Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 11 - Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 11 - Trường THPT Nguyễn Xuân Ôn (Có đáp án)

1. SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN ÔN NĂM HỌC 2019 - 2020 MÔN TOÁN 11 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1 (6,0 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) ( 3sin 2x+ 1)( 2sin x −+ 1) sin3 xx − cos2 − sinx = 0 20 6−−x 17 5 −= yx 3 6 −− xy 3 5 − y b)  3 2 32 (xy++ 3 8) 2 x + 5x = 3 xy + 5 + 12 x Câu 2 (5,0 điểm) a) Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45. u = 2  1 b) Cho dãy số (uRnR) xác định bởi  (nu+ 1) n 32 un+1 = +3(n + 2 n ++ 2 n 1,) nN ∈ *  n Tìm số hạng tổng quát của dãy số (uRnR). Câu 3 ( 5,0 điểm) a) Cho tứ diện ABCD, trên hai cạnh AD và BC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM CN 1 EF = = . Hai điểm E, F lần lượt thuộc BM và DN sao cho EF// AC . Tính tỉ số . MD2 NB AC b) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD// BC và AD= 2 BC . Gọi O là giao điểm của AC và BD, điểm M thay đổi nằm trong hình thang sao cho OM không song song với cạnh nào của hình thang. Qua M dựng đường thẳng song song với SO cắt các mp(SAB), (SBC), (SCD) và (SDA) lần lượt tại các điểm E, F, G và H. Chứng minh rằng: MF+2( ME ++ MG ) 4 MH = 9 SO . Câu 4 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có M (3;− 1) là trung điểm cạnh BC, đường thẳng AC đi qua điểm E(1; 3) . Điểm D(4;− 2) đối xứng với A qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, điểm C thuộc đường thẳng d: xy+2 −= 30và có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Câu 5 (2,0 điểm) Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c≠ 0 a33++ b ac(a −+ c) bc(b −− c) 5abc Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 3 . (abc++) Hết Học sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
2. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG 2 NĂM HỌC 2019 - 2020 (Đáp án gồm 5 trang) Câu Nội dung Điểm 1a) ( 3sin 2x+ 1)( 2sin x −+ 1) sin3 xx − cos2 − sinx = 0 3.0 Ta có 1.0 (1)⇔( 3sin 2x + 1) (2sin x −+ 1) 2cos2 xx sin − cos2 x = 0 ⇔( 3sin 2x + 1) (2sin x −+ 1) cos2 xx (2sin −= 1) 0 2sinx −= 1 0 0.5 ⇔(2sinx − 1)( 3sin 2 xx ++ 1 cos2) = 0 ⇔  3sin2xx+ cos2 += 1 0  π 0.5 xk= + 2π 1  6 * 2sinx −= 1 0 ⇔ sinx = ⇔ 2 5π xk= + 2π  6 31 1 0.75 3sin2xx+ cos2 += 1 0 ⇔ sin2 x + cos2 x =− 22 2  ππ  π * 22xk+=−+ π xk=−+π ππ   66  6 ⇔sin 2x +=  sin  −⇔ ⇔ 66   ππ7 π 22xk+= +π xk= + π  66  2 π ππ 0.25 Vậy PT đã cho có nghiệm xkxkxkk=+2,π =−+ ππ , =+ , ∈ 6 62 1b) 20 6−−x 17 5 −= yx 3 6 −− xy 3 5 − y (1) 3.0  3 2 32 (xy++ 3 8) 2 x + 5x = 3 xy + 5 + 12 x (2) 60−≥x  ax=6 − xa=6 − 2 ĐK: 50−≥y Đặt ⇒ = − 2  2 by=5 − yb5 2xx+≥ 50 1.0 Thay vào (1) ta có 20a− 17 b =− 3(6 aa22 ) −− 3(5 bb ) 3 3 22 ⇔3a += 2 a 3 b +⇔− 2 b ( a b ) 3( a ++ ab b ) += 2 0 ⇔=a b(Do 3( a22+ ab + 3 b ) +> 2 0) 65−=x −⇔=− y yx 1 thế vào (2) ta có (x3+ 3 x −+ 3 8) 2 x 2 + 5 xx = 3 32 + 5( x − 1) + 12 x 0,25 ⇔(x3 ++ 3 x 5) 2 x2 + 5 xx = 3 32 + 5 x ++ 2 x 5
3. ⇔(x3 + 35)2 x +( x2 + 512 x −=) x32 + 5 xx − 0,5 2xx2 +− 51 ⇔( x32 ++3 x 5) . =xx(2 +− 5 x 1) 2xx2 ++ 51 2x2 + 5x −= 1 0 0.5 ⇔  32 xx+3x += 5 2x + 5x + x  −+5 33 −+ 9 33 xy= ⇒= 2x2 + 5x −= 1 0 ⇔ 44 (thỏa mãn)  −−5 33 −− 9 33 xy= ⇒=  44 x3+3x += 5 x 2x 23 + 5x +⇔ x x + (2x + 5) = xx (2x + 5) (3) 0.5 với x ≥ 0 Đặt a= xx, b = 25 x + ta có a22+ b = ab ⇔== a b 0 vô nghiệm 2 với x ≤− Đặt ax= − x, b =−− 25 x 5 ta có −a22 − b = ab ⇔== a b 0 vô nghiệm Câu 2 a) 3.0 7 Có 9.A9 = 1632960 số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau 0.5 Phép thử Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S nên số phần tử không gian mẫu là n(Ω= ) 1632960 Một sô chia hết cho 45 khi số đó chia hết cho 9 và chia hết cho 5. 0.75 Ta có 0++ 1 2 + + 9 = 45 chia hết cho 9 nên để tạo một số có 8 chữ số đôi một khác nhau thì ta lấy 8 chữ số trong 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 mà tổng 8 chữ số đó chia hết cho 9. Suy ra phải bỏ hai chữ số có tổng bằng 9. Tức là bỏ đi một trong các bộ {0;9}, {1; 8}, {2;7} , {3; 6} , {4;5}. Mặt khác vì số cần tìm chia hết cho 5 nên phải chứa 0 hoặc 5 TH1. Chỉ chứa một trong hai số 0 hoặc 5 0.75 - Loại bộ {0;9}. Chữ số cuối là 5 nên có 7! = 5040 số - Loại bộ {4;5}. Chữ số cuối là 0 nên có 7! = 5040 số TH2. Có cả hai bộ {0;9}và {4;5}. 0.5 Trong TH này ta loại một trong ba bộ{1; 8}, {2;7} , {3; 6} . Chẳng hạn loại bộ {1; 8} thì ta lập được 7! + 6.6! = 9360 Vậy TH này có 3.9360 = 28080 Vậy cả hai TH có 28080 + 2.5040 = 38160 0.5 38160 53 Xác suất cần tìm = 1632960 2268
