Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD và ĐT Yên Phong (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2013-2014 - Phòng GD và ĐT Yên Phong (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN YÊN PHONG MÔN THI: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi :14 tháng 04 năm 2014(đề thi gồm 01 trang) 1 2 5 x 1 2 x Bài 1 (5 điểm): Cho biểu thức: A 2 : 2 1 xx 1 1 xx 1 a. Rút gọn biểu thức A. b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. c. Tìm x để A A . Bài 2 (4 điểm): Giải các phương trình sau: a. x3 – x2 – 12x = 0 x 214 x 132 x 54 b. 6 86 84 82 Bài 3 (5 điểm): Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD=2AB=2AD và BC a 2 . Gọi E là trung điểm của CD. a. Tứ giác ABED là hình gì? Tại sao? b.Tính diện tích hình thang ABCD theo a . c.Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. Tính góc HDI ? Bài 4 (4 điểm): a.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau : A = x2 - 2xy + 2y2 - 4y + 5 b.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B = 3(x 1) x3 x 2 x 1 Bài 5 (2 điểm): a.(Phần dành cho thí sinh trường đạị trà) Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác,p là nửa 1 1 1 1 1 1 chu vi .CMR : 2( ) papbpc abc b. (Phần dành cho thí sinh trường THCS Yên Phong) a b b c c d a d Cho a,b,c,d là các số dương . Chứng minh rằng : . b c c d d a a b
2. PHÒNG GĐ & ĐT HƯỚNG DẪN CHẤM YÊN PHONG BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN THI: TOÁN 8 Bản hướng dẫn chấm có 04 trang Câu 1 Hướng dẫn giải (5.0 điểm) 1 + ĐKXĐ: x 1; x 0.25 2 1 x 2(1 x ) (5 xx ) 2 1 0.75 A 2 . a 1 x 1 2 x (2.0 điểm) 2x2 1 . 1 x2 1 2 x 0.75 2 1 2x 0.25 A nguyên, mà x nguyên nên 2 1 2x 0.5 b Từ đó tìm được x = 1 và x = 0 0.5 (1.5 điểm) Bỏ đi giá trị x = 1( do điều kiện). Vậy x = 0 0.5 Ta có: 0.5 A A A 0 c 2 1 0.5 (1.5 điểm) 0 1 2x 0 x 1 2x 2 1 Kết hợp với điều kiện: 1 x 0.5 2 Câu 2 (4.0 điểm) x3 – x2 – 12x = 0  x(x-4)(x+3) = 0 1.0 a (2.0 điểm) Vậy x = 4 hoặc x= -3 hoặc x=0 1.0
3. x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 0 0.75 86 84 82 x 300 x 300 x 300 b. 0 0.5 (2.0 điểm) 86 84 82 1 1 1 (x-300) 0 x-300=0 x=300 0.5 86 84 82 VËy S = 300 0.25 Câu 3 (5.0 điểm) Hình vẽ + GT +KL a (1.5 điểm) A B H 0.5 I D C E 0.5 Chỉ ra ABED là hình bình hành .(AB//DE, AB=DE) 0.25 Chỉ ra ABED là hình thoi. (AB=AD) 0.25 Chỉ ra ABED là hình vuông. ( góc BAD=90o) + Chỉ ra tam giác BEC vuông cân. 0.75 + Từ đó suy ra AB=AD=a. DC=2a. 0.5 b (2.0 điểm) AB CD . AD + Diện tích của hình thang ABCD là S 0.25 2 a 2 a . a 3a2 0.5 2 2
4. + ACH ACD (1) (cùng phụ với góc HDC ) 0.25 + Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có AD IB 1 , do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng. c DC BD 2 0.5 (1.5 điểm) Suy ra ACD BDI (2) + Từ (1) và (2), suy ra ADH BDI 0.25 + Mà ADH BDH 45o BDI BDH 45o hay HDI 45o 0.5 Câu 4 (4.0 điểm) Ta có : A = x2 - 2xy + y2 +y2 - 4y +4 + 1 0.75 = (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 Do (x-y)2 0 ; (y - 2)2 0 0.5 a Nên A= (x-y)2 + (y - 2)2 + 1 1 (2 điểm) 0.5 Dấu ''='' xảy ra x = y và y = 2 0.25 Vậy GTNN của A là 1 x = y =2 3(x 1) 3(x 1) 3(x 1) 3 B = = = = 1.0 x3 x 2 x 1 x 2 (x 1) x 1 (x 2 1)(x 1) x 2 1 b 3 Do x2 +1>0 nên B = 3. Dấu ''='' xảy ra x = 0 0.75 (2 điểm) 2 x 1 0.25 Vậy GTLN của B là 3 x = 0 Câu 5 2.0 điểm Ta có 1 1 4 2 0.5 pa pb papbc a 1 1 4 2 0.5 (2.0 điểm) p b p c p b p c a (Trường 1 1 4 2 0.5 đại trà) p c p a p c p a b Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh 0.5
5. Ta có: a b b c c d a d a b b c c d d a 0 b c c d d a a b b c c d d a a b a c b b c a d b 0.5 4 b c c d d a a b b Xét: (2.0 điểm) a c b d c a d b 4 (Trường b c c d d a a b THCS 1 1 1 1 Nguyễn a c b d 4 b c d a c d a b Cao) 4 4 1.0 a c . b d . 4 0 a b c d a b c d => đpcm. 0.5 Dấu = xảy ra khi a=b=c=d Điểm toàn bài (20điểm) Lưu ý khi chấm bài: - Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. - Với bài 3, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.