Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Hồng Bàng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Hồng Bàng (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VÀO ĐỘI DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2013 - 2014 Thời gian : 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 : Tìm số nguyên n để n2 + 2n + 6 chia hết cho n + 4 (2 điểm) Bài 2 : Giải phương trình và bất phương trình sau (4 điểm) a) x3 + 2x2 + 4x + 3 = 0 xx2 b) 1 xx2 23 Bài 3 : (3 điểm) a) Giải và biện luận bất phương trình sau : ax b x 1 với x là ẩn, a > 0, b > 0 ba b) Cho a, b, c là các số thực bất kì . Chứng minh: a b 2 b c 2 a c 2 a2 b 2 c 2 ab bc ac 18 5 2013 Bài 4 : (3 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất của A x 12 2( x 2 ) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x2 - 11x + 28 với x 4 AC a Bài 5 : Cho hình thang ABCD vuông tại A, AB // CD. Biết với a > 0 , b > 0 BD b AB và AC vuông góc với BD. Tính tỉ số . (3 điểm) CD Bài 6 : Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác ABC. Một đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh : (5 điểm) a) ABI∽ AMI b) AM . BN = IM . IN Hết
2. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG ĐÁP ÁN Bài 1 ( 2 điểm ) Tìm số nguyên n để n2 + 2n + 6 chia hết cho n + 4 * Biến đổi n2 + 2n + 6 = n ( n + 4 ) - 2 ( n + 4 ) + 14 ( 0, 5 đ ) * Lí luận để có 14 chia hết cho n + 4 ( 0, 5 đ ) * Như vậy n + 4 là U ( 14 ) Tìm đúng n = -3, -5, 2, -6, 3, -11, 10, -18 ( 1 đ ) Bài 2 ( 4 điểm ) Giải phương trình và bất phương trình sau a) x3 + 2x2 + 4x + 3 = 0 * Biến đổi x3 + 2x2 + 4x + 3 = 0 ( x + 1 ) ( x2 + x + 3 ) = 0 ( 1 ) ( 0, 5 đ ) 2 2 1 11 * CMinh : x + x + 3 = x > 0 ( 0, 5 đ ) 24 * Khi đó ( 1 ) x + 1 = 0 x = - 1 ( 0, 5 đ ) xx2 b) 1 xx2 23 3 x * Biến đổi 0 ( 0, 5 đ ) (xx 3) ( 1) * Xét dấu đúng Tử và Mẫu ( 0,5 đ x 3) * Kết luận đúng -3 3 ( 0, 5 đ ) Bài 3 ( 3 điểm ) ax b a) Giải và biện luận bất phương trình sau : x 1 với x là ẩn, a > 0, b > 0 ba * Biến đổi , a > 0, b > 0 a ( a – b ) x 0 a > b thì ( 1 ) có nghiệm là x * a – b = 0 a = b thì ( 1 ) vô nghiệm Đúng cả 3 trường hợp ( 1 đ ) Sai 1 trong 3 trường hợp : chỉ cho 0, 5 đ / 1 đ b) Cho a, b, c là các số thực bất kì . Chứng minh: a b 2 b c 2 a c 2 a2 b 2 c 2 ab bc ac 18 5 2013 Biến đổi ( 0, 5 đ ) a b 222 b c 2 a c 2 2a2 2 b 2 2 c 2 2 ab 2 bc 2 ac 9 5 2013 a b 222 b c 2 a c 2 ()()()a b2 b c 2 a c 2 9 5 2013 8 3 2011 (a b )2 ( b c ) 2 ( a c ) 2 0 : đúng với mọi a, b, c ( 0, 5 đ ) 9 5 2013
3. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG Bài 4 ( 3 điểm ) a) Tìm giá trị lớn nhất của A x 12 2( x 2 ) * Biến đổi = - ( x – 1 ) 2 + 2 ( x- 1 ) - 2 2 = x 1 1 1 1 với mọi x ( 0, 5 đ ) Hay A 1 với mọi x, dấu “ = “ xảy ra x – 1 – 1 = 0 x = 2 ( 0, 5 đ ) * Kết luận đúng max A = -1 khi x = 2 ( 0, 5 đ ) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = x2 - 11x + 28 với x 4 * Biến đổi B = ( x – 7 ) ( x – 4 ) ( 0, 5 đ ) * Lí luận đúng B 0 với x 4 ( 0, 5 đ ) Dấu “ = “ xảy ra khi x = 4 * Kết luận đúng min B = 4 khi x = 4 ( 0, 5 đ ) Bài 5 ( 3 điểm ) AC a Cho hình thang ABCD vuông tại A, AB // CD. Biết với a > 0 , b > 0 và AC BD b vuông góc với BD AB Tính tỉ số CD B A C D * CMinh ABD∽ DAC ( g – g ) : đúng ( 1 đ ) AB BD AD * Từ đó : ( 0, 5 đ ) AD AC DC AB AD BD BD ( 0, 5 đ ) AD CD AC AC AB b2 ( 1 đ ) CD a2
4. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG Bài 6 ( 5 điểm ) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn , gọi I là giao điểm của 3 đường phân giác trong của tam giác ABC Một đường thẳng vuông góc với CI tại I cắt AC và BC lần lượt tại M và N. Chứng minh: a) ABI∽ AMI A M K I C H B N C * CMinh được : góc AIB = 900 ( 0, 5 đ ) 2 1800 C * CMinh: tam giác CMN cân tại C CMN ( 0, 5 đ x 2 2 ) 1800 CC * Suy ra : M 1800 CMN 180 0 90 0 AIB ( 1 đ ) 1 22 * CMinh: ( 0, 5 đ ) b) CMinh: AM . BN = IM . IN AI BI * (1) ( 0, 5 đ ) AM IM BI AI * Tương tự : ABI∽ IBN (2) ( 0, 5 đ ) BN IN AI BI BI AI * Từ ( 1 ) , ( 2 ) ( 0, 5 đ ) AM BN IM IN * Suy ra điều phải cminh ( 0, 5 đ )