Đề kiểm tra học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Huyện Đức Phổ - Đề số 15 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Huyện Đức Phổ - Đề số 15 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 15. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: (4,0 điểm). 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức A = 2 3,5 : 4 3 +7,5 3 6 7 2.84 .27 2 4.6 9 b) Rút gọn biểu thức: B = 27 .6 7 2 7 .40.9 4 c) Tìm đa thức M biết rằng: M 5 x2 2 xy 6 x 2 9 xy y 2 . 2012 2014 Tính giá trị của M khi x, y thỏa mãn 2x 5 3 y 4 0 . Bài 2: (4,0 điểm). 1 1 1 a) Tìm x : x 2 5 3 b) Tìm x, y, z biết: 2x 3 y ; 4y 5 z và x y z 11 n 1 n 11 c) Tìm x, biết : x 2 x 2 (Với n là số tự nhiên) Bài 3: (4,0 điểm). a) Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm. b) Tìm x, y nguyên biết : 2xy x y 2  Bài 4: (6,0 điểm). Cho tam giác ABC (AB AC , B 60 ). Hai phân giác AD và CE của ABC cắt nhau ở I, từ trung điểm M của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác AI tại H, cắt AB ở P, cắt AC ở K. a) Tính AIC b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = 4 cm. c) Chứng minh IDE cân. Bài 5: (2.0 điểm) Chứng minh rằng 10 là số vô tỉ. Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Điểm Câu a: (1 điểm) 1 1 1 A 2 3,5 : 4 3 7,5 3 6 7 0.5 đ 7 7 25 22 15 : 3 2 6 7 2 35 43 15 : 0,5đ 6 42 2 245 15 490 645 155 43 2 86 86 86 Câu b: ( 1 điểm) 2.84 .27 2 4.6 9 0,5đ B= 27 .6 7 2 7 .40.9 4 213 .3 6 2 11 .3 9 = Bài 1 214 .3 7 2 10 .3 8 .5 . (4,0đ) 0.5 11 6 2 3 2 .3 . 2 3 2 = = 210 .3 7 . 2 4 3.5 3 Câu c: (2 điểm) 2 2 2 M 5 x 2 xy 6 x 9 xy y 0.5 M 6 x2 9 xy y 2 5 x 2 2 xy 0,5 M 6 x2 9 xy y 2 5 x 2 2 xy x 2 11 xy y 2 2012 2014 Ta có 2x 5 3 y 4 0 0.25 2012 2x 5 0 2012 2014 Ta có : 2014 2x 5 3 y 4 0 3y 4 0 0.5 2012 2014 2012 2014 Mà 2x 5 3 y 4 0 2x 5 3 y 4 0
3. 2012 1 1 0.25 2x 5 0 x 2 x 2 2 2 => 2014 . Vậy 3y 4 0 1 1 y 1 y 1 3 3 2 2 5 5 4 4 25 110 16 1159 Vậy M 11 2 2 3 3 4 3 9 36 1 1 1 x 2 5 3 1 1 1 x 5 2 3 0,25đ 1 1 x 2. 5 6 (1,0đ) 1 1 1 TH1: x x 5 6 30 0,25đ 1 1 1 1 11 TH2: x x 5 6 6 5 30 0,25đ 1 11 Vậy x ; x 0,25đ 30 30 x y x y 0.25đ Ta có : 2x 3 y suy ra hay 3 2 15 10 y z y z 4y 5 z suy ra hay 5 4 10 8 x y z b. Vậy 15 10 8 0.5đ (1,5đ) Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau x y z x y z 11 1 0.5đ = = 15 10 8 15 10 8 33 3 10 8 Suy ra x 5, y , z 0.25 3 3
4. (x 2)n 1 ( x 2) n 11 (x 2)n 1 ( x 2) n 11 0 0.25 (x 2)n 1 1 ( x 2) 10 0 n 1 c TH 1: (x 2) 0 suy ra x 2 0.5 1,5 TH2: 1 (x 2)10 0 điểm (x 2)10 1 0.25  x 2 1 suy ra x 1  x 2 1 suy ra x 3 Vậy x 2; x 1; x 3 0.5 Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x, y,z ( cm) ( x,y,z > 0) 0,25 đ Theo bài ra ta có : x y z 13 và 2x 3 y 4 z 2 SABC x y z 0,75 đ a Suy ra 6 4 3 (2.0đ) Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau x y z x y z 13 0,75 = 1 6 4 3 6 4 3 13 0.25 Bài 3 suy ra x 6; y 4 ; z 3 KL: (4.0đ) 2xy – x – y 2 4xy 2 x 2 y 4 0,5 đ 2x 2 y 1 2 y 1 5 b. 2y 1 2 x 1 5 0,5 đ (2,0đ) HS xét 4 trường hợp tìm ra x , y 1;3;3;1; 2;0;0; 2  ( Mỗi trường hợp đúng cho 0.25 đ) 1 đ Vậy x , y 1;3;3;1; 2;0;0; 2 
5. Bài 4 (6.0đ) a/ Ta có ABC 60 suy ra BAC BCA 120 0.5đ 1 AD là phân giác của BAC suy ra IAC BAC 2 0.5đ 1 1 CE là phân giác của ACB suy ra ICA BCA 2 (2.0đ) 0.5đ 1 Suy ra IAC ICA  120 60 2 0.25đ 0.25đ VâyAIC 120 b/ Xét AHP và AHK có PAH KAH ( AH là phân giác của BAC ) 0.5 đ AH chung 2 PHA KHA 90 0,5 đ AHP  AHK PH KH (2đ) Suy ra (g-c-g) suy ra ( 2 cạnh tương ứng). Vậy HK 3 cm Vì AHK vuông ở H theo định lý Pitago ta có 0.5 AK2 AH 2 HK 2 4 2 3 2 25 0.25 Suy ra AK 5 cm 0.25 c Vì AIC 120 (2.0đ)
6. Do đó AIE DIC 60 0,25 đ Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AF AE 0,5 đ Xét EAI và FAI có AE AF EAI FAI AI chung Vậy EAI FAI (c-g-c) 0.25 suy ra IE IF (hai cạnh tương ứng) (1) AIE AIF 60 suy ra FIC AIC AIF 60 0.5 Xét DIC và FIC có DIC FIC 60 ; Cạnh IC chung; DIC FCI 0.25 Suy ra DIC FIC ( g-c-g) Suy ra ID IF (hai cạnh tương ứng) (2) 0.25 Từ (1) và (2) suy ra IDE cân tại I Bài 5 Giả sử 10 là số hữu tỷ 0.25đ (2,0đ) a 0.5đ 10 ( a,b là số tự nhiên , b khác 0 ; a; b 1 ) b 0.25đ a 2 10 Suy ra a2 10 b 2 b2 0.25đ a 2 a2 4 10b 2  4 b 2  2 b  2 0.5đ Vậy (a;b) 1 trái giả sử. Nên 10 là số vô tỷ 0.25đ - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.