Đề kiểm tra học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Huyện Đức Phổ - Đề số 5 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Huyện Đức Phổ - Đề số 5 (Có đáp án)

1. ĐỀ SỐ 5. ĐỀ HSG CẤP HUYỆN Bài 1: (4 điểm) Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 3n 2 2 n 2 3 n 2 n chia hết cho 10. Bài 2: (3điểm) Cho 2 đa thức :P x 1 x x2 x 3 x 4 x 2009 x 2010 và 2 3 4 2009 2010 1 1 Q x 1 x x x x x x . Giá trị của biểu thức PQ có dạng 2 2 a biểu diễn hữu tỉ là ; a,b ; a,b là 2 số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh a5 b Bài 3: (3 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau: 2abcdabcdabcdabcd 2 2 2 a b c d a b b c c d d a Hãy tìm giá trị của biểu thức: M c d d a a b b c Bài 4: (4điểm) a b c Cho M với a, b, c > 0. a b b c c a a) Chứng minh M 1. b) Chứng tỏ rằng M không phải là số nguyên. Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CE BD . Gọi I là trung điểm của DE. chứng minh ba điểm B, I, C thẳng hàng. Bài 6: (2,5 điểm)  Cho ABC cân tại A, có A 100  , tia phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Chứng minh: AD BD BC . Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án Điểm n 2 n 2 n n n 2 n n 2 n 3 2 3 2 3 3 2 2 1,0đ n n m) 10.3 5.2 1,5đ ể Vì n nguyên dương nên 2n 2 5.2 n  10 và 10.3n  10 1,0đ 1(4đi Vậy: 3n 2 2 n 2 3 n 2 n  10 0,5đ 3 5 2009 1 1 1 1 1 1 Đặt APQ 2 ( 1) 2 2 2 2 2 2 3 2007 1 1 1 suy ra 4A 10 (2) 2 2 2 1 2009 8 2009 2012 1 2 1 a Từ ( 1) và ( 2) suy ra 3AA 8 2 2009 m) 2 3 3.2 b ể 3,0đ ( 2 điểm) 2 (3đi Ta thấy: 22012 1 4 1006 1 3 ; 22012 – 1 và 22009 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên 22012 – 1 3a . 3a 22012 1 16 503 1 . Vì 16503 có chữ số tận cùng là 6 nên 3a có chữ số tận cùng là 5 suy ra số này chia hết cho 5. 3,5 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên a5 . 2abcdabcdabcdabcd 2 2 2 Từ a b c d 2a b c d a 2 b c d => 1 1= 1,0đ a b m) ể a b 2 c d a b c 2 d 1 1 c d 3 (3đi abcdabcdabcdabcd => 0,5đ a b c d Nếu a b c d 0 thì a b c d , khi đó: M 1 1 1 1 4 0,5đ
3. Nếu a b c d 0 thì a b c d ; b c d a ; c d a b ; d a b c . 1,0đ Khi đó: M 1 1 1 1 4. a a b b c c a) Vì a, b , c 0 nên: ;; 1,0đ ababcbcabccaabc a b c a b c => M 1 a b b c c a a b c 1,0đ Vậy: M 1 (1) a b c b c a b) Mà: + a b b c c a a b b c a c m) ể 1,0đ a b b c c a = = 3 4 (4đi abab bcbc caca b c a Vì > 1 (tương tự câu a) a b b c a c 0,5đ a b c Suy ra: M = 2 . (2) a b b c c a Từ (1) và (2) suy ra: 1 M 2 nên M không phải là số nguyên. 0,5đ Học sinh vẽ hình đúng A m) ể D 0,5đ 5 (3,5 đi B C F I E
4. Kẻ DF// AC (F thuộc BC) DFB ACB (2 góc đồng vị) 1,5đ Mà ABC ACB (tam giác ABC cân) DFB ABC DBF cân tại D DB DF , mà DF CE (gt) 0,5đ DF CE IDF IEC (c-g-c) 0,5đ DIF EIC Vậy: 3 điểm B, I, C thẳng hàng (vì 3 điểm D, I, E thẳng hàng) 0,5đ HS vẽ hình đúng A D 0,5đ C B E F Trên cạnh BC lấy 2 điểm E,F sao cho: m) ể BE BA vàBF BD . 0,5đ HS chứng minh được: AD DE 6 (2,5 đi HS chứng minh được: DFE cân tại D 0,5đ Suy ra: DE DF HS chứng minh được: DFC cân tại F Suy ra:DF FC . 1,0đ Suy ra: DE FC Suy ra: AD BD BC. - Một bài toán có thể có nhiều cách giải khác nếu đúng và phù hợp đều đạt điểm tối đa. Giám khảo cần thảo lụân, thống nhất đáp án và biểu điểm trước khi chấm.