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Bình Lục (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề kiểm tra chất lượng học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Bình Lục (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HUYỆN BÌNH LỤC HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút) 2 6 1 2 Bài 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức A = + + : ― 2 + 10 ― 3 ― 4 6 ― 3 + 2 + 2 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A tại thỏa mãn | + 1| = | ―1| c) Tìm giá trị nguyên của để biểu thức A có giá trị nguyên. Bài 2 (3,5 điểm). 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) 2 2 +3 ― 27 b) 3 ( +2)(3 2 +6 + 2)+1 2. Cho , , đôi một khác nhau thỏa mãn ( + + )2 = 2 + 2 + 2 2 2 2 Chứng minh = 1 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Bài 3 (3,0 điểm). 1 2 3 2 1. Giải phương trình 2 ― 7 + 12 + 2 ― 10 + 24 + 2 ― 15 + 54 = 9 2. Tìm số nguyên để 2 ―2 ― 4 là số chính phương Bài 4 (6,0 điểm). Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là một điểm bất kì trên cạnh BC. Tia Ax vuông góc với AM cắt đường thẳng CD tại K. Gọi I là trung điểm của MK. Tia AI cắt đường thẳng CD tại E. Đường thẳng qua M song song với AB cắt AI tại N. a) Tứ giác MNKE là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh AM2 = KC.KE c) Chứng minh chu vi tam giác MEC không đổi khi M di động trên cạnh BC. d) Gọi F là giao điểm của AM với đường thẳng DC. 1 1 Chứng minh không phụ thuộc vào vị trí điểm M AF2 + AM2 Bài 5 (3,5 điểm). 1. Cho , , > 0 푣à + + = 1. 1 1 1 Chứng minh 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥ 9 2. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 4 giờ thì đầy bể. Người ta mở 2 vòi chảy trong 2 giờ, sau đó tắt vòi 1 đi, vòi 2 chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì bể đầy. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể. Hết Giám thị 1: . Họ và tên học sinh: . . . Giám thị 2: . Số báo danh: .
2. 2 HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 8 Câu Đáp án Điểm 1 a) Rút gọn (2điểm) 2 2 A= + 6 + 1 : ― 2 + 10 ― 3 ― 4 6 ― 3 + 2 + 2 ( ĐKXĐ: ≠ 0; ≠ 2; ≠ ―2) 0,25 2 2 A= ― 6 + 1 : ― 2 + 10 ― ( ― 2)( + 2) 3( ― 2) + 2 + 2 2 = 3 ― 6 ( + 2) + 3 ( ― 2) : 3 ( ― 2)( + 2) 3 ( + 2)( ― 2) 3 ( + 2)( ― 2) 0,25 2 ( ― 2)( + 2) + 10 ― + 2 + 2 3 2 ― 6 2 ― 12 + 3 2 ― 6 2 2 = : ― 4 + 10 ― 1,0 3 ( ― 2)( + 2) + 2 ―18 + 2 = . 3 ( ― 2)( + 2) 6 0,5 ―1 = ― 2 b) (1 điểm). Vì thỏa mãn | + 1| = | ―1| ⟺ =0( tmđk) hoặc =-2( không tmđk) 0,5 1 Tại =0 ta có A = 0,5 2 ―1 c) (1 điểm). Để A có giá trị nguyên thì có giá trị nguyên ― 2 0,25 ⇒ ― 2 ∈ {1; ― 1} 0,5 -2 1 -1 3(tmđk) 1(tmđk) 0,25 Vậy: =3; =1 thì biểu thức A có giá trị nguyên 2 1) Phân tích đa thức thành nhân tử (2 điểm) a) 2 2 +3 ― 27 = 2 2 +9 ― 6 ― 27= (2 +9)-3(2 +9) 0,5 = (2 +9)( -3) 0,5 a) 3 ( + 2)(3 2 +6 + 2)+1 = (3 2 +6 )( 3 2 +6 + 2)+1 Đặt 3 2 +6 = 푡. Ta có: 푡(푡 + 2) +1 0,5 = 푡2 +2푡 + 1=(푡 + 1)2= (3 2 + 6 + 1)2 0,5 2) Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn: ( + + )2 = 2 + 2 + 2 2 2 2 Chứng minh: =1 (1,5 điểm). 