Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Lương Tài (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Lương Tài (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022- 2023 Môn thi: Toán- Lớp 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07 tháng 3 năm 2023 I. PHẦN CHUNG (dành cho tất cả các thí sinh) Bài 1. (1,5 điểm) Thực hiện phép tính (hợp lí nếu có thể): 0 3 1 1 3 1 1 4 1 9 1 82 1) : : 1 ; 2)  0,(6) 2 : 4 ; 5 15 6 5 3 15 25 25 10 2 4 1 3 1 5 3 5 3) . 3 7 7.2 2.13 13.4 4.21 Bài 2. (2,5 điểm) 1) Tìm x, y biết: 39 2 15 x 2 x 3 a) 3x ; a) 5 5 750. 2 2 2) Nhà trường thành lập 3 nhóm học sinh khối 7 tham gia chăm sóc di tích lịch sử. 2 8 4 Trong đó, số học sinh của nhóm I bằng số học sinh của nhóm II và bằng số học 3 11 5 sinh nhóm III. Biết rằng số học sinh của nhóm I ít hơn tổng số học sinh của nhóm II và nhóm III là 18 học sinh. Tính số học sinh của mỗi nhóm. Bài 3. (1,0 điểm) 1) Biết a + 1 và 2a + 1 đồng thời là các số chính phương. Chứng minh rằng a 12. 2) Tìm các số tự nhiên a, b thỏa mãn: (20a + 7b + 3).(20a + 20a + b) = 803. Bài 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Vẽ các tia Bx, Cy vuông góc với BC nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A. Gọi D là một điểm nằm giữa B và C. Đường thẳng vuông góc với AD tại A cắt Bx và Cy theo thứ tự tại E và F. 1) Chứng minh AEB = ADC; 2) Chứng minh tam giác EDF vuông cân; 3) Xác định vị trí điểm D trên BC để EF có độ dài nhỏ nhất. II. PHẦN RIÊNG 1. Dành cho thí sinh bảng A Bài 5. (2,0 điểm) 1) Cho x thoả mãn: x – 2+x – 3+ x – 4+x – 5= 4, gọi m là giá trị nhỏ nhất của x, M là giá trị lớn nhất của x. Tính giá trị của A = m + M. 0 0 2) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, M· AB 30 , Cµ 30 . Tính số đo góc ·ABC biết góc ·ABC là góc tù. 2. Dành cho thí sinh bảng B Bài 5. (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 1 x 2 x 3 x 23 2) Cho tam giác ABC có Bµ 45o , Cµ 120o . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB. Tính ·ADB . Hết (Đề thi có 01 trang) Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: Trang 2
2. UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2022-2023 Môn thi: Toán - Lớp 7 Bài Lời giải sơ lược Điểm 1 (1,5 điểm) 1.1 3 1 1 3 1 1 (0,5) : : 1 5 15 6 5 3 15 3 2 5 3 5 16 : : 0,25 5 30 30 5 15 15 3 7 3 21 : : 5 30 5 15 3 30 3 5 3 30 5 3 35 . . . . 3 0,25 5 7 5 7 5 7 7 5 7 0 1.2 4 1 9 1 82 (0,5)  0,(6) 2 : 4 25 25 10 2 4 0,25 2 9 2 1 26 .1 . 2 : 8 5 10 3 2 2 2 3 1 2 2 3 2 .2 1 2 0,25 5 5 2 5 5 1.3 1 3 1 5 3 5 1 3 1 5 3 5 (0,5) 4. 3 7 7.2 2.13 13.4 4.21 3.4 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21 0,25 4 3 7 4 8 7 13 8 16 13 21 16 4. 3.4 4.7 7.8 8.13 13.16 16.21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4. 3 4 4 7 7 8 8 13 13 16 16 21 0,25 1 1 2 8 4. 4. 3 21 7 7 Bài 2 (2,5 điểm) 2.1.a 39 15 3x2 (0,75) 2 2 39 15 3x2 0,25 2 2 39 15 3x2 2 2 39 15 39 15 + Nếu 3x2 3x2 3x2 12 2 2 2 2 0,25 x2 4 x 2 39 15 39 15 + Nếu 3x2 3x2 3x2 27 2 2 2 2 2 0,25 x 9 x 3 Vậy x 2; 3 2.1.b 5x 2 5x 3 750 0,25 Trang 3
3. 0,75 25.5x 125.5x 750 0,25 150.5x 750 5x 5 x 1 0,25 Vậy x = 1 2.2. Gọi số học sinh của nhóm I, II, III lần lượt là x, y, z (x, y, z nguyên dương) 2 8 4 0,25 (1,0) Theo bài ra ta có: x y z và y z x 18 3 11 5 2 8 4 2.x 8.y 4.z x y z Từ x y z 0,25 3 11 5 3.8 11.8 5.8 12 11 10 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được: x y z y z x 18 0,25 2 12 11 10 11 10 12 9 x 12.2 24 (t / m) y 11.2 22 t / m 0,25 z 10.2 20 t / m Vậy: Nhóm I có 24 học sinh; nhóm II có 22 học sinh, nhóm III có 20 học sinh. Bài 3 (1,0 điểm) 3.1. Vì 2a + 1 là số chính phương lẻ nên 2a + 1 chia cho 8 dư 1 (0, 5) Suy ra 2a chia hết cho 8 0,25 Nên a chia hết cho 4 (1) Ta có (a + 1) + (2a+1) = 3a + 2 chia cho 3 dư 2 mà số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1 nên a + 1 và 2a + 1 chia cho 3 cùng dư 1 0,25 nên a chia hết cho 3 (2) Từ (1); (2); 3.4 =12; (3,4)=1 nên a 12. 