Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Phú Lộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Phú Lộc (Có đáp án)

1. BÁCH KHOA PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN PHÚ LỘC NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán – Lớp 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,0 điểm): 3xx 9 3 1 1 1 Cho biểu thức A 2: x x2 x 1 x 2 x 1 1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa. 2) Rút gọn biểu thức A. 2 3) Tìm giá trị của x để là số tự nhiên. A Câu 2. (4,0 điểm) 2 1) Giải phương trình: x1 0 x 2 7 6 x x 4 x 1 A 2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 xx1 Câu 3. (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x + 3 (d1); y = 3x + 7 (d2) 1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với trục Oy. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB. 2) Gọi J là giao điểm của (d1) và (d2). Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó. Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi M là điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M. 1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao? 2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng: HMMKCD HKMCR4 3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố
2. BÁCH KHOA định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B). Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng: c a b a b c b a c 2 a b b c a c
3. TRUNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 Câu Ý Lời giải Điểm 1 1 x 0 0,5 Điều kiện: x 1 2 3xx 9 3 1 1 1 0,5 A 2: x x2 x 1 x 2 x 1 xx32 0,5 = x 1 xx12 0,5 xx12 = xx 1 1 xx12 0,5 2 = x 1 3 Với điều kiện: 2 Ta có: A = x 1 2 0,5 Vì A = ≥ 1 với mọi x ≥ 0 nên 0 ≤ 2 ≤ 2 x 1 22 Do đó: 2 khi = 1 hoặc = 2 A x 1 0,5 Mà x 1 > 0 nên =1 hoặc = 2 2 Do đó: x 0 hoặc x 2 1 3 2 2 0,5 2 Vậy là số tự nhiên khi hoặc x 3 2 2 A 2 2 1 Giải phương trình: x1 0 x 2 7 6 x x 4 Điều kiện: 4 ≤ x ≤ 6 0,5 2 2 V T x1 0 x 2 7 x 5 2 2 , dấu “=” xảy ra x 5
4. TRUNG TÂM GIA SƯ 22 0,5 22 V P6 x x 4 1 1 6 x x 4 V P 2 , 11 Dấu “=” xảy ra 6x x 4 x 5 61xx V T V P x 5 (TMĐK). 0,5 Vậy nghiệm của phương trình là x 5 0,5 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 1 A 2 xx1 2 2 13 0,25 Ta có: x x1 x 0 , x 24 2 2 2 2 x11 x x x x x 0,5 A 11 0, x 2 2 2 (vì 2 ) x x1 x x 1 x x 1 xx1 Đẳng thức xảy ra khi x = 0, suy ra: maxA = 1 khi x = 0 0,25 22 xx1 3 3 x4 x 4 x x 1 AA3 2 2 2 x x1 x x 1 x x 1 0,5 2 2 x 2 x 2 = 1 1 0, x 2 (vì 2 ) xx1 xx1 0,25 1 Suy ra: A , đẳng thức xảy ra khi xx2 0 2 3 0,25 1 Suy ra: minA = , khi x 2 3 3 1 Tìm được A(0; 3); B(0; 7) 1,0 Suy ra I(0; 5) 0,5 2 Hoành độ giao điểm J của (d1) và (d2) là nghiệm của PT: x + 3 = 0,5 3x + 7 0,5 x = – 2 yJ = 1 J(-2;1) Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20 0,5
5. TRUNG TÂM GIA SƯ OJ2 + IJ2 = OI2 tam giác OIJ là tam giác vuông tại J 0,5 11 SOIOIJ .O J 5 2 0 5 (đvdt) 22 4 1 Vì CD AB CM = MD 0,5 Tứ giác ACED có AE cắt CD tại trung điểm của mỗi đường nên 0,5 là hình bình hành 0,5 Mà AE CD tứ giác ACED là hình thoi 0,5 2 Vì tam giác ABC có AB là đường kính (O) nên ∆ABC vuông tại C, suy ra tứ giác CHMK là hình chữ nhật Áp dụng hệ thức lượng vào các tam giác vuông ta có: MA.MC 0,5 MH.AC = MA.MC MH = AC MB.MC Tương tự ta có: MK = BC 0,5 2 MA.MB.MC MH.MK = AC.BC 0,5 Mà MA.MB = MC2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông tại C) 2 2 3 MC.MCMCMH.MKMC == MH.MK = 2 MC.ABABMCAB Mà MC = MK ( do CHMK là hình chữ nhật)
6. TRUNG TÂM GIA SƯ MH.MK MC 2MC CD = = = HK.MC AB 2AB 4R 0,5 HMMKCD Vậy: = (đpcm) H K M C 4 R 3 Lấy O’ đối xứng với O qua A, suy ra O’ cố định. 0,5 Tứ giác COC’O’ là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm A của mỗi đường. 0,5 Do đó O’C’ = OC = R không đổi 0,5 Suy ra C’ nằm trên đường tròn (O’;R’) cố định khi M di chuyển trên đường kính AB. 0,5 5 Vì a + b + c = 1 nên c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b) a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c) 0,5 b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c) nên BĐT cần chứng minh tương đương với: cacb babc abac 2 a b a c b c 0,5 2 2 2 cacb babc abac 2 a b a c b c 2 2 2 Mặt khác dễ thấy: x y z x y y z z x , với mọi x, y, z (*) 0,5 Áp dụng (*) ta có: V T b c a b c a 2 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = đpcm 3 0,5 Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm bài không làm bài theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì cho đủ số điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2) Bài hình không vẽ hình thì không chấm điểm.