Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Đan Phượng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Đan Phượng (Có đáp án)

1. PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN ĐAN PHƯỢNG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN Đề số 12 Câu 1. (5,0 điểm) 221842xxxxx542−−+−+ 11− 1) Cho biểu thức P =+ với xx ; 4181xx23−+22 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm x để P 0 2) Cho các số a, b, c thỏa mãn abc222+ + = 9. Tính giá trị biểu thức: Aabcbcacab=+−++−++−+(22)(22)(22)19222 Câu 2. (4,0 điểm) Giải các phương trình sau: 22 1) (220214520204xxxxxxxx2222+−+−−=+−−−) 2202152020( ) ( )( ) 2) 4411025714xxxxx22−++++=− Câu 3. (3,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n22 + là ước của n6 1 4+ . 2) Chứng minh rằng nếu m là số nguyên tố lớn hơn 3 thì số A= 3n − 1 + 2020m2 là hợp số với mọi số tự nhiên n . Câu 4. Cho hình vuông A B C D có cạnh bằng a . N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB . Gọi E là giao điểm củaCN và DA . Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F . Lấy M là trung điểm của EF . 1) Chứng minh =EDCFBC và CM vuông góc với EF . 2) Chứng minh CE2 = FB. FN và ba điểm B, D, M thẳng hàng. 3) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích tứ giác AEFC gấp ba lần diện tích hình vuông A B C D . Câu 5. (2,0 điểm) Cho các số thực không âm a1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 thỏa mãn a1+ a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của M= a1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 + a 4 a 5 . HẾT
2. PHÒNG GD VÀ ĐT HUYỆN ĐAN PHƯỢNG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. (5,0 điểm) 2x5− x 4 − 2 x + 1 8 x 2 − 4 x + 2 11− 1) Cho biểu thức P =+ với xx ; 4xx23−+ 1 8 1 22 a) Rút gọn biểu thức P . b) Tìm x để P 0 2) Cho các số a, b, c thỏa mãn abc222+ + = 9. Tính giá trị biểu thức: Aabcbcacab=+−++−++−+(22)(22)(22)19222. Hướng dẫn giải 1) a) Ta có: 221842xxxxx5 −−+−+42 P =+ 4181xx23−+ 2 xxx4 (21)(21)−−− 2( 421xx−+) =+ (21)(21)xx−+ (21)xxx+−+ 421( 2 ) 4 ( xx−−1) (21) 212 x4 − =+=+ (21)(21)212121xxxxx−++++ x4 +1 = 21x + x4 +1 b) P 00 (*) 21x + co x4 + 10 với mọi x −1 Từ (*)210 +xx 2 −11 Kết hợp với điều kiện xx ; 22 −11 Vậy P 0; x x 22
3. 2) Đặt: x a= b + c + thì 222()323abcabccxc+−=++−=− Tương tự: 222()323bcabcaaxacabcabbxb+−=++−=−+−=++−=− ;222()323 A=(2 x − 3 c )2 + (2 x − 3 a ) 2 + (2 x − 3 b ) 2 + 19 =−++++++1212()919xxabcabc2222 ( ) =++=+=98119100(abc222 ) . Câu 2. (4,0 điểm) Giải các phương trình sau 22 1) (220214520204xxxxxxxx2222+−+−−=+−−−) 2202152020( ) ( )( ) 2) 4411025714xxxxx22−++++=− Hướng dẫn giải a=2 x2 + x − 2021 1) Đặt: 2 b= x −5 x − 2020 Phương trình đã cho trở thành: ababababab222+= −= −= =44(2 )0202 Khi đó, ta có: 22021xxxxxxxx2222+ −=−− + 25202022021( −=−− 2104040) −2019 =112019 − =xx 11 −2019 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 11 2) ĐKXĐ: Với mọi xR Có 44110250xxxx22−+ +++ với mọi x 7xx − 14 0 2 4x22−++ 4 xxxxxxx 1102 25 + 7 +=− −+ 14 (2 1) ( 5) + 7=− 142 | 2x − 1| + | x + 5| = 7 x − 14(*) Vì x − 2 2 x 10; x + 50 |2 x −=− 1|2 x 1;| x +=+ 5| x 5 9 (*) 2x −++= 1 x 5 7 x − 14 − 4 x =− = 18 x 2