3.2 (20a + 7b + 3) . (20a + 20a + b) = 803 (0,5) 20a + 7b + 3 và 20a + 20a + b lẻ (vì 803 lẻ) Nếu a 0 20a + 20a chẵn. 0,25 mà 20a + 20a + b lẻ b lẻ 7b + 3 chẵn 20a + 7b + 3 chẵn (không thỏa mãn) Do đó a = 0 (7b + 3) . (b + 1) = 803 = 1 . 803 = 11 . 73 Vì b N 7b + 3 > b + 1. Do đó: 7b +3 = 803 7b +3 = 73 hoặc b +1=1 b +1=11 7b +3 = 803 * Trường hợp không tìm được b thỏa mãn đề bài. b +1=1 7b +3 = 73 * Trường hợp b = 10. b +1=11 0,25 Vậy a = 0, b = 10 thỏa mãn đề bài Bài 4 (3,0 điểm) Trang 4
4. 4.1 y (1,25) x F A 1 3 E Vẽ hình 0,25 2 2 1 1 B H D C µ µ o Do ABC vuông cân tại A nên AB AC;B1 C1 45 µ µ o µ o 0, 5 Do Bx  BC nên B1 B2 90 mà B1 45 suy ra µ o µ o o o B2 90 B1 90 45 45 Chứng minh tương tự ta được C¶ 45o 2 0,25 µ · o µ · µ µ Ta có: A1 BAD 90 A3 BAD A1 A3 Xét AEB và ADC có: µ µ ; ; µ µ o A1 A3 AB AC B1 C1 45 02,5 AEB = ADC (g -c - g) 4.2 Do AEB = ADC AE = AD mà AED vuông tại A 0,5 (1,0) Suy ra AED vuông cân tại A ·AED 45o Chứng minh tương tự phần a) suy ra ADB = AFC (g – c – g) 0,25 AD = AF DAF vuông cân tại A D· FA 45o EDF có ·AED 45o D· FA EDF vuông cân tại D. 0,25 4.3 Kẻ AH BC ABH vuông tại H có Bµ 45o (0,75) 1 ABH vuông cân tại H HB = HA 0,25 ABC vuông cân tại A có đường cao AH đồng thời là trung tuyến suy ra BH = HC 0,25 mà HB = HA suy ra BC = 2AH EF =AE + AF= AD + AD = 2AD 2AH = BC 0,25 đẳng thức xảy ra khi D  H. Bài 5 (2,0 điểm) Dành cho thí sinh bảng A 5.1 x – 2+x – 3+ x – 4+x – 5= 4 0,25 (1,0 x – 2+5 – x+ x – 3+4 – x= 4 điểm) Áp dụng tính chất a a Ta có x – 2+5 – x x – 2 + 5 – x = 3 0,25 Lại có x – 3+4 – x x – 3 + 4 – x =1 Do đó x – 2+5 – x+ x – 3+4 – x 4 x 2 0 x 2 4 x 0 x 4 Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra 3 x 4 0,25 x 3 0 x 3 5 x 0 x 5 Vì m là giá trị nhỏ nhất của x, M là giá trị lớn nhất của x nên m = 3, M = 4 0,25 Trang 5
5. A = 3 + 4 = 7 5.2 A (1,0 điểm) 0 30 H 0 30 C B M E Kẻ BH vuông góc với AC tại H suy ra BHC là tam giác nửa đều BC BH . 2 0,25 BC BHC vuông tại H có trung tuyến HM HM BM 2 Suy ra MB = BH=MH (1) và ∆BMH đều. Vẽ tam giác đều MAE (E và M khác phía đối với AB). 0 Do M· AB 30 suy ra AB vừa là phân giác vừa là trung trực của EM 0,25 MB = EB (2) Chứng minh được AMH = EMB (c.g.c) nên AH = EB (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) suy ra AH = BH. 0 Tam giác AHB vuông cân tại H nên ·ABH 45 . 0,25 Từ đó ·ABC ·ABH H· BC 450 600 1050. Bài 5 (2,0 điểm) Dành cho thí sinh bảng B 5.1 A x 1 x 2 x 3 x 23 (1,0 0,25 điểm) A x 1 x 2 11 x x 12 13 x 23 x Áp dụng tính chất a a x 1 x 1; x 2 x 2; ; x 11 x 11; x 12 0; 13 x 13 x; ; 23 x 23 x 0,25 Suy ra A x 1 x 2 x 11 0 13 x 23 x 0,25 (22 2).11 A 23 1 22 2 13 11 0 22 20 18 16 14 2 132 2 0,25 Vậy Min A = 132 khi x = 12 Trang 6
6. 5.2 A (1,0 điểm) E B C D Kẻ DE  AC chứng minh được ∆CED là tam giác nửa đều 0,25 Suy ra CD = 2CE ; C· DE 30o Do CD = 2CE; CD = 2CB(gt) CB = CE ∆BCE cân tại C E· CD 2E· BC E· BC 60o : 2 30o 0,25 ∆BED có E· BD E· DB 30o ∆BED cân tại E BE = ED (1) ·ABE ·ABC E· BC 45o 30o 15o ∆ABC có B· AC 180o (·ABC ·ACB) 180o 45o 120o 15o 0,25 ∆BEA có E· BA E· AB 15o ∆BEA cân tại E BE = EA (2) Từ (1) và (2) suy ra ∆DEA cân tại E mà ·AED 90o suy ra ∆DEA vuông cân tại E 0,25 ·ADE 45o ·ADB ·ADE E· DB 45o 30o 75o Chú ý: 1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm. 2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm. Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thì giám khảo trao đổi với tổ chấm để giải quyết. 3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn. Hết Trang 7