Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Sông Lô (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Sông Lô (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; 8 CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) 1 2x 2 x Câu 1. Cho biểu thức A = 3 2 : 1 2 x 1 xxx 1 x 1 a. Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A. b. Tìm x để A nhận giá trị là số âm. c. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức ( x +2).A nhận giá trị là số nguyên. Câu 2. a. Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) (với k N*). Chứng minh rằng: 4S + 1 là bình phương của một số tự nhiên. b. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3 2x 2 3x 2 y 3 . Câu 3. a. Giải phương trình sau: x2 3 x 2 x 1 0 b. Xác định giá trị của m để phương trình: mx3( 2) 8( xm ) 4 m 2 có nghiệm duy nhất là số không lớn hơn 1. c. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x y z 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P = 16x 4 yz Câu 4. Cho tam giác ABC đều cạnh 2a, M là trung điểm của BC. Góc xMy 600 quay quanh đỉnh M cố định sao cho hai tia Mx, My cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a. Tam giác BDM đồng dạng với tam giác CME và tích BD.CE không phụ thuộc vào vị trí của xMy . b. DM là phân giác của BDE . c. BDME CEMD aDE . d. Chu vi tam giác ADE không đổi khi xMy quay quanh M. Câu 5. Trong bảng ô vuông kích thước 8 8 gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô bất kì. Chứng minh rằng với mọi cách đánh dấu luôn có ít nhất 4 ô được đánh dấu không có điểm chung (hai ô có điểm chung là 2 ô chung đỉnh hoặc chung cạnh). HẾT Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi:
2. PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học: 2015 – 2016 Môn Toán – Lớp 8 Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa. -Câu 4, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó. Bài Nội dung Điểm ĐKXĐ: x≠ 1 0,25 1 1a Rút gọn được A = x 1 0,75 A 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 2a 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + 1 = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 0,25 Mặt khác: k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + 1 = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + 1 = (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + 1 = (k2 + 3k + 1)2 0,25 * 2 * Mà k nên k + 3k + 1 . nên suy ra đpcm. 0,25 2 3 3 2 3 7 Ta có y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 0,25 4 8 2 3 3 2 9 15 0,25 2b (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 4 16 Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0,25 Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; x=1 từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1; 0) (1; 2) 0,25 x2 3 x 2 x 1 0 (1) 2 + Nếu x 1: (1) x 1 0 x 1 (thỏa mãn điều kiện x 1). 0,25 3a + Nếu x 1: (1) xx24 3 0 xxx 2 3 1 0 xx 1 3 0 0,25 x1; x 3 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại) 0,25 Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là x 1. 0,25 Ta có mx3( 2) 8( xm ) 4 m 2 3b (m3 8) x 2 mm ( 2 2 m 4)
3. (m 2)( m2 2 m 4) xmm 2 ( 2 2 m 4) (*) 0,25 Vì mmm2 2 4 ( 1) 2  3 0 m nên (*) (m 2) x 2 m . PT này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 2 , khi đó nghiệm duy nhất là: 2m x . 0,25 m 2 2m Để nghiệm này không lớn hơn 1 thì 1 m 2 Giải BPT được 2m 2 (t/m ĐK m 2 ) KL: Với 2m 2 thì PT có nghiệm duy nhất và nghiệm duy nhất đó không lớn 0,25 hơn 1 Ta có: 1 1 1 1 1 1 yx zx zy 21 P= x y z 16xyz 4 16 xyz 4 16 xy 4 16 xz 4 yz 16 0,25 y x 1 Theo BĐT Cô Si ta có: dấu “=” khi y=2x; 16x 4 y 4 z x 1 3c Tương tự: dấu “=” khi z=4x; 16x z 2 z y 1 dấu “=” khi z=2y; 0,25 4y z =>P 49/16. Dấu “=” xảy ra khi x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Vậy: Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 0,25 *Cách khác: HS có thể áp dụng trực tiếp BĐT Svac-xơ (Cô si dạng cộng mẫu) để đánh giá. Ta có: DMC 600 CME 60 0 BDM BDM CME Suy ra: BMD∽ CEM (g.g) vì: DBM MCE 600 0,5 4a BDM CME (cm trên) BD CM Suy ra: BD CE BM CM a2 không đổi. BM CE 0,5 BD CM BD BM A y Vì BMD∽ CEM nên hay 0,25 MD EM MD ME Lại có DBM DME 600 x E Suy ra BMD∽ MED (c.g.c) I 4b 0,25 D BDM EDM suy ra DM là phân giác của BDE . H K 0,25 B M C BD BM Vì BMD∽ MED nên BDME aDM (1) DM ME 0,25 4c Tương tự chứng minh được CEM∽ MED rồi suy ra CEMD aME (2) Cộng vế với vế của (1) và (2) được 0,25 BDME (). CEMD aDM aME aDM ME aDE 0,25
4. Kẻ MH, MI, MK lần lượt vuông góc với AB, DE, AC tại H, I, K, suy ra MH=MI=MK. Suy ra DI=DH, EI=EK. Suy ra Chu vi tam giác ADE bằng 2AH. 0,25 4d a 3a Vì HBM 600 và BM=a nên BH= AH . Suy ra chu vi tam giác ADE 2 2 không đổi và bằng 3a. 0,25 Chia 64 ô vuông của bảng 8x8 thành 4 loại như hình vẽ (Các ô cùng loại được đánh số giống nhau). Khi đó theo cách chia này rõ ràng các ô trong cùng loại sẽ không có điểm chung. 0,25 Khi đánh dấu 13 điểm bất kì, thì 13 điểm này sẽ thuộc 4 loại ô vừa chia. Vì 13=4.3+1 nên theo nguyên lí Đirichlê sẽ tồn tại ít nhất 4 ô thuộc cùng 1 loại, khi đó 4 ô này sẽ không có điểm chung. Suy ra đpcm. 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 5 0,25 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4