Đề kiểm tra CLB văn hóa và chọn đội tuyển học sinh giỏi vòng 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Cầu Giấy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra CLB văn hóa và chọn đội tuyển học sinh giỏi vòng 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Cầu Giấy (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 9 TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG I Môn kiểm tra: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian phát đề) Bài 1. (5,0 điểm) 2 x2 y 22 x y 2 xy 1. Cho P . với x 0, yxy 0, . 2 22 2 x x xy xy xy y x xy y a) Rút gọn biểu thức P. b) Tính giá trị của biểu thức P biết xy, thỏa mãn đẳng thức: xy22 10 2 xy 3 . 2. Tìm tất cả các số nguyên tố pqr,, thỏa mãn (pq22 1)( 1) r 2 1. Bài 2. (4,0 điểm) 33 xx 1. Giải phương trình xx 2. xx 11 2. Tìm các cặp số nguyên dương (;)xy thỏa mãn xy2 2 xy x 9. y Bài 3. (4,0 điểm) 1. Cho x và y là các số nguyên dương thỏa mãn xy3 và xy 3 cùng chia hết cho xy22 . Chứng minh rằng 22xy là số chính phương. 2. Cho các số dương abc,, thỏa mãn abc222 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 111 P . 222 abc Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC ). Vẽ đường cao AH (H BC ). Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH HA. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P. 1. Chứng minh rằng tam giác AKC đồng dạng với tam giác BPC. 2. Gọi Q là trung điểm của BP. Chứng minh BQH BCP. AH BC 3. Tia AQ cắt BC tại I. Chứng minh 1. HB IB Bài 5. (1,0 điểm) 1. Xét tập T 1, 2, 3, , 13 . Lập tất cả các tập con hai phần tử trong T sao cho hiệu của hai phần tử đó là 5 hoặc 8. 2. Cho M là tập con của S 1, 2, 3, , 869 có tính chất hiệu hai số bất kỳ của M không là 5 hoặc 8. Hỏi M có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ? HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
2. PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐÁP ÁN TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 9 VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG I ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: Toán Ngày thi: 07/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian phát đề) BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 2 22 2 2 x y x y xy 1. Cho P . với 2 22 2 x x xy xy xy y x xy y x 0, yxy 0, 1 a) Rút gọn biểu thức P . 1,5 b) Tính giá trị của biểu thức P biết xy, thỏa mãn đẳng thức: xy22 10 2 xy 3 1.0 2 x2 y 22 x y 2 xy a) P . 2 22 2 x x xy xy xy y x xy y 2 22 2 2 x y y x x y xy xy P . 1 x 22 xy x y x xy y 1,0 2 x2 y xy 2332 y x x y xy 2 x y P . x 22 xy x y x xy y 22 2 y x x xy y xy P . x xy x y x22 xy y 2 yx 2yyx xy 0,5 P P P với x 0, yxy 0, x xy xy xy
3. BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM b)Tính giá trị của biểu thức P biết xy, thỏa mãn đẳng thức: 22 xy 10 2 xy 3 Ta có xy22 10 2 xy 3 xx22 2 1 yy 6 90 22 xy1 30 22 Vì x 10 xy ;  30 y 0,5 xx 10 1 (TMĐK) yy 30 3 13 2 Tại xy 1, 3 thì P 1. 3 3 2 Vậy P khi xy22 10 2 xy 3 3 0,5 Tìm tất cả các số nguyên tố pqr,, thỏa mãn (pq22 1)( 1) r 2 1. 2,5 Do vai trò p và q như nhau nên ta có thể giả sử pq . Nếu p và q cùng lẻ thì vế trái chia hết cho 4. Suy ra r 2 chia cho 4 dư 3: vô lý. 1,0 Do đó có ít nhất một số chẵn trong p và q. Suy ra p 2. Khi đó có 5(qr22 1) 1 54qr22 2 0,5 qr 22 24 : loại qr 32 49 r 7 : thỏa mãn 0,5 q 3 rq22 54 chia hết cho 3 r 3 9 5q 2 4 49 : vô lý pqr 2; 3; 7 0,5 Vậy pqr 3; 2; 7 ĐKXĐ: x 1 2,0 1 33 xx 2 xx 2 xx 11
4. BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM C1 33x xx22 x x .2 xx 11 0,5 33xxx 22 2 2 x 1 3 42 2 3x 9 xx 3 x 2 x 42 x xxxx432 3 5 5 20 2 2 1,0 x 1. xx 2 0 x 10 x 1( tm ) xx2 20 VN 0,5 Vậy S 1 3 x 3 x C2 Đặt A = x ;B = x . Ta có A+B = 3 ; A.B = 2 và tìm được A = 1; B= x 1 x 1 2 hoặc ngược lại và tìm được x = 1 Tìm các cặp số nguyên dương(;)xy thỏa mãn : xy2 29 xy x y 2,0 xy2 2 xy x 32 y xy( 1)2 9 y 9y 0,5 Do y nguyên dương yx 10 (y 1)2 2 2 Vì (yy , 1) 1 (y 1) U(9) 0,5 Do (y 1)2 1 và là số chính phương nên (y 1)2 9 0,5 (y 1)2 9 yx 2; 2 0,5 x 2 Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là: y 2 x y xy3 xy 3 1 Cho và là các số nguyên dương thỏa mãn và cùng chia hết cho 2,0 xy22 . Chứng minh rằng 22xy là số chính phương. Đặt a (;) xy chứng minh được a 1. 32 2 0,5 3 x yx y 2 2 22 ()(x y x xy y1) x y x3 yx 22 y xy (mod d ) 2xd2 22  Đặt d (, x yx y ) 0,5 x22 yd 2yd2 
5. BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Do (xy ; ) 1 d 1; 2 . +) Nếu xy xy33 xx chia hết cho xy22 2. x 2 Từ đây tìm được xy 1. Nếu d 1 ( x yx ,22 y )1 khi đó 2 2 22 22 x xy y11 x y xy x y 0,5 Từ đây chỉ ra xy 10 x y 1 (x yx ,22 y ) (0; 2) 2 loại xyxy 22 xy22 xy22 Nếu d 2 ( , )1 x22 xy y 1 xy 1 22 2 2 0,5 Từ đây chỉ ra xy 10 x y 1: thỏa mãn Vậy xy 12 x 2 y 4 là số chính phương Cho các số dương abc,, thỏa mãn abc222 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2,0 111 P . 222 abc 12a22 aa 11 0,5 aa22 1122a 2 11a 2 0,5 22 a abc222 3 Tương tự suy ra P 3 0,5 2 Suy ra P 3 min 0,5 Dấu “=” xảy ra khi abc 1. I K 1 B H 4 1 Q 1 C P A CK CA a) PK// AH⇒∆ CKP ∆ CAB ⇒ = 2,0 CP CB Suy ra ∆∆AKC BPC( c. g . c) (1) 1,0
6. BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM  0   0 ∆AKH vuông cân tại H ⇒=K1 45 . Từ (1)⇒==⇒KP1145 ∆BAP vuông cân tại A ⇒=BP AB 2 0,5 BH AB Chứng minh ∆BHA ∆⇒= BAC AB BC BH22 AB BH AB BH AB ⇒=⇒=⇒= AB 2222BC AB BC AB 2BC 2 1,0 BH BP BH BQ ⇒= ⇒=()BP =2 BQ BP2 BC BP BC BH BQ ∆BHQ và ∆BPC có: = ; PBC chung ⇒∆BHQ ∆ BPC() c g c BP BC 0,5 Suy ra BQH BCP ∆BAP vuông cân tại A, AQ là trung tuyến nên cũng là phân giác ⇒ AI là phân giác IC AC ngoài của ∆ABC ⇒= (2) IB AB 0,5 AC AH ∆ABC ∆⇒= HBA (3) 3 AB HB Từ (2) và (3) ta có: IC AH IB+ BC AH BC AH = ⇒ = ⇒+1 = 0,5 IB HB IB HB IB HB AH BC ⇒ −=1()dfcm HB IB 1. Xét tập T 1, 2, 3, 13  . Lập tất cả các tập con hai phần tử trong T sao cho 5 8. hiệu của hai phần tử đó là hoặc 1,0 2. Cho M là tập con của S 1, 2, 3, , 869 có tính chất hiệu hai số bất kỳ của M không là 5 hoặc 8. Hỏi M có nhiều nhất bao nhiêu phần tử ? Xét T = {1, 2, 3, , 13} có 13 tập con {1,6} {2,7} {3,8} {4,9} {5,10} {6,11} {7,12} {8,13} 1 0,25 {1,9} {2,10} {3,11} {4,12} {5,13} mà hiệu các phần tử của mỗi tập này chỉ là 5 hoặc 8. Đồng thời mỗi phần tử của T luôn nằm trong đúng 2 tập con như trên. Nếu N là 5 một tập con của T có ít nhất 7 phần tử thì mỗi phần tử của N sẽ nằm trong đúng 2 tập con trong 13 tập kể trên. Do đó 7 phần tử sẽ nằm trong 14 tập con. Vậy phải 0,25 có 2 phần tử trong 7 phần tử phải cùng nằm trong 1 tập con trong 13 tập kể trên, khi đó hiệu của 2 phần tử đó là 5 hoặc 8. 2 Do đó, nếu T’ là 1 tập con của T có tính chất như M thì T’ chỉ có nhiều nhất 6 phần tử, dễ thấy T’ = {1,2,4,5,8,11} có tính chất là 2 phần tử bất kỳ có hiệu không là 5 0,25 hoặc 8 và có 6 phần tử. Chú ý 869 chia 13 được thương 66 và dư 11 nên M sẽ có nhiều nhất 6*66 + 6 = 402 0,25 phần tử.