Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Lương Tài (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Lương Tài (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022- 2023 Môn: Toán- Lớp 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 07 tháng 3 năm 2023 (Đề thi có 01 trang) Bài 1. (4,0 điểm) 1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: xxx42+2023 ++ 2022 2023 . 2 ( x −1) 1xx33−+ 11 = +− − ≠ ≠± 2) Rút gọn Q 21:22(với xx0, 1). xx+ x xxxx −+ 3) Cho abc,,≠ 0 và a222++= b c ab ++ bc ca. Tính giá trị của biểu thức: abc2022++ 2022 2022 T = 2022 . (abc++) Bài 2. (4,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số x, y nguyên dương, p nguyên tố thỏa mãn: x2−+3 xy p22 y = 12 p . 2 2) Giải phương trình: (xx2 −=9) 12 + 1. Bài 3. (3,0 điểm) 1) Cho đa thức f() x ax2 bx c với abc,, là các số hữu tỉ. Biết rằng fff(0), (1), (2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2ab ,2 có giá trị nguyên. 2) Cho a, b là hai số nguyên phân biệt lớn hơn 1 thỏa mãn ab+−222 là lũy thừa của một số nguyên tố khác 13 và ba+−222 chia hết cho ab+−222 . Chứng minh 23a + là số chính phương. Bài 4. (7,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có B = 2C ; trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BC và CD lần lượt tại M và N. Đường vuông góc với BC tại C cắt AM tại K. Chứng minh rằng: a) ∆ABM là tam giác cân và ABC = 2AKC ; b) MA.KN = MN.KA; c) Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC biết độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. 2) Cho tứ giác ABCD có BCD = BDC =5000 ; ACD = ADB = 30 . Gọi I là giao điểm của AC và BD . Chứng minh rằng tam giác ABI cân . Bài 5. (2,0 điểm) 2 2 1 1 25 1) Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 1. Chứng minh: xy+ ++ ≥. xy2
2. 2) Cho một đa giác đều gồm 2019 đỉnh. Người ta tô mỗi đỉnh của đa giác bởi một màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng luôn tìm được ba đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của một tam giác cân được đánh dấu bởi cùng 1 màu. Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
3. UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TẠO Năm học 2022-2023 Môn thi: Toán - Lớp 8 Bài Lời giải sơ lược Điểm 1.1 (1,0 điểm) Ta có: 42 xxx+2023 ++ 2022 2023 0,25 =( xx42 −) +2023( xx ++ 1) 22 =xxxx( −1)( ++ 1) + 2023( xx ++ 1) 0,25 =xx22 ++1 xx −+ 2023 ( )( ) 0,5 2 ( x −1) 1xx33−+ 11 = +− − ≠ ≠± 1.2 (1,5 điểm) 2) Rút gọn Q 21:22(với xx0, 1). xx+ x xxxx −+ 2 ( x −1) 1xx33−+ 11 = +− − Q 21:22 xx+ x xxxx −+ 2 22 ( x−+11) xx( ) x +1 ( x−1)( xx ++ 11) ( x +)( xx −+ 1) 0,5 Q = +− : − +++ − + xx( 111) xx( ) xx( )  xx( 1) xx( 1) x2−21 x ++ xxx 2 +−− 1 xx 22 ++− 1 xx +− 1 Q = : 0,25 xx( +1) x 22x2 − xx Q = . 0,25 xx( +12) x x −1 Q = 0,25 x +1 x −1 Vậy Q = với xx≠0, ≠± 1 0,25 x +1 1.3. (1,5 điểm) Cho abc,,≠ 0 và a222++= b c ab ++ bc ca. Tính giá trị của biểu thức: abc2022++ 2022 2022 T = 2022 . (abc++) a222++=++⇒ b c ab bc ca22( a222 ++= b c) ( ab ++ bc ca) ⇒++−−−=2222a222 b c ab 22 bc ca 0 0,5 222 ⇒−(ab) +−( bc) +−( ca) =0
