Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT chuyên Nguyễn Du

Nội dung text: Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 12 - Năm học 2020-2021 - Trường THPT chuyên Nguyễn Du

1. SỞ GD&ĐT ĐẮK LẮK KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN DU NĂM HỌC 2020 - 2021 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN - Lớp: 12 – Vòng: 2 (Đề thi có: 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (4,0 điểm) 1 ab 2020; 112020 Cho abnn; thỏa mãn: aabnnn 1 2 . Tính giới hạn abnn; nếu có. babnnn 1 26 Bài 2. (4,0 điểm) Tìm các đa thức Px(),() Qx [] x khác đa thức không và có bậc bé nhất thỏa mãn: Px 25 Qx() Px () xQx (),  x . Bài 3. (4,0 điểm) .2 22 333 Tìm tất cả n tự nhiên để A 22 viết được thành abc với a, b, c nguyên. n soá 2 Bài 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC AC AB . Lấy hai điểm M, N lần lượt trên AB và AC sao cho MN song song với BC. Gọi P là giao điểm của hai đoạn thẳng BN và CM. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua đường thẳng BC; ( ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN. a) Gọi E là điểm thuộc đường tròn ( ) sao cho AE// MN . Chứng minh rằng: E, P, A' thẳng hàng. b) Gọi F là giao điểm thứ hai của A'P với đường tròn () và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AA'F. Chứng minh IF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BFC. Bài 5. (4,0 điểm) Cho tập hợp A {1;2; ;101}, tô màu ít nhất 50 phần tử của A sao cho: nếu ab, A (a, b không nhất thiết phân biệt) được tô màu và ab A thì ab cũng được tô màu. Gọi S là tổng tất cả các số không được tô màu của A. Tìm giá trị lớn nhất của S. HẾT + Thí sinh không được sử dụng tài liệu. + Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. + Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .