Đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Cảnh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Trường THCS Cảnh Hóa (Có đáp án)

1. PHÒNG GD& ĐT QUẢNG TRẠCH ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA Môn: Toán Năm học 2018-2019 Thời gian: 90 phút(không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 điểm). x 2 1 10 x2 Cho biểu thức: A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 1 a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết x = . 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. Bài 2 (2,0 điểm). Giải các phương trình sau: 2 1 1 1 1 a.b) (6x 8)(6x 6)(6x 7) 72 b. x 2 9x 20 x 2 11x 30 x 2 13x 42 18 Câu 3. (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. a. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. b. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF. 1 1 1 c. Chứng minh rằng: = + . AD2 AM2 AN2 Câu 4. (1,5 điểm) Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn abc 1. Chứng minh rằng : 1 1 1 3 . a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Bài 5 (1,0 điểm). Cho an = 1+2+3+ + n. Chứng minh rằng an + an+1 là một số chính phương. Họ và tên thí sinh: . Số báo danh .
2. PHÒNG GD&ĐT QUẢNG TRẠCH HƯỚNG DẪN CHẤM TRƯỜNG THCS CẢNH HÓA ĐỀ KIỂM TRA HSG NĂM HỌC: 2018 -2019 Môn:Toán Lớp: 8 Bài Nội dung Điểm Bài 1 Biểu thức: (2,0đ) x 2 1 10 x2 A 2 : x 2 x 4 2 x x 2 x 2 a 1 0.75 Rút gọn được kết qủa: A (0.75) x 2 b 1 1 1 2 2 0.5 x x hoặc x A= hoặc A= (0.5) 2 2 2 3 5 c A 0 x >2 0.25 (0.25) 1 d A Z Z x-2 Ư(-1) x-2 { -1; 1} 0,5 (0.75) x 2 x {1; 3} 2 Bài2 (6x 8)(6x 6)(6x 7) 72 Đặt 6x 7 t. Ta có (t 1)(t 1)t 2 72 (t 2 1)t 2 72 t 4 t 2 72 0 0.25 (2,0đ ) t 4 9t 2 8t 2 72 0 t 2 (t 2 9) 8(t 2 9) 0 (t 2 9)(t 2 8) 0 0.25 a 2 5 Mà t 2 8 0 nên t 2 9 0 t 2 9 t 3 x hoặc x . 0.25 (1.0) 3 3 2 5 PT có nghiệm là x ;  . 0.25 3 3  2 2 b x +9x+20= ( x+4)( x+5) ; x +11x+30 = ( x+6)( x+5) ; x2+13x+42 = ( x+6)( x+7) ; (0,25 điểm) (1.0) ĐKXĐ : x 4;x 5;x 6;x 7 Phương trình trở thành : 0.25 1 1 1 1 (x 4)(x 5) (x 5)(x 6) (x 6)(x 7) 18 1 1 1 1 1 1 1 x 4 x 5 x 5 x 6 x 6 x 7 18 0.25 1 1 1 x 4 x 7 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 0.25 Từ đó tìm được x=-13; x=2; 0.25
3. E A B H F 0.5 C Câu 3 D M (3.5) N a (1.0) Ta có D· AM = A· BF (cùng phụ B· AH ) AB = AD ( gt) 0.25 B· AF = A· DM = 900 (ABCD là hình vuông) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên. AE = DM 0.25 Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành 0.25 Mặt khác. D· AE = 900 (gt) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) AB BH BC BH 0.25 = hay = ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH Lại có H· AB = H· BC (cùng phụ A· BH ) b 0.25 ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) (1.0) 2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 2 = , mà = 4 (gt) = 4 nên BC = (2AE) SΔEAH AE SΔEAH AE 0.25 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.25 Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN 0.25 = = CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: MN MC AB MC AD MC 0.25 = = hay = c AN AB AN MN AN MN (1.0) 2 2 2 2 2 2 2 AD AD CN CM CN + CM MN + = + = 2 = 2 = 1 AM AN MN MN MN MN 0.25 (Pytago) 2 2 AD AD 1 1 1 + = 1 2 2 2 (đpcm) 0.25 AM AN AM AN AD Câu 4 Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c R và x, y, z > 0 ta có
4. 2 (1.5) a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra x y z Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy a b 2 bx ay 2 0 (luôn đúng) a b Dấu “=” xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ( ) ta có 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z 0.5 a b c Dấu “=” xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 2 0.25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac) 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 0.25 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 0.25 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy (đpcm) 0.25 a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Ta có an+1= 1 +2 +3 + + n + n + 1 0.5 Bài 5 an+ an+1 = 2(1+ 2 + 3 + + n) + n + 1 (1.0) n(n 1) = 2. +n+1 = n2 +2n+1=(n+1)2 là một số chính phương 0.5 2 HẾT