Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 - 2013 Đề chính thức Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao bài) Bài 1 (5 điểm). 2 a 1 2 a Cho biểu thức: A = 1 : , với a ≥ 0 a 1 1 a a a a a 1 1. Rút gon biểu thức A. 2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 2009 . Bài 2 (4 điểm). 1. Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 x3 y3 3(x y) 2. Giải hệ phương trình: x y 1 Bài 3 (4 điểm). 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32) 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng AD. Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN Bài 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P là điểm trên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL = CN. 1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL. 2. Chứng minh ∆LMN vuông cân 3. Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP. Bài 5 (2 điểm). a 2 b 2 Cho a b và ab = 6. Chứng minh: 4 3 a b Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên và chữ ký của giá thị 1 Họ tên và chữ ký của giám thị 2
2. PHÒNG GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS Hướng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm Câu 1 1 (3,0đ) 5,0 điểm Với điều kiện a 0. Ta có: 2 a 1 2 a A = 1 : a 1 1 a a a a a 1 a 2 a 1 1 2 a 1,0 = : a 1 1 a (a 1)(1 a) 2 a 1 a 1 2 a = : a 1 (a 1)(1 a) 1,0 2 a 1 (a 1)(1 a) = 1 a 1,0 (a 1)( a 1)2 2(2,0 đ) Khi a = 2010 -2 2009 = ( -1)2 1,0 Thì A = 1 + ( 2009 1)2 2009 1,0 Câu 2 1 (2,0đ) Ta có 4,0 điểm (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2 (x2+ 9x +8)(x2 +8x + 8) = 28x2 + x = 0 không phải là nghiệm của phương trình (1) 2 + Với x0 chia hai vế (1) cho x ta được: 8 8 (1) (x 6)(x 9) = 28 x x 0,5 8 Đặt t = x x (1) trở thành (t+6)(t+9) = 28 t2 + 15t + 26 = 0 t 2 t 13 0,5 Với t = -2 ta có = - 2 x2 + 2x + 8 = 0. PT này vô nghiệm. 0,5 Với t = -2 ta có = - 13 x2 +13x + 8 = 0. x = - 13 137 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = - 13 137 . 0,5 2 (2,0 đ) Hệ phương trình: x3 y3 3(x y) (x y)(x2 xy y2 3) 0 x y 1 x y 1 0,5 Hệ này tương đương với tuyển của hai hệ phương trình sau:
3. x y 0 x2 xy y2 3 0 0,5 (I) và (II) x y 1 x y 1 1 1 * Giải hệ (I) có nghiệmb (x,y) = ( ; ) 0,25 2 2 * Xét hệ (II) từ x+y = -1 ta có y = - x-1 thay vào phương trình đầu của hệ (II) ta được x2 +x -2 = 0 0,5 Phương trình này có hai nghiệm: x = -1 và x = - 2 Từ đó ta thấy h ệ (II) có hai ghiệm: (1; - 2); (2; -1) 0,25 Kết luận: Hệ đã cho có nghiêm (x;y) l à: ( ); (1; - 2); (2; -1) Câu 3 1(2,0đ): Ta có: : y2 = - 2(x6- x3y - 32) x6+(y-x3)2 = 64 4,0 điểm => x6 ≤ 64 => -2≤ x ≤2 do x Z => x {-1; -2; 1; 0; 1; 2} 0,5 Xét các trường hợp: + x = 2 => (y - x3)2= 0 => y = 8 0,25 + x = 1 => (y - x3)2= 63 => y Z => pt này không có nghiệm 0,25 nguyên 0,25 + x = 0 => (y - x3)2= 4 => y = 8 và y = - 8 0,25 + x = - 1 => (y - x3)2= 63 => y Z => pt này không có nghiệm 0,25 nguyên 0.25 + x = -2 => (y - x3)2= 0 =>y = - 8 Vậy nghiệm của phương trình là: (0;8); (0;-8); (2;8); (-2;-8). 2(2,0đ) 0,5 Ta có ∆AMB và ∆ANC vuông cân nên MA = MB và NA = NC Nên BM + CN = AM + AN 0,5 Giả sử: AB ≥AC DC AC Theo tính chất phan giác ta có 1 DB AB DN DC ∆CDN và ∆BDM nên 1=> DN ≤ DM 0,5 DM DB 0,5 Nếu I là trung điểm củaMN thì AD≤ AI và AM+AN= 2AI Khi đó 2AD≤ 2AI - AM+AN = BM + CN (đpcm) Câu 4 1(1,0đ) 5,0điểm
4. Đặt ACP = a => ACN = 900 - a MCN = ACN - 450 = 900 - a - 450 = 450 - a = LAM 0,5 0,5 2(2,0đ) Do ∆ABC vuông tại A mà AM là trung tuyến nên AM = CM và AL = CN (gt) MCN = LAM (c/m trên) Nên ∆AML = ∆CMN => LM = MN và AML = CMN 1,0 =>LMN = 900 - AML + CMN = 900. Vậy tam giác ∆LMN 1,0 vuông cân tại M 3 (2,0đ) Do các ∆LMN, ∆ABC vuông cân nên: 2 2 2 S∆LMN = MN và 2 S∆ABC = AC 1 S ∆ABC = 4S∆LMN (gt) Từ đó suy ra MN = AC. 2 Gọi Q là trung điểm của AC thì QM = QN = AC = MN 1,0 => QMN = 600 và QNA = 600 - 450 = 15 0 . Mặt khác AQ = NQ nên CAP = QNA = 150 1,0 Câu 5 a 2 b2 (a b)2 2ab 12 Ta có: a b 1,0 2,0 điểm a b a b a b 12 12 Áp dụng bất đảng thức Côsi : a b 2 a b. 4 3 1,0 a b a b