4. 2 (ab−=) 0   2 ⇒(bc −) =⇒==0 abc 0,5  −=2 (ca) 0 abc2022++ 2022 2022 Thay b = a, c = a vào biểu thức T = 2022 ta được: (abc++) 0,5 aaa2022++ 2022 202231 a 2022 T = 2022 = = . (aaa++) 93a2022 2.1. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số x, y nguyên dương, p nguyên tố thỏa mãn: x2−+3 xy p22 y = 12 p . Ta có x2−+=⇒+=+3 xypy22 12 pxpy2 22 3 xy 12 p 3 Ta có số chính phương chia 3 dư 0, 1 0,5 ⇒ x3; py 3 22 ⇒+x( py ) 9 ⇒ 3 xy + 12 p 9 mà xpp33⇒ ⇒= 3 (do p nguyên tố) 0,25 2 22 Thay p =3 vào phương trình x−+3 xy p y = 12 p ta có x22−+3 xy 9 y = 36 22 0,25 ⇔−4x 12 xy + 36 y = 144 ⇔−(2xy 3 )22 + 27 y = 144 222 2 ⇒27yy ≤ 144 ⇒≤ 5 mà y là chính phương và y nguyên dương y ∈{1; 4} 0,25 22 Nếu y=⇒−=1 (2 xy 3 ) 117 (loại vì 117 không chính phương) 0,25 Nếu yy22=⇒=⇒4 2 (2 x − 6) = 36 ⇒= x 6 vì x, y nguyên dương. 0,5 Vậy x = 6; y= 2; p=3 2 2.2. (2,0 điểm) Giải phương trình: (xx2 −=9) 12 + 1. 2 (x2−9) = 12 x +⇔ 1 xx42 − 18 + 81 = 12 x + 1 0,25 ⇔+xx4218 += 81 36 xx 2 + 12 + 1 2 2 ⇔+=+(xx2 9) ( 61) 2 2 ⇔(xx2 +−9) ( 61 +=) 0 0,5 ⇔(x22 ++96 xx + 1)( +− 96 x − 1) = 0 ⇔(xx22 +6 + 10)( xx −+= 6 8) 0 xx2 ++=6 10 0 (1) ⇔  2 0,25  xx−6 += 8 0 (2) 2 2 Giải (1) : xx+6 + 10 = 0 ⇔( x + 3) += 1 0 suy ra phương trình (1) vô nghiệm 0,25
5. Giải (2): x22−6 x +=⇔ 80 x − 2 xx − 4 += 80 ⇔xx( −−24) ( x −=⇔− 20) ( x 2)( x −= 40) 0,5 xx−=20 = 2 ⇔⇔ xx−=40 = 4 Tập nghiệm của phương trình đã cho S = {2; 4} 0,25 3.1 (1,5 điểm) Cho đa thức f() x ax2 bx c với abc,, là các số hữu tỉ. Biết rằng fff(0), (1), (2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2ab ,2 có giá trị nguyên. f(0) c (1), f (1) abc (2), f (2) 4 a 2 bc (3) là các số nguyên . 0,5 Từ (1) và (2)⇒abZ +∈ ⇒2 a + 2 bZ ∈ (4) 0,25 Từ (1) ,(3)và (4) suy ra 2a là số nguyên. . 0,25 Từ (4) và 2a nguyên suy ra 2b nguyên 0,25 Vậy 2a, 2b có giá trị nguyên. 0,25 3.2. (1,5 điểm) Cho a, b là hai số nguyên phân biệt lớn hơn 1 thỏa mãn ab+−222 là lũy thừa của một số nguyên tố khác 13 và ba+−222 chia hết cho ab+−222 . Chứng minh 23a + là số chính phương. Đặt: ab+222 −= pk ; p nguyên tố khác 13; k ∈ * do a, b lớn 1 và ba+−+−222222 ab 22k ba+22 −−( ab + 22 −) p ⇒  22 ba+22 −≥+ ab 22 − 0,5 k (ab−)(2 a +− 21 b) p Vì ⇒  (a− b)(2 a + 2 b −> 1) 0 ( do a ≠ b , a , b > 1) a− bp m  ⇒2a + 21 b − pn ( mn , ∈ ; m += n k)  > ab 2 TH1: Nếu mn≠⇒≠00 vì aba−<+22 b − 0,5
6. a− bp ⇒ ⇒−41ap 2ab+− 21 p Lại có: ba+222222 − ab + −= pk ⇒+−⇒+−ba2222 p 244 ba p ⇒4aap2 −− 23 ⇒43aaa2 −−( +) p ⇒+ap3 Kết hợp với 4a− 1 p ⇒ 13 pp ⇒= 13 vì p nguyên tố (loại) TH2: Nếu m = 0 ⇒+−2ab 21 pk ⇒+− 2 ab 21 ab + 22 − 2 ⇒2ab + 21 −≥ ab + 22 − 2 ⇒≥ab22 − 2 b − 11( ) Ta lại có: 0,5 22222122(ab+−−+−+−22) ( ab) ab ⇒42322b22 −− b ab + − ⇒423bb2 −−≥+−⇒−−≥ ab 222212 22 bb a( ) 2 Từ (1) và (2) ab=22 − 212 b −⇒ a + 321 =( b −) là chính phương (đpcm) 4.1. (5,5 điểm) 1) Cho tam giác ABC có B = 2C ; trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BC và CD lần lượt tại M và N. Đường vuông góc với BC tại C cắt AM tại K. Chứng minh rằng: a) ∆ABM là tam giác cân và ABC = 2AKC ; b) MA.KN = MN.KA; c) Tính độ dài ba cạnh của tam giác ABC biết độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Vẽ hình + Giả thiết, kết luận 0,25
