Đề kiểm tra học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Huyện Đức Phổ - Đề số 14 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Huyện Đức Phổ - Đề số 14 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 14. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Câu 1: (4,0 điểm) 7 3 3 2 7 9 3 .5 : 5 4 16 1. Thực hiện phép tính: A . 27 .5 2 512 x 16 y 25 z 9 2. Cho và 2x 3 1 15. Tính B x y z. 9 16 25 Câu 2: (4,0 điểm) 3 3 1. Tìm x, y biết: x x y và y x y . 10 50 1 2. Tìm x biết: x 3 x 0. 2 Câu 3: (5,0 điểm) 7n 8 1. Tìm số tự nhiên n để phân số có giá trị lớn nhất. 2n 3 2. Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Biết rằng, p x 5 với mọi x nguyên. Chứng minh rằng a, b, c, d đều chia hết cho 5. The linked image cannot be displayed. The file may have been mov ed, renamed, or deleted. Verify that the link points to the correct file and location. 3. Gọi a, b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: Câu 4: (5,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D (D khác B, C). Trên tia đối của tia CB, lấy điểm E sao cho CE = BD. Đường vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M. Đường vuông góc với BC kẻ từ E cắt đường thẳng AC tại N, MN cắt BC tại I. 1. Chứng minh DM = EN. 2. Chứng minh IM = IN, BC < MN. 3. Gọi O là giao của đường phân giác góc A và đường thẳng vuông góc với MN tại I. Chứng minh rằng BMO CNO . Từ đó suy ra điểm O cố định. Câu 5: (2,0 đ) Cho các số thực dương a và b thỏa mãn a100 b 100 a 101 b 101 a 102 b 102 Hãy tính giá trị của biểu thức: P a2014 b 2015. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung Điểm 7 3 3 7 3 2,0 2 7 9 3 2 9 3 .5 : .5 : 6 3 5 4 16 5 4 16 27 12 3 2 2 3 1 1. A . 27 .5 2 512 2 7 .5 2 2 7 .2 2 2 7 .5 2 2 7 .2 2 27 5 2 2 2 2 2. Ta có: 2x3 1 15 2 x 3 16 x 3 8 x 3 2 3 x 2. 0,5 18y 25 z 9 1 Suy ra: 9 16 25 0,25 (4,0đ) 18y 25 Do đó, ta có: y 25 32 y 57. 9 16 0,5 18z 9 z 9 50 z 41. 9 25 0,5 Vậy B x y z 2 57 41 100. 0,25 1. Trừ từng vế hai đẳng thức đã cho ta được: 2 3 3 92 3 0,75 xxyyxy xyxy xy 10 50 25 5 3 Suy ra: x y . 0,25 5 3 1 1 Thay x y vào hai đẳng thức đã cho ta được x ;. y 5 2 10 0,5 2 3 1 1 Thay x y vào hai đẳng thức đã cho ta được x ;. y 5 2 10 (4,0đ) 0,5 1 1 0,25 2. Từ x 3 x 0 suy ra x – 3 và x cùng dấu. 2 2 1 Dễ thấy x 3 x nên ta có: 0,5 2 0,5 1 x – 3 và x cùng dương x 3 0 x 3 2 0,5 1 1 1 x – 3 và x cùng âm x 0 x 2 2 2
3. 1 0,25 Vậy x 3 hoặc x 2 7n 82 7n 8 7 2 n 3 5 7 5 1. Ta có: . 2n 32 2n 3 2 2 n 3 2 2 2 n 3 0,75 5 Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất. 2 2n 3 0,25 Từ đó suy ra: n 2. 0,75 Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi n 2. 0,25 2. Vì p x 5 với mọi x nguyên nên p 0 d 5 0,25 p(1) a b c d 5 (1) 0,25 0,25 p( 1) a b c d  5 (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra 2(b d ) 5 và 2(a c ) 5 0,25 3 Vì2 b d  5 , mà 2;5 1 nên b d5 b  5 0,25 (5,0đ) p 2 8 a 4 b 2 c d  5 mà d 5;b  5 nên 8a 2 c 5. 0,25 Kết hợp với 2(a c ) 5 6 a  5 a  5 vì 6;5 1 . Từ đó suy ra c5 Vậy a, b, c, d đều chia hết cho 5. 0,25 a a a a 3. Vì a b c nên 1 . (1) b c b c b c a 0,25 b b b b Tương tự, ta có: 1 . (2) c a c a c a b 0,25 c c c c 1 . (3) a b a b a b c a b c2 a 2 b 2 c 0,25 Từ (1), (2) và (3) suy ra: 2. b c c a a b a b c 0,25
4. A M I C E B D N O 1. Tam giác ABC cân tại A nên ABC ACB; NCE ACB ; (đối đỉnh) 0,75 Do đó: MDB NEC( ) g c g DM EN . 0,75 4 2. Ta có MDI NEI( ) g c g MI NI 0,5 (5,0đ) Vì BD CE nênBC DE . Lại có DI MI, IE IN nên DE DI IE MI IN MN 0,75 Suy ra BC MN. 0,25 3) Ta chứng minh được: ABO ACO( ),. c g c OC OB ABO ACO 0,75 MIO NIO( ). c g c OM ON Ta lại có: BM CN. Do đó BMO CNO( ) c c c 0,5 MBO NCO , Mà: MBO ACO suy ra NCO ACO , mà đây là hai góc kề bù nên CO AN. 0,5 Vì tam giác ABC cho trước, O là giao của phân giác góc A và đường vuông góc với AC tại C nên O cố dịnh. 0,25 Ta có đẳng thức: a102 b 102 a 101 b 101 a b ab a 100 b 100 với mọi a, b. 0,5 5 100 100 101 101 102 102 (2,0đ) Kết hợp với: a b a b a b 0,5
5. Suy ra: 1 a b ab a 1 b 1 0. 0,5 a 1 1 b100 1 b 101 1 b 102 b 1 b 1 1 a100 1 a 101 1 a 102 a 1 0,5 Do đó P a2014 b 2015 1 2014 1 2015 2. - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.