Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Quốc Oai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Quốc Oai (Có đáp án)

1. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI Môn: Toán 7 Năm học 2016 - 2017 Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề) Họ và tên: . SBD: Câu 1 (4 điểm) Tìm x: 1 1 6 1 a/ x 4 2 b/ 2x x c/ (x 3)x 2 ( x 3) x 8 0 5 5 5 2 x y z Câu 2 (3 điểm) Tìm x, y, z biết và x2 + y2 + z2 = 116. 2 3 4 Câu 3 (1 điểm) Trong vòng bán kết giải bóng đá của trường THCS Phù Đổng có 4 đội thi đấu, gọi A là tập hợp các cầu thủ; B là tập hợp các số áo thi đấu. Quy tắc mỗi cầu thủ ứng với số áo của họ có phải là một hàm số không? Vì sao? Câu 4 (1.5 điểm) Tính giá trị của đa thức P = x3 xy 2 2 x 2 xyy 2 3 yx 2017 với x y 2 3x 2y 2z 4x 4y 3z x y z Câu 5 (2 điểm) Cho : . Chứng minh: 4 3 2 2 3 4 Câu 6 (1.5 điểm) Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn: 2x2 + 3y2 = 77 0 Câu 7 (2.5 điểm) Cho ABC, tia phân giác của góc A cắt BC tại D. Biết ADB 85 a/ Tính: B C b/ Tính các góc của ABC nếu 4.B 5.C Câu 8 (4.5 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C, vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AC. a/ Chứng minh: BD = CE b/ Trên tia đối của tia MA lấy N sao cho MN = MA. Chứng minh: ADE = CAN. AD2 IE 2 c/ Gọi I là giao điểm của DE và AM. Chứng minh: 1 DI2 AE 2 Chú ý: Học sinh không được dùng máy tính cầm tay.
2. PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2016-2017 Hướng dẫn chấm Toán 7 Câu Phần Nội dung Điểm a 1 9 1.5đ x 2 x 1 1 5 5 x 4 2 x 2 5 5 1 11 x 2 x 5 5 9 11 1 Vậy với x = hoặc x = - thì x 4 2 5 5 1 5 1 6 1 4 3 3 1đ b 2x - = x - x = - x = - 5 5 2 5 10 8 x+2 x+8 x+2 6 c (x - 3) - (x - 3) = 0 (x - 3) [1- (x - 3) ] = 0 1.5đ x 3 x 3 0 x 4 6 x 3 1 x 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x + y + z 116 2 = = = = = = = 4 1đ 2 3 4 4 9 16 4 + 9 + 16 29 xyz2 2 2 xyz 4 2 1đ 4 9 16 2 3 4 Vậy (x; y; z) = (4; 6; 8) hoặc (x; y; z) = (-4; -6; -8) 1đ 3 Quy tắc mỗi cầu thủ ứng với số áo của họ không là một hàm số vì đại lượng 1đ cầu thủ không phải là các giá trị bằng số. (trả lời đúng giải thích sai không có điểm) 3 2 2 2 4 P = x + x y - 2x - xy - y + 3y + x + 2017 1.5đ 2 2 = x (x + y) - 2x - y(x + y) + 3y + x + 2017 2 2 = 2x - 2x - 2y + 3y + x + 2017 = x + y + 2017 = 2019 Vậy với x + y = 2 thì P = 2019 Hoặc nhóm để xuất hiện x + y - 2 5 3x -2y 2z - 4x 4y - 3z 0,5 = = 4 3 2 12x - 8y 6z - 12x 8y - 6z 12x - 8y + 6z - 12x + 8y - 6z = = = = 0 0,5 16 9 4 16 + 9 + 4 12x 8y 6z 12x = 8y = 6z 0,5 24 24 24 x y z = = 2 3 4 0,5
3. 2 2 2 2 2 2 6 2x + 3y = 77 3y = 77 – 2y ≤ 77 y ≤ 77/3 y ≤ 25 0.5đ Mà 2x2 chẵn; 77 lẻ 3y2 lẻ y2 lẻ y2 {1; 9; 25} + y2 = 1 2x2 = 77 - 3 = 74 x2 = 37 không có số tự nhiên x + y2 = 9 2x2 = 77 - 27 = 50 x2 = 25 x = 5 và y = 3 1đ + y2 = 25 2x2 = 77 - 75 = 2 x2 = 1 x = 1 và y = 5 2 2 Vậy số tự nhiên x, y thỏa mãn 2x + 3y = 77 là (x; y) = (5; 3); (1; 5) Học sinh lần lượt thử chọn các số tự nhiên x (hoặc y) từ 0, 1, 2, để có được KQ sẽ không được điểm vì không thể hiện được năng lực tư duy số học. 7 a Xét ADC có ADB là góc ngoài tại D 1.5đ 0 A ADB C DAC = 85 (1) Xét ADB có ADC là góc ngoài tại D 0 0 0 ADC B BAD = 180 - 85 = 95 (2) Mà DAC BAD (Vì AD là tia phân giác của góc A) 85° 0 0 Từ (1) và (2) B C 95 85 = B D C 0 10 1đ b 0 B C BC  0 Vì B C 10 mà 4. B = 5. C 10 5 4 5 4 B 500 và C 400 A 900 A 8 a Xét ABD và ACE có: Vẽ hình AD = AC (gt) P E 0.5đ AE = AB (gt) I BAD CAE (Cùng phụ với BAC ) D C ABD = AEC (c.g.c) B M 1đ BD = CE (Hai cạnh tương ứng) N b) Xét ABM và NCM có AM = MN (gt) ; BM = CM (gt) AMB AMC (đối đỉnh) ABM = NCM (c.g.c) AB = CN (hai cạnh tương ứng) ABM NCM (Hai góc tương ứng) 1.5đ Ta có ACN ACB BCN ACB ABC 1800 BAC
4. Lại có DAE DAC BAE BAC 1800 BAC DAE ACN Xét ADE và ACN có CN = AE (cùng bằng AB) AC = AD (gt) DAE ACN (cmt) ADE = CAN (c.g.c) c Vì ADE = CAN (cmt) NAC ADE (Hai góc tương ứng) Gọi P là giao điểm của DE và AC Xét ADP vuông tại A ADE APD 900 NAC APD 900 AI  DE 0.5đ 2 2 2 2 Xét ADI vuông tại I. Theo ĐL Pytago ta có AD = DI + AI AI = 2 2 AD - DI 2 2 2 2 2 Xét AIE vuông tại I. Theo ĐL Pytago ta có AE = AI + IE AI = AE 2 - IE 0.5đ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 AD + IE AD - DI = AE - IE AD + IE = DI + AE 2 2 = 1 DI + AE 0.5đ (đpcm) Lưu ý: Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tương ứng.