4. b) u = 2 2.0  1  (nu+ 1) n 32 un+1 = +3(n + 2 n ++ 2 n 1,) nN ∈ *  n Từ hệ thức truy hồi ta có 0.25 (nu+ 1) n 2 un+1 = +3(n + 1)( nn ++ 1) n uu ⇔nn+1 = +3(nn2 ++ 1) nn+1 uu uu ⇔=+++⇔=++−+nn++113nn2 3 3 nn(n 1)33 n 2 0.5 nn++11 nn uu ⇔nn+1 −+(nn 1) 33 = −+2 nn+1 un 3 0.5 Xét dãy số (v RnR) với vn= − n n Ta có vvnn+1 = + 2 suy ra dãy số (v RnR) là một cấp số cộng có số hạng đầu u v =1 −=11 với công sai d = 2 1 1 vvn =+−1 ( n 1). d =+− 1 ( n 1).2 = 2 n − 1 0.25 u Suy ra v=n − n3 =21 n −⇒ un =42 + 2 nn − 0.5 nnn Câu 3 a) 2.0 điểm A M E B D 0.25 F N K C Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD tại K 0.5 Ta có AC //(BMK) mà E thuộc (BMK) và EF//AC nên EF nằm trong mp(BMK), do đó F là giao điểm của DN và (BMK) ⇒=F BK ∩ DN Trong mp(BKM), từ F kẻ đường thẳng song với MK cắt BM tại E Ta có hai điểm E, F cần tìm
5. AM CK1 CN KF NK CK 1 0.5 Do = = = nên NK//BD Suy ra = = = MDKD 2 NB FB BD C D3 EF BF 3 MK 2 EF EF MK 32 1 0.75 ⇒== mà = Do đó = = = MK BK 4 AC 3 AC MK AC 43 2 b) 3.0 điểm G F S H E A D N I M O L K B C Kẻ đường thẳng OM cắt AB, BC, CD và AD lần lượt tại I, K, L và N 0.5 Ta có mp (SMO) cắt các mp(SAB), (SBC), (SCD), (SDA) theo các giao tuyến SI, SK, SL, SN. Qua M kẻ đường thẳng song song với SO cắt các đường thẳng SI, SK, SL, SN lần lượt tại các điểm E, F, G và H là các điểm cần dựng ME IM S 0.5 Ta có = = MAB SO IO SOAB MF S MG S MH S 0.5 Tương tự = MBC , = MCD , = MAD SO SOBC SO SOCD SO SOAD Ta có SSSSSOAD=4224 OBC = OAB = OCD = 1 0.5 Suy ra MF ME MG MH S 2S 2S 4S +++224 =+MBC MAB +MCD +MAD SO SO SO SO S S S S 1.0 OBC OAB OCD OAD SS2S 2S 4S =+++==MBC MAB MCD MAD ABCD 9 SSSSS11111224 Vậy MF+2( ME ++ MG ) 4 MH = 9 SO
6. Câu 4 2.0 A H I E B M C D Gọi H là trực tâm tam giác ABC. 0.5 Ta có BH song song với CD vì cùng vuông góc với AC Tương tự CH song song với BD nên BDCH là hình bình hành. Do M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của DH. Vậy H(2; 0) 0.25 Gọi C(3-2c; c) suy ra B(3+2c ; -c-2)   0.5 Ta có BH=−−+( 2 c 1; c 2 ), EC=−−(2 2; c c 3)   BH. EC=−− ( 2 c 1).(2 − 2 c ) ++ (c 2).(c − 3) = 5c2 − 3c − 8 c = −1     0.5 2  BH⊥ EC nên BH. EC=⇔ 0 5 c − 3 c −=⇔ 80 8 c =  5 Do C có hoành độ dương nên C(5; -1), B(1; -1) PT AH : x – 2 = 0 và PT AC : x + y = 4 suy ra tọa độ A(2 ; 2) 0.25 Câu 5 2.0 abc Đặt xyz=,, = = 0.5 abc++ abc ++ abc ++ Ta có x, y, z không âm và x + y + z = 1 P= x33 ++ y xz(x −+ z) yz(y −− z) 5xyz =++x33 y z(x 22 +− y 5xy) − z 2 (x + y) Ta có 0.5 33 (x+− y) (1 z) 3 2 3 x33+ y ≥ = , x22+ y − 5xy ≥−( x + y) =− (1 − z) 2 44 4 4 3 (1z− ) 3 2 5 311 0.5 ⇒P ≥ − z1z( −) − z(1z)22 − = z − z + ≥− 4 4 4 245   1 0.5 1 xyz1++= xy= = P = − khi và chỉ khi   5 5 xy= ⇔ 3 3 z = z =  5  5 1 c Vậy GTNN của P là − khi ab= = 5 3 Hết