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 Từ Gt: ( + + )2 = 2 + 2 + 2 2 2 2 2 2 2 ⟹ + + + 2 + 2 + 2 = + + 0,25 ⟹ + + = 0 2 Nên +2 = ( ― )( ― ) 0,5 Tương tự ta có: 2 +2 = ( ― )( ― ); 2 +2 = ( ― )( ― ) 2 2 2 Khi đó: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
3. 3 2 2 2 0,25 = ( ― )( ― ) + ( ― )( ― ) + ( ― )( ― ) = 2 2 2 ( ― ) + ( ― ) + ( ― ) 0,5 ( ― )( ― )( ― ) ( ― )( ― )( ― ) = ( ― )( ― )( ― ) = 1 1 2 3 2 3 1)Giải phương trình: 2 ― 7 + 12 + 2 ― 10 + 24 + 2 ― 15 + 54 = 9 ( ĐKXĐ: ≠ 3; ≠ 4; ≠ 6; ≠ 9) 1 2 3 2 ⇔ ( ― 3)( ― 4) + ( ― 4)( ― 6) + ( ― 6)( ― 9) = 9 1 1 1 1 1 1 2 ⇔ ― + ― + ― = ― 4 ― 3 ― 6 ― 4 ― 9 ― 6 9 0,5 1 1 2 = ⇔ ― 9 ― ― 3 9 6 6 0,5 ⇔ ( ― 3)( ― 9) = 27 ⇒( ― 3)( ― 9) = 27 ⇔ 2 ―12 = 0 ⇔ =0; =12 (tmđk) 0,25 Vậy : S= {0;12} 0,25 2) Tìm số nguyên để : 2 ―2 ― 4 là số chính phương Đặt 2 ―2 ― 4 = 2 với y nguyên ⟹ Tìm ; nguyên thỏa mãn : 2 ―2 ― 4 = 2. 0,25 ⟹( ― 1)2 ― 2 = 5 ⟹( ― 1 ― )( ― 1 + ) = 5 0,25 ― 1 ― 1 5 -1 -5 ― 1 + 5 1 -5 -1 0,75 4 4 -2 -2 2 -2 -2 2 Vậy giá trị là : 4; -2 0,25 5 1) Cho , , > 0 푣à + + = 1. 1 1 1 Chứng minh: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥ 9 +)Đặt : 2 +2 = ; 2 +2 = ; 2 +2 = ( Vì , , > 0 nên , , > 0) 2 2 2 Ta có: + + = +2 + +2 + +2 0,5 =( + + )2 =1 (vì + + = 1) 1 1 1 +)Ta chứng minh: ( )( (1) + + + + ) ≥ 9 0,5 Thật vậy: (1) ⇔1 + + + +1 + + + +1 ≥ 9 . ⇔ + + + + + ≥ 6 Vì 2 2 2 . ( ― ) ≥ 0⇔ + ≥ 2 ⇔ + ≥ 2 Tương tự: ; + ≥ 2 + ≥ 2 Vậy (1) đã được chứng minh 1 1 1 9 1 1 1 0,5 +) Từ (1) ⟹ + + ≥ + + = 9⇒ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥ 9
4. 4 2) Gọi thời gian vòi 1 chảy một minh đầy bể là (giờ; >4) 0,25 1 -Trong 1 giờ vòi 1 chảy được (bể) 1 1 0,25 Trong 1 giờ vòi 2 chảy được (bể) 4 ― 1 -Trong 2 giờ cả 2 vòi chảy : (bể) 2 Vòi 2 chảy tiếp trong 3 giờ được 3. 1 ― 1 (bể) 4 1 0,5 Theo bài ra ta có PT: +3. 1 ― 1 = 1 2 4 0,5 -Giải PT tìm =12 - Trả lời: Vòi 1 chảy trong 12 giờ; vòi 2 chảy trong 6 giờ thì đầy bể 0,5 Hình vẽ a)-Chứng minh: MNKE là hình bình hành 0,75 -Chứng minh: ∆ 퐾 vuông cân 4 => ⊥ 퐾 => MNKE là hình thoi 0,75 b)-Chứng minh: 퐾 = 450 0,25 - Chứng minh: 퐾 = 450 0,5 - Chứng minh: ∆ 퐾 푣à ∆ 퐾 (g-g) => 퐾2 = 퐾 .퐾 0,5 Có AM =AK => ĐPCM 0,25 c)C/m: BM =DK => KE =KD +DE =BM +DE 0,5 Chu vi ∆ = + + = + + + = 2 0,75 Vậy chu vi ∆ không đổi khi M di động trên BC 0,25 1 1 1 1 d)- Vì AM =AK nên + = + 0,25 2 퐹2 퐾2 퐹2 0,5 -C/m: 퐾. 퐹 = .퐾퐹 => 퐾2. 퐹2 = 2.퐾퐹2 - Vì 2 2 2; AD=a 퐾퐹 = 퐾 + 퐹 0,25 Nên 퐾2. 퐹2 = 2.( 퐾2 + 퐹2) ( 퐾2 + 퐹2) 1 1 1 1 ⇒ = ⇒ + = 0,25 퐾2. 퐹2 2 퐾2 퐹2 2
5. 5 1 1 1 Vậy: không phụ thuộc vào vị trí điểm M 0,25 2 + 퐹2 = 2 • Lưu ý: Cách làm khác đúng cho điểm tương đương