Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Hồng Bàng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Hồng Bàng (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VÀO ĐỘI DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2014 - 2015 Thời gian : 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3 điểm) Cho ba số x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = 0. Chứng minh rằng x3 + y3 + z3 = 3xyz. Áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = (a + b – c)3 – (2b – a + c)3 + (b – 2a + 2c)3 Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình 2x4 + x3 – 5x2 – 2x + 2 = 0 x2 2x 4 b) Tìm nghiệm ngu n dương c a b t phương trình 1 (x 1)(x 3) Bài 3: (4 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nh t c a biểu thức P = 2x 1 22 x 2 22 1 1 25 b) Cho a và b là hai số dương thỏa a + b = 1. Chứng minh ab a b 2 Bài 4: (3 điểm) a) Chứng minh rằng số A = 1 2013mn 2014 không thể là số chính phương với mọi m, n ngu n dương. b) Cho 13 số thực b t kỳ thỏa mãn điều kiện “ Tổng của 6 số bất kỳ trong chúng luôn nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại ”. Chứng minh rằng t t cả các số đã cho đều là số dương. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng H là giao điểm ba đường phân giác trong c a tam giác DEF. Bài 6: (3 điểm) Cho tam giác ABC có đường phân giác AD. Chứng minh rằng AD2 = AB.AC – DB.DC HẾT
2. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG ĐÁP ÁN BÀI 1: (3 điểm) Ta có x + y + z = 0  x + y = –z  (x + y)3 = (–z)3 0,5đ  x3 + y3 + z3 = –3xy(x + y) 0,5đ  x3 + y3 + z3 = –3xy(–z) = 3xyz 0,5đ Áp dụng : Phân tích đa thức P = (a + b – c)3 – (2b – a + c)3 + (b – 2a + 2c)3 thành nhân tử P = (a + b – c)3 + [–(2b – a + c)]3 + (b – 2a + 2c)3 = (a + b – c)3 + (–2b + a – c)3 + (b – 2a + 2c)3 0,5đ x a b c Đặt : y 2b a c z b 2a 2c Ta có : x + y + z = 0 0,5đ Do đó P = x3 + y3 + z3 = 3xyz  P = 3(a + b – c)(–2b + a – c)(b – 2a + 2c) 0,5đ BÀI 2: (4 điểm) a) Giải phương trình 2x4 + x3 – 5x2 – 2x + 2 = 0 2x4 + x3 – 5x2 – 2x + 2 = 0  (x – 2 )(x + )(x + 1)(2x – 1) = 0 1đ x2 x2  x1 1 x 2 1đ
3. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG x2 2x 4 b) Tìm nghiệm ngu n dương c a b t phương trình 1 (x 1)(x 3) ĐK : x ≠ –1, x ≠ 3 x2 2x 4 1 Ta có (1)  10  0 (x 1)(x 3) (x 1)(x 3) 0,5đ  (x + 1)(x – 3) x – 3 0,5đ x 1 0 +   –1 < x < 3 , x Z x 3 0  x {1 ; 2} thỏa ĐK ! 0,5đ BÀI 3: (4 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nh t c a biểu thức P = 2x 1 22 x 2 P = 22 = 4x 4x 1 x 4x 4 = 5x2 5 0,5đ P  5 với mọi x 0,5đ D u “=” xả ra  x = 0 0,5đ Vậ : Pmin = 5 tại x = 0 0,5đ 22 1 1 25 b) Cho a và b là hai số dương thỏa a + b = 1. Chứng minh ab a b 2 1 Áp dụng BĐT x2 + y2  (x + y)2, ta có : 2 22 2 1 1 1 1 1 a b a b a b 2 a b 0,5đ 2 1 1 1 1 2 a b 0,5đ
4. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG 2 1 a b a b 1 2 a b 2 0,5đ 1 b a 3 2 a b ba Mà 2 với mọi a, b > 0. N n ab 22 1 1 1 2 a b 3 2 a b 2 25 đpcm ! 0,5đ 2 BÀI 4: (3 điểm) a) Chứng minh rằng số A = 1 2013mn 2014 không thể là số chính phương với mọi m, n ngu n dương. Ta có : 2013  0 (mod 3)  2013m  0 (mod 3) 2014  1 (mod 3)  2014n  1 (mod 3) 1đ Vậ A  2 (mod 3) Do đó A không thể là một số chính phương (số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1) 0,5đ b) Cho 13 số thực b t kỳ thỏa mãn điều kiện “Tổng của 6 số bất kỳ trong chúng luôn nhỏ hơn tổng của 7 số còn lại”. Chứng minh rằng t t cả các số đã cho đều là số dương. Gọi 13 số thực đã cho là a1 , a2 , a3 , , a13 Theo đề ta có : a1 a 2 a 6 a 7 a 8 a 13 0,5đ  a1 a 2 a 6 a 7 2a 7 a 8 a 13 Mà : a1 a 2 a 6 a 7 a 8 a 9 a 13 0,5đ Nên : 2a7 a 8 a 13 a 8 a 9 a 13
5. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG  2a7 0  a07 . Chứng minh tương tự, ta cũng có các số còn lại là các số dương. 0,5đ BÀI 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng H là giao điểm ba đường phân giác trong c a tam giác DEF. A E F H C B D . C/minh : AEF  ABC (c.g.c) 1đ . C/minh tương tự DBF  ABC . Từ đó AEF  DBF  AFE DFB 0,5đ . Mà : AFE EFH 90o 0,5đ DFB DFH 90o . Nên : EFH DFH 0,5đ  FH là tia phân giác c a EFD . C/minh tương tự EH và DH lần lượt là tia phân giác c a FED và EDF. . Mà ba tia FH, EH, DH cắt nhau tại H n n H là giao điểm ba đường phân giác trong c a 0,5đ
6. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG DEF. BÀI 6: (3 điểm) A 1 2 B D C I AD AB ABD  AIC AD.AI = AB.AC (1) 1đ AC AI AD BD ABD  CID AD. ID = BD.CD (2) 1đ CD ID Từ (1) và (2) AD.AI – AD. ID = AB.AC – BD.CD 0,5đ AD.(AI – ID) = AB.AC – BD.CD AD2 = AB.AC – BD.CD : đpcm ! 0,5đ HẾT