Đề Olympic Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Quốc Oai (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề Olympic Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Quốc Oai (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI ĐỀ OLIMPIC TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2022 - 2023 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề gồm có 01 trang) Họ và tên: SBD: Bài 1 (4,5 điểm) 1/ Hiệu bình phương của 2 số tự nhiên liên tiếp bằng 25. Tìm 2 số ấy. 2/ Tìm x biết: (x – 2 )(x + 2)(x2 – 10) = 72 3/ Tìm x và y biết xy = 18 và x2y + xy2 + x + y = 171. Bài 2 (4,5 điểm) 4x23 8x x 1/ Cho A = +−2 :2 với x ≠ ±2; x ≠ 4. 2x+− 4x x2 − 1 Rút gọn A và tìm giá trị lớn nhất của với x > 0 A 2/ Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa mãn P(2) = 10 và P2(−=−) 6. Tìm đa thức P(x) biết đa thức P(x) chia cho đa thức x42 − được thương là (2x + 6) và còn dư Bài 3 (2 điểm) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B, khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ cùng ngày và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h, 35 km/h, 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy? Bài 4 (3 điểm) xy− 1/ Cho 3x22+= 3y 10xy và y > x > 0. Tính giá trị của biểu thức A = xy+ 2/ Tìm số abcd sao cho abcd ab.cd Bài 5 (6 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, AC cắt BD tại O, trên đoạn OD lấy điểm P bất kỳ. Gọi M là điểm đối xứng với C qua P. a/ Tứ giác AMDB là hình gì? b/ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD, AB. Chứng minh: EF // AC và 3 điểm E, F, P thẳng hàng. c/ Chứng minh: Tỉ số các cạnh của hình chữ nhật AEMF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P trên OD. PD 9 d/ Giả sử CP ⊥ BD, CP = 2,4 cm và = . Tính các cạnh của hình chữ nhật PB 16 ABCD Cán bộ coi kiểm tra không giải thích gì thêm.
2. PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KÌ THI OLIMPIC Năm học 2022 - 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 Câu Phần Nội dung Điểm 1 1 Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là a, b (a, b∈N, a > b) (4.5đ) (1.5đ) Khi đó: a – b = 1 0,25 và a2 – b2 = 25 ⇒ (a – b)(a + b) = 25 0,25 Mà a – b = 1 nên a + b = 25 0.5 ⇒ a = (25 + 1) : 2 = 13, b = 13 – 1 = 12 0.25 Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 12 và 13 0.25 2 (x – 2 )(x + 2)(x2 – 10) = 72 (1.5đ) ⇒ (x2 – 4 )(x2 – 10) = 72 0.25 ⇒ (x2 – 7 + 3 )(x2 – 7 – 3) = 72 0.25 ⇒ (x2 – 7)2 – 9 = 72 0.25 ⇒ (x2 – 7)2 = 81 0.25 + x2 – 7 = 9 ⇒ x2 = 16 ⇒ x = ± 4 + x2 – 7 = - 9 ⇒ x2 = - 2 (không tồn