Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Trường THCS Hồng Bàng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Trường THCS Hồng Bàng (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VÀO ĐỘI DỰ TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017 Thời gian : 90 phút (không kể thời gian giao đề) ( Học sinh làm bài vào giấy kiểm tra ) Bài 1: (2,5 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 64 . 1 b) Chứng minh đa thức f(x) = 2x4 − x3 − 3x2 − 5x – 2 có nghiệm x 2 và x . 1 2 2 Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử. Bài 2: (2,5 điểm) Giải phương trình và bất phương trình sau: 4x x2 2 x 2 1 a) ; x3 1 x2 x 1 1 x 3x2 6x 1 b) 1. x2 2x 2 Bài 3: (2 điểm) a) Chứng minh nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc với a, b, c là các số thực. 5 7 x2 x b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 4 với x ≠ −1. (x 1)2 Bài 4: (3 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh 2a. Vẽ đường thẳng qua C cắt tia AB ở E và tia AD ở F. a) Chứng minh BE.DF = 4a2. BE AE 2 b) Chứng minh . DF AF 2 32a2 c) Tính độ dài BE và DF theo a biết diện tích tam giác EAF bằng . 3 ___HẾT___
2. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG THANG ĐIỂM VÀ ĐÁP ÁN ( BÀI KIỂM TRA TUYỂN HSG - TOÁN 8 ) Bài 1 (2,5 điểm): a/ Thêm bớt hạng tử 16x2: (x4 + 16x2 + 64) – (4x)2 0,5đ HĐT số 3 , kết quả: (x2 + 4x + 8).(x2 – 4x + 8) 0,25đ + 0,5đ 1 b/ f(2) = 0, f 0 nên kết luận 0,5đ 2 1 Chia đa thức cho (x − 2), chia đa thức tiếp tục cho x 0,25đ 2 2 1 3 Đa thức x2 + x + 1 = x 0 nên không phân tích được 0,25đ 2 4 1 Kết quả f (x) 2 x 2 . x .(x2 x 1) 0,25đ 2 hoặc = (x – 2) (2x + 1) (x2 + x + 1) Bài 2 (2,5 điểm): a/ Điều kiện x ≠ 1 (vì x2 + x + 1 dương) 0,25đ Mẫu chung: (x − 1) (x2 +x + 1) = x3 − 1 0,25đ Thu gọn được nghiệm là x 1 (nhận) nên phương trình có nghiệm x 1 0,5đ + 0,25đ b/ Do –x2 – 2x – 2 = – (x + 1)2 – 1 < 0 với mọi x 0,5đ Khử mẫu, đổi chiều bất phương trình 0,25đ (2x − 1)2 ≥ 0 x R 0,25đ + 0,25đ Bài 3 (2 điểm): a/ (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a) 0,5đ a + b + c = 0 a + b = − c ; b +c = − a ; c + a = − b 0,25đ nên a3 + b3 + c3 = 3abc 0,25đ 2 5 7 x x 2 2 2 4x 10x 7 3(x 1) (x 2) b/ P 2 4 0,5đ (x 1)2 4(x 1)2 4(x 1)2 2 3 x 2 3 P 0,25đ 4 2(x 1) 4 3 * Dấu bằng xảy ra x = − 2 (nhận). Vậy GTNN của P là 0,25đ 4 Bài 4 (3 điểm): a/ BEC và DCF đồng dạng (g-g) 0,5đ BE.DF = DC.BC = 4a2 0,5đ BE BC BE AE b/ * BC // AF (1) 0,25đ AE AF BC AF DC DF DC AE DC // AE (2) 0,25đ AE AF DF AF BE AE 2 * Nhân từng vế (1) và (2) (do BC = DC) 0,5đ DF AF 2 1 1 32a2 c/ Từ S AE.AF (2a BE).(2a DF) EAF 2 2 3 20a BE DF 0,5đ 3
3. TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG Mà BE.DF = 4a2 2a Suy ra: BE ;DF 6a 3 2a hoặc BE 6a;DF 0,5đ 3 * Học sinh giải theo cách khác đúng, đạt đủ số điểm. ___Hết___ E B C 2a F A D