Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Hậu Lộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Hậu Lộc (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HẬU LỘC NĂM HỌC 2016-2017 Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 2x 9 x 3 2 x 4 Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A = xxx2 5 6 2 3 x a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên. Câu 2: (4 điểm) xx2 5 1 xx 2 4 1 a) Giải phương trình: 2 2x 1 x 1 b) Giải phương trình: x6 – 7x3 – 8 = 0 Câu 3:( 3 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x20 + x +1 b) Tìm số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình: 3x 2 x 2x 5 3 x 0,8 và 1 5 2 6 4 Câu 4. (3 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: y2 2 xy 3 x 2 0 b) Cho x, y thoả mãn xy 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y 2 1 xy Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh ABD ACE. b) Chứng minh BH.HD = CH.HE. c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a. Hết SBD .Họ tên thí sinh: . Chữ ký giám thị:
2. HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017 MÔN TOÁN 8: Thời gian 150 phút Câu Nội dung Điểm 2x 9 x 3 2 x 4 Cho biểu thức: A = xxx2 5 6 2 3 x a) ĐKXĐ: x 2 , x 3. 0,5 2x 9 x 3 2 x 4 Câu 1 A (4.0 điểm) (xx 3)( 2) x 2 x 3 0,5 x2 2 x 8 (x 4)( x 2) = (x 3)( x 2) (x 3)( x 2) 1,0 = x 4 x 3 0,5 x 4 7 b/ Ta có: A = 1 x 3 x 3 0,25 §Ó A Z th× x - 3 ¦(7) = 7; 1; 1; 7 0,25 4; 2; 4; 10 => x  0,5 KÕt hîp víi §KX§ ta ®­îc x 4; 4; 10 0,5 xx2 5 1 xx 2 4 1 a/ 2 2x 1 x 1 1 0,25 ĐKXĐ: x 1; x 2 x 2 4x 1 x 2 5x 1 0,25 1 1 0 x 1 2x 1 Câu 2 x 2 3x 2 x 2 3x 2 0,25 0 (4.0 điểm) x 1 2x 1 2 1 1 0,25 x3 x 2 0 x 1 2 x 1 xx2 3 2 3 x 2 0 x1 x 2 3 x 2 0 (1) 0,25 Giải phương trình (1) x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3 (thỏa mãn 0,5 ĐKXĐ) 2 0,25 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = 1;2;  . 3
3. b) Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0 0,25 (x3 + 1)(x3 – 8) = 0 0,25 (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*) 0,25 Do x2 – x + 1 = (x – 1 )2 + 3 > 0 2 4 0,25 và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với mọi x 0,5 nên (*) (x + 1)(x – 2) = 0 x 1 0,25 x 2 0,25 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 1; 2} Câu 3 a) x20 + x +1 = x20-x2+x2+x+1 (3.0 điểm) = x2(x18-1) +(x2+x+1) 0,25 =x2(x9+1)(x9-1)+(x2+x+1) 0,25 2 9 3 6 3 2 0,25 =x (x +1)(x -1)(x +x +1)+(x +x+1) 0,25 =x2(x9+1)(x-1)(x2+x+1)(x6+x3+1)+(x2+x+1) 0,25 =(x2+x+1)[x2(x9+1)(x-1)(x6+x3+1)+1] 0,25 3x 2 x b) Giải bất phương trình (1): 0,8 5 2 3x 2 x 8 5 2 10 x 4 8 0,25 10 10 x12 0 x 12 0,25 2x 5 3 x Giải bất phương trình (2): 1 6 4 3 x 2 x 5 1 4 6 x 1 x 13 1 0 0,25 12 12 x 13 0,25 Vì x là nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2) nên ta có x = 12 0,5 Câu 4 a) Ta có: ( 3,0 điểm) y2 2 xyx 3 2 0 x 2 2 xyyx 2 2 3 x 2 0,25 (*) (xy )2 ( x 1)( x 2) 0,25 VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0 x 1 0 x 1 y 1 0,25 x 2 0 x 2 y 2 Vậy có 2 cặp số nguyên (x ; y ) ( 1;1) hoặc (;x y ) ( 2;2) 0,25
4. 1 1 2 b) (1) 1 x2 1 y 2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 0,5 1 x 1 xy 1 y 1 xy xyx yxy 0 1 x2 1 xy 1 y 2 1 xy 0,25 2 y x xy 1 0 2 0,5 1 x2 1 y 2 1 xy Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 0,25 BĐT (2) luôn đúng BĐT (1) luôn đúng (Dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y) 0,5 Câu 5 a) ( 6,0 điểm) A D E H C B Xét ABD và ACE có: Góc A chung ADB AEC 900 ABD ACE. (g-g) 2,0 b) Xét BHE và CHD có : BEH CDH 900 BHE CHD ( đối đỉnh) 1,0 BHE CHD (g-g) BH HE CH HD 1,0 Suy ra BH.HD = CH.HE.
5. c) A E D H B F C Khi AB = AC = b thì ABC cân tại A 0,25đ DE AD Suy ra được DE // BC BC AC DE = AD. BC 0,25đ AC Gọi giao điểm của AH và BC là F AF  BC, FB = FC = a 0,25đ 2 DC BC BC. FC a2 DBC FAC DC = 0,5đ FC AC AC 2b DE = AD. BC = (AC DC ). BC 0,25đ AC AC a2 (b ). a 2 2 = 2b = a(2 b a ) 0,5đ b 2b2 Lưu ý: - Bài hình học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai không chấm điểm. - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.