tại x) 0.5 Vậy: x = ± 4 3 Tìm x và y biết xy = 18 và x2y + xy2 + x + y = 171 (1.5đ) x2y + xy2 + x + y = 171 ⇒ xy(x + y) + (x + y) =171 ⇒ (x + y)(xy + 1) =171⇒ (x + y)(18 + 1) =171 ⇒ x + y = 171 : 19 = 9 0.5 ⇒ y = 9 – x thay vào xy = 18 ta có x(9 – x) = 18 ⇒ x2 – 9x + 18 = 0 ⇒ x2 – 3x – 6x + 18 = 0 0.5 ⇒ x(x – 3) – 6(x – 3) = 0 ⇒ (x – 3)(x – 6) = 0 x30−= x3 =⇒ y6 = ⇒⇒ x60−= x6 =⇒= y3 Vậy: (x, y) = (3, 6), (6, 3) 0.5 2 (4đ) 1 4x23 8x x 1/ Cho A = +−2 :2 với x ≠ ±2; x ≠ 4. (2.5đ) 2x+− 4x x2 − 1 Rút gọn A và tìm giá trị lớn nhất của với x > 0 A
3. 4x23 8x x A = +−2 :2 với x ≠ ±2; x ≠ 3 2x+− 4x x2 − 2 1 2x x−+ 2x 4 A= 4x  − : 0,5 2x+( x2x2 −+)( )  x2 − x22xx2−− − A= 4x2 . . 0,5 (x2x24x−+−)( ) 4x2 A = x4− 4x2 Vậy với x ≠ ±2; x ≠ 4 thì A = 0,5 x4− 1 x4− 11 ⇒ 0,25 Khi x > 0; x ≠ 2; x ≠ 4 = 2 = − 2 A 4x 4x x 2 1 11 1 1 0,25 ⇒ =−−+≥ A x 8 64 64 Dấu “=” xảy ra x = 8 0.25 1 1 0,25 Vậy GTNN của là đạt được x = 8 A 64 2 (2đ) 2) Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên thỏa mãn P(2) = 10 và P2(−=−) 6. Tìm đa thức P(x) biết đa thức P(x) chia cho đa thức x42 − được thương là (2x + 6) và còn dư Vì đa thức chia là x2 – 4 nên đa thức dư có dạng: ax + b 0,5 Khi đó ta có: P(x) = (x2 – 4)(2x + 6) + ax + b Vì P(2) = 10 ⇒ 2a + b = 10 ⇒ b = 10 – 2a 0,5 ⇒ P(x) = (x2 – 4)(2x + 6) + ax + 10 – 2a 0,5 Vì P( - 2) = - 6 ⇒ −+−2a 10 2a =− 6 ⇒ a = 4 ⇒ b = 2 2 Vậy đa thức P(x) = (x− 4)( 2x ++ 6) 4x + 2 0,5
4. 3 (2đ) Một xe đạp, một xe máy và một ô tô cùng đi từ A đến B, khởi hành lần lượt lúc 5 giờ, 6 giờ, 7 giờ cùng ngày và vận tốc theo thứ tự là 15 km/h, 35 km/h, 55 km/h. Hỏi lúc mấy giờ thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy? Gọi thời gian từ lúc ô tô xuất phát đến lúc ô tô cách đều xe đạp và xe máy là: x (x > 0, giờ). 0,25 Khi đó: xe đạp đã đi trong x + 2 (giờ), xe máy đã đi trong x + 1 (giờ) Thời điểm đó, quãng đường đi được của xe đạp, xe máy, ô tô lần 0,25 lượt là: (x + 2)15 km, (x + 1)35 km và 55x km. Lúc đó: Khoảng cách từ ô tô đến xe máy bằng: (x + 1)35 – 55x và 0.25 Khoảng cách từ xe đạp đến ô tô bằng: 55x - (x + 2)15 Khi ô tô cách đều xe đạp và xe máy tức là khoảng cách từ ô tô đến 0,25 xe máy bằng khoảng cách từ xe đạp đến ô tô nên ta có phương trình: (x + 1)35 – 55x = 55x - (x + 2)15 0,5 Giải pt được x = 13/12 = 1h05p Trả lời: Lúc 8h05’ thì ô tô cách đều xe đạp và xe máy 0.5 4 1 1/ Cho 3x22+= 3y 10xy và y > x > 0. Tính giá trị của biểu thức A = 3đ (1.5đ) xy− xy+ Ta có 3x2 + 3y2 = 10xy ⇒ 3(x + y)2 = 16xy 0.25 3x2 + 3y2 = 10xy ⇒ 3(x - y)2 = 4xy 0.25 2 xy− 2 (xy− ) 4xy 1 A = ⇒ A = 2 = = 0.5 xy+ (xy+ ) 16xy 4 1 1 Mà y > x > 0 ⇒ A < 0 và A2 = ⇒ A = − 0.5 4 2 Hoặc biến đổi 3x2 + 3y2 - 10xy = 0 10 y 3(x22− xy + y ) =⇔− 0 3(x 3y)(x −= ) 0 33 Lập luận để có y = 3x thay vào A và tình được A = -1/2 2 Tìm số abcd sao cho abcd ab.cd (1.5đ) ab= m, cd = n (10 ≤< m,n 100) ⇒=abcd 100m + n; ab.cd = mn ⇒+100m n mn ⇒+⇒⇒= 100m n  m n m n km 0.25
