Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Khoái Châu (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD và ĐT Khoái Châu (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN KHOÁI CHÂU Năm học: 2014 – 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Lớp 7 (Thời gian làm bài: 120’ – không kể giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1. (1,5 điểm) 1 1 1 1 1 1 a) Cho A = 1 1 1 1 1 . So sánh A với 2 3 4 2015 2016 2015 3 2 b) Cho biểu thức A = 3x x 3x 2015 . Tính giá trị của biểu thức với x = 1 3x4 x3 3x 2014 3 Bài 2. (1,5 điểm) Tìm x, biết: 3 x 1 8 a) b) x – 3 x = 0 với x 0 c) 2x 7 5x 2 2 27 x 1 Bài 3. (1,5 điểm) x y y z 3x 4y 5z a) Cho ; . Tính: B = 4 7 5 6 x 2y 5z b) Có hay không một tam giác với độ dài ba cạnh là: 26 ; 17 1; 3 11 Bài 4. (1,5 điểm) 2 x 1 2 1 Cho biểu thức: C = x 1 2 2 a) Chứng tỏ rằng với mọi x, biểu thức C luôn có giá trị là một số dương. b) Tìm tất cả các số nguyên x, để C có giá trị là một số nguyên. c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó Bài 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có µA 900 . Vẽ phân giác BD và CE (D thuộc AC, E thuộc AB) chúng cắt nhau tại O. a) Tính số đo góc BOC? b) Trên BC lấy hai điểm M và N sao cho BM = BA, CN = CA. Chứng minh EN song song với DM c) Gọi I là giao điểm của BD và AN. Chứng minh: tam giác AIM vuông cân. Bài 6. (1,0 điểm) a) Xác định đa thức P(x) có bậc 2 với hệ số cao nhất bằng 1 và nhận hai số 0; - 3 làm nghiệm. b) Cho đa thức f(x), biết với mọi x ta có: x.f(x + 1) = (x + 2).f(x). Chứng minh rằng đa thức f(x) luôn có ít nhất hai nghiệm. Hết Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: Chữ ký của giám thị số 1: . Ghi chú: - Thí sinh không sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
2. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN Năm học: 2013 – 2014 Môn: Toán – Lớp 7 Bài Nội dung Điểm 1 2 3 2014 2015 1 1 a) A = . . . > 0,75đ 2 3 4 2015 2016 2016 2015 1 b) x = 3x = 1 3x – 1 = 0 3 Bài 1 x2 3x 1 3x 1 2014 1,5đ A = 0,75đ x3 3x 1 3x 1 2015 Vì 3x – 1 = 0, nên A = 2014 2015 2 2 2 4 4 4 a) 81(x – 1) = 16 x 1 x 1 hoặc x – 1= 9 9 9 4 13 +) x – 1 = x = 0,5đ 9 9 4 5 +) x – 1 = x Bài 2 9 9 1,5đ b) x x 3 0 x 0 hoặc x = 9 0,5đ c) 2x – 7 = 5x + 2 hoặc 2x – 7 = -5x – 2 5 x = -3 hoặc x = 0,5đ 7 x y z a) k x = 20k, y = 35k, z = 42k 20 35 42 0,75đ 3.20k 4.35k 5.42k 130k 13 B = 20k 2.35k 5.42k 160k 16 Bài 3 b) 3 11 99 là số lớn nhất trong ba số. 1,5đ Xét tổng: 26 17 1 25 16 1 5 4 1 10 100 99 3 11 0,75đ Đoạn thẳng dài nhất nhỏ hơn tổng độ dài hai đoạn thẳng kia. Vậy, tồn tại tam giác có độ dài ba cạnh nói trên. a) Ta thấy: 2(x – 1)2 + 1 > 0 và (x – 1)2 + 2 > 0 với mọi x 0,5đ Vậy biểu thức C luôn dương. 2 2 x 1 2 3 3 b) C = 2 x 1 2 2 x 1 2 2 Để C nguyên, ta phải có (x – 1)2 + 2 là ước dương của 3 0,5đ Bài 4 Vì (x – 1)2 + 2 2, nên (x – 1)2 + 2 = 3 (x – 1)2 = 1 1,5đ Ta tìm được x = 2 hoặc x = 0 c) C nhỏ nhất khi 3 lớn nhất x 1 2 2 3 3 0,5đ Vì (x – 1)2 + 2 2 nên x 1 2 2 2
3. 3 3 1 2 – 2 – Hay C x 1 2 2 2 3 Vậy, C nhỏ nhất bằng 1 tại x = 1 3 A D E O I 1,0đ B N M C ·ABC ·ACB 900 a) B· OC B· AC 900 900 450 1350 2 2 b) ABM cân, nên phân giác BD đồng thời là đường trung trực. ACN cân, nên phân giác CE đồng thời là đường trung trực. Suy ra: DA = DM, EA = EN 1,0đ Bài 5 Dẫn tới: ABD = MBD, ACE = NCE (ccc) 3,0đ Suy ra: D· MB D· AB 900 ; ·ENC E· AC 900 Hay: EN  BC; DM  BC Do vậy: EN // DM. c) Phân giác BD và phân giác CE cắt nhau tại O cho ta AO là phân giác góc BAC O· AE 450 OAE = ONE (ccc) O· AE O· AE 450 O· NM 450 (1) Theo c/m câu b ta thấy, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam 1,0đ giác AMN OM = ON hay OMN cân tại O (2) Từ (1)(2) OMN vuông cân tại O Dễ chứng minh M· ON 2M· AI 2M· AI 900 M· AI 450 AIM có IA = IM (do I thuộc trung trực BD của AM) nên cân tại I. Lại có M· AI 450 . Vậy, AIM vuông cân tại I. a) P(x) = x2 + ax + b Vì 0 là một nghiệm của đa thức, nên: f(0) = b = 0 0,5đ -3 là một nghiệm của đa thức, nên: 9 – 3a + 0 = 0 a = 3 Đa thức P(x) = x2 + 3x là đa thức cần tìm. Bài 6 b) Với x = 0, ta có: 0.f(1) = 2.f(0) f(0) = 0 0 là một 1,0đ nghiệm của f(x). Với x = - 2, ta có: -2.f(-1) = 0.f(-2) f(-1) = 0 -1 cũng là 0,5đ một nghiệm của f(x). Vậy, đa thức f(x) luôn có ít nhất hai nghiệm. Người biên soạn Nguyễn Thị Hằng Hải