Đề kiểm tra CLB văn hóa và chọn đội tuyển học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Cầu Giấy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra CLB văn hóa và chọn đội tuyển học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2023-2024 - Trường THCS Cầu Giấy (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 9 VÀ CHỌN ĐỘI TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG II Môn kiểm tra: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian phát đề) Bài 1. (5,0 điểm) 2 3 57xx−+ 23 1. Cho biểu thứcA = +− : với x > 0, x ≠ 4.  x−2 2 x + 1 2 xx −− 3 2 5 x − 10 x a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên. 2222 2. Cho các số thực abc,, thỏa mãn 2a−+= 3 ab 2 b 1, b−+=342 bc c và 22 444 c+3 ca −= a 3. Tính giá trị của biểu thức Ba= ++ b c. Bài 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình 4x2 −= 9 5 xx + 6 + 1. 2. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (ab; ) thỏa mãn 71a 2 − chia hết cho 71ab − và ab2 ++2 là số chính phương Bài 3. (4,0 điểm) 1. Cho các số hữu tỉ xy, thỏa mãn x33−=−2 xy 2. y Chứng minh rằng xy= . 2. Cho các số thực không âm abc,, thỏa mãn abc++=4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P=3. a ++ ab abc Bài 4. (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. E là điểm bất kì thuộc đoạn OB, trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho OF= OC. Đường thẳng qua F vuông góc với FO cắt đường thẳng BD tại S. Kẻ FH vuông góc với BD (H∈ BD ). 1. Chứng minh ∆∆SFB∽ SDF và SB⋅=⋅ SD SH SO. 112 2. Chứng minh rằng FE là phân giác của BFD . Từ đó suy ra +=. BE222 DE EF 3. Kẻ ET vuông góc với FD tại T. Chứng minh rằng FO, AH và ST đồng quy. Bài 5. (1,0 điểm) 1. Xét tập T = {1, 2, 3, , 10} . Chỉ ra một tập con U có 4 phần tử của T thỏa mãn với mọi xy,,∈ U xy≠ thì xy+ không chia hết cho xy− . 2. Cho M là tập con chứa n phần tử của S = {1,2,3, ,2023} . Tìm n lớn nhất để mọi xy,,∈ M xy≠ thì xy+ không chia hết cho xy− . HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: .
2. PHÒNG GD & ĐT QUẬN CẦU GIẤY ĐÁP ÁN TRƯỜNG THCS CẦU GIẤY ĐỀ KIỂM TRA CLB VĂN HÓA LỚP 9 VÀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 VÒNG II ĐỀ CHÍNH THỨC Môn kiểm tra: Toán Ngày thi: 21/09/2023 Thời gian làm bài: 120 phút (Không tính thời gian phát đề) BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 2 3 57xx−+ 23 Cho biểu thứcA = +− : với x > 0, x−2 2 x + 1 2 xx −− 3 2 5 x − 10 x  1 x ≠ 4. 1,5 a. Rút gọn biểu thức A. 1,5 b. Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên. 2 3 57xx−+ 23 A = +− :  x−2 2 x + 1 2 xx −− 3 2 5 x − 10 x 22( xxx++ 1) 3( −− 2) ( 5 − 7) 5xx− 10 = . 1,5 ( xx−+22) ( 1) 23x + 23xx+ 52xx( − ) 5 = . = ( xx−+22) ( 1) 2321xx++ 1 Vìx>⇒0 5 xx > 0; 2 +>⇒ 1 0 A > 0 0,5 5xx−+ 32( 1) −−x 3 Mặt khác, xétA −=30= xA03 ⇒ < 21xx++ 21 0,5 Vậy 0 < A < 3 Do đó A nguyên A = 1 hoặc A = 2. 5x 11 A=⇔1⇔ =⇔ 15xx = 2 +⇔ 13 x =⇔ 1 x = ⇔ x = (thỏa 21x + 39 5 x mãn)A=⇔2 =⇔=2 5xx 2(2 +⇔=⇔=⇔= 1) x 2 x 2 x 4 0,5 21x + (loại) 1 VậyAx∈⇔= 9 2. Cho các số thực abc,, thỏa mãn 2a2−+= 3 ab 2 b 22 1; b −+= 3 bc 4 c 2 2 và 2 c22+33 ca −= a . 2,0 Tính giá trị của biểu thức Ba=444 ++ b c
3. BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Ta có : 2321a22−+= ab b 2321 a 22 −+= ab b  b22−+=⇔−+=→++−34 bc c 2 b 22 34 bc c 2 3333 a 222 b c( ab ++= bc ca ) 1 22+ − = −− 22 + =− c33 ca a c 3 ca a 3 22 2 ⇒a222 ++ b c − abbcca − − =⇔00( ab −) +−( bc) +−( ca) =⇔== a b c 0,5 2321a222−+= ab b a = 1  ⇒b22 −342 bc + c = ⇔ b 2 =⇒= 1 B 3 0,5 22+ −= 2 = c33 ca a c 1 2 Giải phương trình 4x2 −= 95 xx + 6 + 1 2,0 1 Đk: x ≥−1. 2 1,0 Pt ⇔(2xx + 1)2 =( 3 ++ 1 1) x = 3(TM)  TH1: 2xx+= 1 3 ++⇔ 11 3 0,5 x = − (TM)  4 TH2: 2xx+=− 1 3 +− 11 ⇔=−x 1(TM) 3 0,5 Vậy x ∈−−1; ; 3 4 Chú ý: có thể giải bằng cách đặt yx= +≥10 và đưa về phương trình bậc 4 phân tích được. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (ab; ) thỏa mãn:71a 2 − chia hết cho 71ab − 2,0 và ab2 ++2 là số chính phương Vì ab, là các số nguyên dương nên 71a 2 − và 71ab − là các số nguyên dương. Vì 0,5 7a2 −− 17 ab 1 nên 7a22−≥ 17 ab −⇒ 1 7 a ≥ 7 ab ⇒ a ≥ b . 2 2 −− − − Lại có: 717171a( ab) ( ab ) nên 77717a2 − ab ab −⇒ a( a − b) 71 ab −. mà (7a ,7 ab −= 1) 1 nên (a−− b)71 ab 0,5 . Nếu ab> thì a−≥ b7 ab −⇒ 1 a( 17 − b) +−≥ 1 b 0 điều này là vô lý do 0,5 1− 7bb < 0, 1 −< 0 vậy nên chỉ có thể xảy ra ab= .
4. BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM Ta cần tìm a để aa2 ++2 là số chính phương. Nếu a > 1 thì a22<++<++ aa2 a2 21 a nên aa2 ++2 không thể là số chính phương. 0,5 Với a = 1 thì aa22++=242 = là số chính phương. Vậy ab= = 1 là giá trị cần tìm 1 Cho các số hữu tỉ xy, thỏa mãn x33−=−2 xy 2. y Chứng minh rằng xy= . 2,0 Giả sử x≠⇒ y x22 + xy + y =2 0,5 ac xy=, = với abcd,,,∈== * ,(,)(,)1 ab cd bd 22 a ac  c 22 22 22 +⋅+  =⇔22a d + abcd + c b = b d b bd  d 0,5 (,)ab=⇒= 1 (, ax ) 1 u=( b , d ) ⇒= b ux , d = uy ,( x , y ) = 1. Có  =⇒= (,cd ) 1 (, cy ) 1 3 xy a22 y+ acxy += c22 x2 x 22 y ⇒ ⇒=xy ⇒==bdu yx ⇒++=a2 ac c 222 u Nếu a chia hết cho 2 thì c chia hết cho 2 và ngược lại 0,5 Nếu a và c cùng không chia hết cho 2 thì VT lẻ và VP chẵn, vô lý Vậy a và c cùng chia hết cho 2. Khi đó 2u22=++ a ac c 2 chia hết cho 4. Suy ra u chia hết cho 2. Điều này trái với (,au )= (,) ab = 1. 0,5 Vậy xy= Cho các số thực không âm abc,, thỏa mãn abc++=4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2,0 P=3. a ++ ab abc (ab 3 )22 (7 c ) P a(3 b ) abc abc abc 44 0,5 c2 2(2 ab 7) c 49 f ( c ) 2 P 44 Chứng minh nếu fx() là đa thức bậc hai với hệ số cao nhất dương và mxn 0,5 thì maxfx ( ) max fm ( ); fn ( ) Áp dụng: maxfc ( ) max f (0); f (4) 49; f (4) 0,5 f(4) 9 8 ab 92( a b )22 92(4 c ) 41
5. BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM max ff (0); (4) 49 0,5 49 71 P , khi abc , ,0 max 4 22 1 Ta có OF===⇒=° OC OB OD BFD 90 . 1,0 Suy ra SFB = SDF (cùng phụ với BFO = OBF ) ⇒ ∆SBF∽∆SFD (g.g) ⇒SB. SD= SF 2 1,0 Lại có: SH. SO= SF 2 (hệ thức lượng) ⇒ (đpcm) 1,0 1 1 Có OFD = FOB và OFE = FOA (góc ngoài tại đỉnh cân của tam giác cân) 4 2 2 1 1,0 Suy ra EFD = AOB =45 ° 2 2 Suy ra FE là phân giác BFD . EF22222 EF DF BF BD Suy ra +=+==2 (đpcm) 1,0 BE22222 DE BC BC BC Gọi I là giao của FO và ST. Từ câu a) ⇒ SFB =⇒= SDF SEF SFE ⇒=SE SF mà TE= TF (do ∆ ETF vuông cân) ⇒ TS trung trực EF mà I 0,5 thuộc ST ⇒ IFS = IES =90 ⇒ IE∥ FH 3 Xét hình thang AOHF (AO∥ FH ) FI HE FH AO = = (Talet CO∥ FH ) = IO EO OC FH 0,5 ⇒ AI,, H thẳng hang ⇒ đpcm
6. BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 1. Xét tập T = {1, 2, 3, , 10} . Chỉ ra một tập con U có 4 phần tử của T thỏa mãn với mọi xy,,∈ U xy≠ thì xy+ không chia hết cho xy− . 1,0 2. Cho M là tập con chứa n phần tử của S = {1,2,3, ,2023} . Tìm n lớn nhất để mọi xy,,∈ M xy≠ thì xy+ không chia hết cho xy− . 1 U = {1, 4, 7, 10} 0,25 Xét M = {3k + 1 với k = 0, 1, 2, , 674 thì A là tập con của S và A có 675 phần tử. Dễ thấy hiệu 2 số bất kỳ của A là bội của 3 còn tổng của 2 số bất kỳ của M không 0,25 5 chia hết cho 3. Do đó với 2 số bất kỳ trong M thì tổng của chúng không chia hết cho hiệu của chúng. Xét N là tập con của S có ít nhất 676 phần tử. Chia S thành 675 tập con như sau {1, 2, 3} {4, 5, 6} {2020, 2021, 2022} {2023}. Khi đó sẽ có ít nhất 2 phần tử của N, 0,25 2 giả sử là a và b, thuộc 1 trong các tập con 3 phần tử kể trên. Chú ý rằng hiệu 2 phần tử bất kỳ trong mỗi tập 3 phần tử kể trên không lớn hơn 2. Vậy ta có a – b = 1 hoặc 2. Nếu a – b = 1 thì a + b chia hết cho a – b, nếu a – b = 2 thì a và b cùng tính chẵn lẻ nên a + b chẵn và chia hết cho a – b. Vậy N không thỏa 0,25 mãn yêu cầu bài toán. Do đó n lớn nhất = 675.