7. A 1 1 1 1 B C M 2 2 N K D 00 a) A12+= D 90 ,M + C 2 = 90 (1) BD= BC ⇒∆ BCD cân tại B 0,5 ⇒=DC  2 (2) Từ (1), (2) ⇒=AM12   MM12= (2 góc đối đỉnh) 0,5 ⇒A11 = M ⇒∆ ABM cân tại B 00  +=  + = 12= ⇒=  Ta lại có D A12 90 ;K M 90 mà A M DK 0,5 Mà ABC = 2ADC ⇒= ABC 2AKC (đpcm) 0,25 b) ABC ABC . C1= ,C 2 = ⇒= C12 C ⇒CM là đường phân giác của ∆ACN 22 0,5 AM CA ⇒= (3) MN CN 0,25 Chứng minh được CK là tia phân giác của góc ngoài tại C của ∆ACN AK CA ⇒= (4) 0,5 KN CN MA KA Từ (3), (4) ⇒=⇒MA.KN = KA.MN (đpcm) 0,25 MN KN c) DC =  2 (Theo (2)), BDC11=+⇒=  2 B2D    B1 = 2C1 (GT) 0,25 ⇒=CD1 
8. Xét ∆ABC và ∆ACD có: BAC là góc chung, CD1 =  ∆∆ABC ACD 0,25 AB AC ⇒=⇒AC2 = AB.AD AC AD ⇒=AC2 AB( AB += BD) AB( AB + BC) Đặt AB = c; AC = b; BC = a b2 = c( c +⇒− a) ( b c)( b += c) ca.*( ) Ta có: Vì a, b, c là 3 số tự nhiên liên tiếp, ta có các trường hợp: TH1: bc–1=⇒=+ bc 1 ⇒21c += ca 0,5 ⇔ca( −=21) c =1  ⇒=a3 ( loai)  = b 2 TH2: bc–2=⇒=+ bc 2 ⇒=+ac1 Thay vào (*) ta được: 22( c+= 2) cc( + 1) 0,5 ⇔cc2 −3 −= 40 ⇒=⇒=⇒=cab456 Vậy 3 cạnh của tam giác là 4; 5; 6. 4.2(1,5 điểm) Cho tứ giác ABCD có BCD = BDC =5000 ; ACD = ADB = 30 . Gọi I là giao điểm của AC và BD . Chứng minh rằng tam giác ABI cân . Giả thiết, Kết luận + hình vẽ 0,25
9. A B I D C E Từ giả thiết ⇒CBI = CIB =⇒=8000 CB CI; BCI = 20 0,25 Vẽ tam giác đều BCE ( E thuộc nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A). ⇒∆BDE =∆ CBI( cgc) BDE = 800 ⇒  0,5 DE= BI ⇒== AID BIC IDE ( =800 ) ⇒ AI// DE ( 1) Do: DIE = DIC − EIC 1800 − ECI =−==1000 (CI CE CB) 2 = 300 ⇒=DIE ADI( =⇒300 ) AD / / IE ( 2) 0,5 Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác AIED là hình bình hành nên DE = AI. Mà DE = BI Suy ra AI = BI do đó tam giác ABI cân tại I.
10. 2 2 1 1 25 5.1. (1,0 điểm) Cho x, y > 0 thỏa mãn: x + y = 1. Chứng minh: xy+ ++ ≥ . xy2 Ta có: ()ab+ 2 ab22+≥ dấu = xảy ra khi a = b 2 Áp dụng ta có: 2 11 0,5 2 22xy+++ 11xy1xy+  x+ + y + ≥ =.xy ++  x y 22xy  2 11 =.1 + 2 xy Mặt khác: (x− y )02 ≥⇔ x 22 + y ≥ 2 xy (xy+ )12 ⇔−(x y )42 ≥ xy ⇔ xy ≤ = 44 2 0,5  2 22 1 1 1 1  1 1 25 ⇒+xy ++ ≥.1 + ≥ 1 + =   1 x y2 xy  22 4 Dấu bằng xảy ra khi x = y = 1/2 5.2 (1,0 điểm) Cho một đa giác đều gồm 2019 đỉnh. Người ta tô mỗi đỉnh của đa giác bởi một màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng luôn tìm được ba đỉnh của đa giác là 3 đỉnh của một tam giác cân được đánh dấu bởi cùng 1 màu. Vì đa giác đều có số đỉnh là 2019 (số lẻ) nên tồn tại 2 đỉnh kề nhau được tô cùng 1 màu, gọi 2 đỉnh đó là A và B. Mặt khác đa giác đều này tồn tại 1 đỉnh M nào đó nằm trên đường trung trực của AB. 0,25 - Nếu M được tô cùng màu với A và B , ta có tam giác MAB thỏa mãn đề bài. 0,25 - Nếu M khác màu với A và B ta gọi đỉnh E kề với đỉnh A; gọi đỉnh F kề với đỉnh B và xảy ra trường hợp: 0,25 + Nếu cả E và F khác màu với A , B thì ta có M,E,F cùng màu suy ra tam giác MEF thỏa mãn đề bài.
11. + Nếu có ít nhất 1 đỉnh E hoặc F cùng màu với A và B , giả sử đỉnh E thì ta có tam giác ABE thỏa mãn đề bài. 0,25 Vậy bài toán được chứng minh.