5. n 100 100 Do 0<< n 100, m ≥⇒=< 10 k ≤ =⇒<<10 0 k 10 m m 10 = + ⇒+ ⇒+ ⇒ Thay n km :100m km m.km 100 k  km 100 k  k 100 k 0<< k 10 ⇒∈ k{} 1;2;4;5 0.25 * k=⇒=⇒ 1 m n 101m m2 ⇒ 101 m ⇒ Không tồn tại m do 9 < m < 100 và 101 là số nguyên tố 2 * k=⇒= 2 n 2m ⇒ 102m 2m ⇒ 51 m ⇒ m ∈{} 17,51 +m = 17 ⇒= n 34 ⇒ abcd = 1734 0.25 +m = 51 ⇒= n 102 (loại vì n < 100) 2 * k=⇒= 4 n 4m ⇒ 104m 4m ⇒ 26 m ⇒ m ∈{} 13,6 +m = 13 ⇒= n 52 ⇒ abcd = 1352 +m = 26 ⇒= n 104 (loại vì n < 100) 0.25 * k=⇒= 5 n 5m ⇒ 105m 5m2 ⇒ 21 m ⇒ m = 21 0.25 ⇒=n 105 (loại vì n < 100) Vậy: abcd∈{} 1734,1352 0.25 a F M (1,5đ) I A D E 0.25 P O B C Cho hình chữ nhật ABCD, AC cắt BD tại O, trên đoạn OD lấy điểm P bất kỳ. Gọi M là điểm đối xứng với C qua P. a/ Tứ giác AMDB là hình gì? Vì ABCD là hcn nên OA = OC Mà: PC = PM (gt) 0.25 ⇒ OP là đường trung bình của ∆CAM ⇒ OP // AM hay AM // BD 0.5 ⇒ AMDB là hình thang 0.5 b b/ Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AD, AB. (2đ) Chứng minh: EF // AC và 3 điểm E, F, P thẳng hàng. Gọi I là giao điểm của AM và EF
6. ABCD là hcn nên OA = OB ⇒ OBA = OAB (1) 0.25 AEMF là hcn nên IA = IF ⇒ IAF = IFA (2) 0.25 Vì AM // BD nên IAF = OBA (3) 0.25 Từ (1), (2) và (3) ⇒ IAF = OBA ⇒ FE / / AC(4) 0.5 Mà: IA = IM; PC = PM ⇒ IP // AC (5) 0.25 Do F, I, E thẳng hàng nên từ (4) và (5) ⇒ E, F, P thẳng hàng 0.5 c (1đ) c/ Chứng minh: Tỉ số các cạnh của hình chữ nhật AEMF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P trên OD. Ta có: EF // AC ⇒ AFE = BAC 0.25 AF BA Và chỉ ra ∆AFE đồng dạng với ∆BAC ⇒ = AE BC 0.5 BA AF Mà không đổi nên không phụ thuộc vào vị trí của P BC AE 0.25 d PD 9 d/ Giả sử CP ⊥ BD, CP = 2,4 cm và = . Tính các cạnh của (1.5đ) PB 16 hình chữ nhật ABCD Do CP ⊥ BD và BC ⊥ CD ⇒ PCD = DBC (cùng phụ với DBC ) DP PC 2 ⇒ ∆CPD đồng dạng với ∆BPC ⇒ =⇒=PC PB.PD (*) 0,5 PC BP PD 9 PD PB Theo gt: = ⇒ = =k( k >⇒ 0) PD = 9k;PB = 16k PB 16 9 16 Thay CP = 2,4 = 12/5 và PD = 9k, PB = 16k vào (*) ta có: 2 12 2 1 9 16 =9k.16k = (12k) ⇒= k( k > 0) ⇒ PD = ;PB = 0,5 5 5 55  22 2 22212 16 4.5  2 BC= CP + PB = + =  =⇒=4 BC 4 55 5  22 2 22212   9  3.5  2 CD= CP + PD =  +  =   =⇒=3 CD 3 55    5  Vậy: Các cạnh của hình chữ nhật ABCD bằng 3 cm và 4 cm 0.5