4. 9 Vậy phương trình có nghiệm x = . 2 Câu 3. (3,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n22 + là ước của n6 + 14 2) Chứng minh rằng nếu m là số nguyên tố lớn hơn 3 thì số A3n12020m=−+ 2 là hợp số với mọi số tự nhiên n . Hướng dẫn giải nn66+++1486 1) Có n2 + 2 là ước của n6 +14 ZZ nn22++22 6 n4 −2 n 2 + 4 + Z n 2 + 2 là ước nguyên dương của 6 n2 + 2 + n2 21,2,3,6  Vì + + −−nnnn222 2222,3,60,1,40,1,1,2,2    Mà n là số nguyên dương nên n 1,2 2) Có Anmnmmnmmm=−31 +=++− 2020320191 =++−+2222 367311 ( ) ( )( ) Vì m là số nguyên tố lớn hơn 3 nên m không chia hết cho 3 Nên m chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2 −+(mm113)( ) A 3 Mà A 3nên A là hợp số. Câu 4. Cho hình vuông A B C D có cạnh bằng a . N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB . Gọi E là giao điểm củaCN và DA . Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F . Lấy M là trung điểm của EF . 1) Chứng minh =EDCFBC và CM vuông góc với EF . 2) Chứng minh CEFB2 = FN. và ba điểm B, D, M thẳng hàng. 3) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích tứ giác AEFC gấp ba lần diện tích hình vuông ABCD . Hướng dẫn giải
5. E M A N B F D C 1) Chứng minh E = D C F B C và CM vuông góc với EF . Ta có E C D B= C F (cùng phụ với EC B) Chứng minh được = EDCFBCgcg( ) =EDCFBCCECP = ECF cân tại C Mà CM là đường trung tuyến nên CMCF⊥ 2) Chứng minh CEFB2 = FN. và ba điểm B , D , M thẳng hàng. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông CNF ta có: CFFB2 = FN. Có CECFCEFB= = FN2 . FE C E F vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên CM = 2 FE AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM = 2 Suy ra CMAMM= thuộc đường trung trực của AC . Vì ABCD là hình vuông nên B , D thuộc đường trung trực của AC Vậy ba điểm B , D , M thẳng hàng. 3) Tìm vị trí của N trên AB sao cho diện tích tứ giác AEFC gấp ba lần diện tích hình vuông ABCD. Đặt DE= x (x 0) =BF x 11 S= S + S = AF.( AE + CB ) = .( AB + BF )( AE + AD ) ACFE ACF AFE 22
6. 11 =+=+().()axDEaxx 22 1 SSaxxaaaxx= += −−=3()360 222 ACFEABCD 2 −+=(2)(3)0axax Do xa,0 nên 3a+ x 0 2 a − x = 0 x = 2 a AE = a AN AE Có AE // BC nên ==1 N là trung điểm của AB . NB BC Vậy N là trung điểm của AB thì SSACFE= 3 ABCD . Câu 5. (2,0 điểm) Cho các số thực không âm a12345 ,a ,a ,a ,a thỏa mãn aaaaa112345++++= . Tìm giá trị lớn nhất của M= a1 a 2 + a 2 a 3 + a 3 a 4 + a 4 a 5 . Hướng dẫn giải Ma=+++ +++++ aa1 aa 22334451 aa aa 223251 aa aa 43445 aa aa aa a 2 aaaaa12345++++ 1 =+++++=+++ =aaaaaaaaaaaaa2135413513524( ) ( ) ( )( ) 24 11 Dấu “=” xảy ra chẳng hạn aaaaa===0,, 12352 42 1 Vậy GTLN của M = . 4  HẾT 